【good】高级中学数学易错易混易忘题分类汇编.doc
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1、,高中数学易高中数学易错错、易混、易忘、易混、易忘题题分分类汇编类汇编【易错点 42】向量与解析几何的交汇例 42、 (03 年新课程高考)已知常数a0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点 O 以c+i为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于点P,其中R.试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高,一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误,另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答,使思维陷入僵局。解析:根据题设条件,首先求出点 P 坐标
2、满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P 到两定点距离的和为定值.i=(1,0),c=(0,a), c+i=(,a),i2c=(1,2a)因此,直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数 ,得点的坐标满足方程.整axy axay2),(yxP222)(xaayy理得 因为所以得:(i)当时,方程是圆方程,故不存在合乎. 1)2()2(81222aayx, 0a22a题意的定点 E 和 F;(ii)当时,方程表示椭圆,焦点和为220 a)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF合乎题意的两个定点;(iii)当时,方程也表示椭圆,焦点和22a)21(21, 0(2aaE为合乎题意的两
3、个定点.)21(21, 0(2aaF【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律,在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如:线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题,提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练 42】(1)(2005 全国卷 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的x直线交椭圆于 A、B 两点,
4、与共线。 ()求椭圆的离心率;()设 M 为椭圆上任意一OBOA) 1, 3( a点,且,证明为定值。),( ROBOAOM22答案:(1)(2)=163e 22(2) (02 年新课程高考天津卷)已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使,,MPMN PM PNNM 成公差小于零的等差数列(1)点 P 的轨迹是什么曲线?(2)若点 P 坐标为(),记为与NP ,ooxyPM 的夹角,求;答案:点 P 的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆tan=|y | PNtan30(3)(2001 高考江西、山西、天津)设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则,
5、等于( )A. B. C.3 D.3 答案:BOBOA4343【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。例 43、已知椭圆 C:上动点到定点,其中的距离的最小值22142xyP,0M m02mPM为 1.(1)请确定 M 点的坐标(2)试问是否存在经过 M 点的直线 ,使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件ll(O 为原点),若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。OAOBAB l【思维分析】此题解题关键是由条件知从而将条件转化点的坐标运算OAOBAB 0OA OB 再结合韦达定理解答。解析:设,由得故,p x y22142xy222 14xy2222 14x
6、PMxm由于且故当时,22212 12242xxmm02m22x 022m的最小值为此时,当时,取得最小值为2PM221m1m 224m2x 解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时 M 的坐标为22421mm1,3m 1m (1,0)。(2)由题意知条件等价于,当 的斜率不存在时, 与 C 的交点为OAOBAB 0OA OB ll,此时,设 的方程为,代入椭圆方程整理得61,20OA OB l1yk x,由于点 M 在椭圆内部故恒成立,由知2222124240kxk xk0 0OA OB 即,据韦达定理得,12120 x xy y222122110kx xkxk2122412kxxk代入上
7、式得得不合21222412kx xk2222221244120kkkkkk24k 题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算,从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性,请同学们认真体会、融会贯通。【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上,中心在坐标原点,以右焦点为圆心,过另一焦点的圆被右准线截2F1F的两段弧长之比 2:1,为此平面上一定点,且.(1)求椭圆的方程(2)若直线2,1P121PFPF ,与椭圆交于如图两点 A、B,令。求函数的值10ykxk 120f kABF Fk f k域答案:
8、(1)(2)22142xy0,8易错点 44牢记常用的求导公式,求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例 44、函数 的导数为 。1 cosxyx e易错点分析复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即。xuxyyu解析: 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1cosxxxxxyex eexexe 1 cossinxxex1 cos1sinxxx e【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系,适当选定中间变量,分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意的是中间变量的系数。练习 44(2003 年江苏
