高中数学第4章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程教材梳理素材新人教A版必修2.doc

4.1.1 圆的标准方程疱丁巧解牛知识·巧学一、圆的定义及标准方程 当圆的圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.在直角坐标系中，圆心A的坐标为(a，b)，半径为r的圆就是集合P=M|MA|=r. 上述圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.其中当圆的圆心在坐标原点时，标准方程就成为x2+y2=r2.要点提示 当圆心为原点时，方程化为x2+y2=r2.由于方程的右端r2>0，故当右端小于0或等于0时不是圆的方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.二、点与圆的位置关系 给出点M(x0,y0)和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到：(1)若点M在圆C上，则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2；(2)若点M在圆C外，则有(x0-a)2+(y0-b)2>r2；(3)若点M在圆C内，则有(x0-a)2+(y0-b)2<r2.方法点拨 判断一个点与圆的位置关系，除了应用数形结合外，还可以通过方程来判断.只需将该点的坐标代入圆的标准方程左侧，若结果等于r2，则点在圆上;若结果大于r2，则点在圆外;若结果小于r2，则点在圆内.问题·探究问题1 过两点能作多少个圆？过不共线的三点呢？确定一个圆需具备哪些条件？探究:若以这两点连线为弦，则可作无数个圆；若以这两点作为一个圆的直径的两个端点，则可确定一个圆.过不共线的三点，能且仅能作一个确定的圆.所以确定一个圆，需要知道圆的圆心与半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.问题2 如果一个动点P与两个定点A、B的距离的平方和为122，A、B两点间的距离为10，你能判断出动点P的轨迹吗？探究:判断P点的轨迹形状，可以从其方程入手，这就需要先建立直角坐标系.由题意，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,则A(-5,0)，B(5,0)，设动点P(x，y)，则|PA|2+|PB|2=122,得x2+y2=36. 所以可以判断P点的轨迹是一个半径为6的圆.典题·热题例1 根据下列条件，求圆的方程.(1)圆心在直线5x-3y=8上，且圆与坐标轴相切，求此圆方程;(2)已知圆心C(2，-1)，且截直线y=x-1所得的弦长为22，求圆C的方程.思路解析：对于(1)可用标准方程与待定系数法解答；对于(2)，由于已知圆心，故只需求出半径，根据垂径定理：弦长的一半与弦心距、半径组成一个直角三角形，故半径可求.解：(1)设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2， 因为圆与坐标轴相切，故圆心满足x0-y0=0或x0+y0=0. 又圆心在直线5x-3y=8上，所以5x0-3y0=8.解方程组或解得或 圆心坐标为(4,4)或(1，-1)，所以可得半径r=4或r=1. 所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.(2)由已知可设所求圆的半径为r，圆心到直线y=x-1的距离为d，则d=. 因为直线y=x-1被圆截得的弦长为，所以，所以r2=4，故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.深化升华 本题两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解.此外，平面几何性质的应用使得解法简便了许多.所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心与半径入手解决.例2 求经过两点A(-1,4)、B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.思路解析：思路一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和半径.思路二是抓住圆的性质及题目的特点，由线段AB的垂直平分线及y轴求出圆心坐标，进一步得其半径，由此列式可得.解：法一:设圆心C(a，b)，圆心在y轴