9、,21)已知,n 为正整数。设,证明;0a nyxa1nyn xa 1设,对任意,证明 nnnfxxxana 111nnfnnfn解析:证明:(1)0,nnn kkknkxaCax1111111nnn kn knkkkknnkkykCaxnCaxn xa(2)对函数求导数:, nnnfxxxa11nnnfnxn xa当时, 11.nnnfnn nna0 xa 0nfx是关于 x 的增函数因此,当时, nnnaxxxan当时,fna。11nnnnnnanna 11111111nnnnnnnfnnnnannnannn na 即对任意,. 1nnfnna 111nnfnnfn【易错点 45】求曲线的
10、切线方程。例 45、 (2005 高考福建卷)已知函数的图象过点 P(0,2),且在点daxbxxxf23)(M(1,f(1)处的切线方程为. ()求函数的解析式;076 yx)(xfy ,【思维分析】利用导数的几何意义解答。解析:()由的图象经过 P(0,2),知 d=2,所以)(xf, 2)(23cxbxxxf由在处的切线方程是,知.23)(2cbxxxf)1(, 1(fM076 yx. 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即故所求的解析式是. 3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即. 233)(23xxxxf【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数 y=
11、f(x)在点处的导数,就是曲线 y=(x)在点处的0 x)(,(00 xfxP切线的斜率由此,可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步: (1)求出函数 y=f(x)在点处的导0 x数,即曲线 y=f(x)在点处的切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线)(,(00 xfxP方程为 特别地,如果曲线 y=f(x)在点处的切线平行于 y 轴,)( 000 xxxfyy)(,(00 xfxP这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为。利用导数的几何意义作为解题工具,有可能出现0 xx 在解析几何综合试题中,复习时要注意到这一点.【练 45】(1)(2005 福建卷)已知函数的
12、图象在点M(1,f(x))处的切线方程为bxaxxf26)(x+2y+5=0.()求函数y=f(x)的解析式;答案:362)(2xxxf(2)(2005 高考湖南卷)设,点 P( ,0)是函数的图象的一个0ttcbxxgaxxxf23)()(与公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线.()用 表示 a,b,c;答案:故,t.3tabc2ta,tb .3tc【易错点 46】利用导数求解函数的单调区间及值域。例 46、( 2005 全国卷 III)已知函数,()求的单调区间和值域; 2472xf xx 01x, f x()设,函数,若对于任意,总存在1a 223201g xxa xax, 10
13、1x ,使得成立,求的取值范围。 001x , 01g xf xa【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识,同时要培养自已的求导及解不,等式的运算能力第()问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间上的值域 yg x 01 ,是函数的值域的子集,从而转化为求解函数在区间上的值域。 f x yg x 01 ,解析() ,令解得或,在222224167(21)(27)( )22xxxxfxxx ( )0fx12x 72x ,所以为单调递减函数;在,所以为单调递1(0, )2x( )0,fx( )f x1( ,1)2x( )0,fx( )f x增函数;又,即的值域为-4,
14、-3,所以的单调递减区71(0),(1)3,( )422fff ( )f x( )f x间为,的单调递增区间为,的值域为-4,-3.( 单调区间为闭区间也可以).1(0, )2( )f x1( ,1)2( )f x(),又,当时,22( )3()g xxa1a (0,1)x2( )3(1)0g xa因此,当时,为减函数,从而当时,有.(0,1)x( )g x0,1x( ) (1), (0)g xgg又,即当时,有,2(1)1 23, (0)2gaaga 0,1x2( )1 23, 2 g xaaa任给,有,存在使得,10,1x 1( ) 4, 3f x 00,1x 01()( )g xf x则
15、又,所以的取值范围是。251,1 23433232aaaaaa 或1a a213a【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现,侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用,主要有以下几个方面:运用导数的有关知识,研究函数最值问题,一直是高考长考不衰的热点内容另一方面,从数学角度反映实际问题,建立数学模型,转化为函数的最大值与最小值问题,再利用函数的导数,顺利地解决函数的最大值与最小值问题,从而进一步地解决实际问题用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多,因此,导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引起高度注意单调区间的求解过程,已知 (1)分析 的定义域
16、; (2)求导数 (3))(xfy )(xfy )(xfy解不等式,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式,解集在定义域内的部分0)( xf0)( xf为减区间,对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增,在)(xf),(ba单调递增,又知函数在处连续,因此在单调递增。同理减区间的合并也是),(cbbxf)()(xf),(ca如此,即相邻区间的单调性相同,且在公共点处函数连续,则二区间就可以合并为以个区间。 【练 46】(1)(2005 高考北京卷)已知函数f(x)=x33x29xa, (I)求 f(x)的单调递减区间;(II)若f(x)在区间2,2上的最大值为 2
17、0,求它在该区间上的最小值答案:(1)(,1), (3,)(2)7(2)(2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?,答案:当x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960【易错点 47】二项式展开式的通项中,因 a 与 b 的顺序颠倒而容易出错。nab例 47、展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162,则 x 的一次项为 。322nxx【易错点分析】本题中若与的顺序颠倒,项随之发生变化,导致出错。x322x解析:
18、椐题意有:22122162,212162,9nnCCn nnn 即由 929231993222rrrrrrrrTCxCxx 则921,323rrr 3334912672TC xx 【知识点归类点拨】二项式的展开式相同,但通项公式不同,对应项也不相同,在遇到nnabba与类似问题时,要注意区分。【练 47】(潍坊高三质量检测)展开式中第 5 项与第 12 项系数的绝对值相等,则展开式的常数4111nxx项为 。解析:据题意有,即 41141111nnCC 411nnCC4411nnnnCCC,411,15nn 令得:故展开式中常数项为: 15460 15115151111rrrrrrrTCxC
19、xx 60 150,r4r 441511365C【易错点 48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导致出错。例 48、在的展开式中,的系数为 ,二项式系数为 。5322xx5x【易错点分析】在通项公式中,是二项式系数,是项的系数。15 5152rrrrTCx5rC52rrC 解析:令,得,则项的二项式系数为,项的系数为。1555r2r 5x2510C 225240C ,【知识点归类点拨】在二项展开式中,利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题,其通常做法就是确定通项公式中 r 的取值或取值范围,须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。【练 48】(200
20、5 高考山东卷)如果的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中的系数是( 3213nxx31x)(A)7 (B) (C)21 (D)721答案:当时即,根据二项式通项公式得1x 321(3 1)2128,71nnn 7321(3)xx时对应,即2577733177(3 )( 1) ()3( 1)rrrrrrrrrTCxxCx573,63rr 31x故项系数为.67 666 1733311213( 1)7 3.TCxxx 31x21【易错点 49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,在次往往因为概念不清导致出错。例 49、已知的展开式中,第五项的系数与第
21、三项的系数之比为 10:122nxnNx求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得,即当 n 为偶数时,中间的一项的二项式系数最大;当 n 为偶数时,中间两项的二项式系数相等,同时取得最大值,求系数的最大值项的位置不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数值的增减性具体讨论而定。解析:由题意知,第五项系数为,第三项的系数为,则有,442nC 22( 2)nC 442221012nnCC 设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为,8n11118882,2 ,2rrrrrrCCC若第 r+1 项的系数绝对值
22、最大,则,解得:系数最大值为118811882222rrrrrrrrCCCC56r由知第五项的二项式系数最大,此时71111792Tx8n 5611120Tx【知识点归类点拨】在的展开式中,系数最大的项是中间项,但当 a,b 的系数不为 1 时,最大系数nab值的位置不一定在中间,可通过解不等式组来确定之。112rrrrTTTT【练 49】(2000 年上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数为 。 (结果用111x数值表示)解析:展开式中第 r+1 项为,要使项的系数最小,则 r 为奇数,且使为最大,由此得 11111rrrCx 11rC,,所以项的系数为。5r 55111462C 【易
23、错点 50】对于排列组合问题,不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。例 50、有六本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方式?1分成 1 本、2 本、3 本三组;2分给甲、乙、丙三人,其中 1 人 1 本,1 人两本,1 人 3 本;3平均分成三组,每组 2 本;4分给甲、乙、丙三人,每人 2 本。【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题,分给三人与顺序有关,是排列问题。解析:(1)分三步:先选一本有种选法,再从余下的 5 本中选两本,有种选法,最后余下的三本全选有16C25C种选法,有分步计数原理知,分配方式有:33C12365360CCC(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在
24、(1)题的基础上,还考虑再分配问题,分配方式共有种。12336533360CCCA(3)先分三步:则应是种方法,但在这里容易出现重复。不妨记六本书为若222642CCC, ,A B C D E F第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF)则中还有222642CCC(AB,EF,CD), (CD,EF,AB)(CD,AB,EF), (EF,CD,AB), (EF,AB,CD)共种情况,而且这些情况仅33A是 AB,CD,EF 顺序不同,依次只能作为一种分法,故分配方式有种2226423315CCCA5在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式种。2
25、223642333CCCAA【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计算重复或遗漏。【练 50】(2004 年全国 9)从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有( )A 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种解析:首先选择 3 位教师的方案有:一男两女;计;两男一女:计=40。125430CC2154CC其次派出 3 位教师的方案是
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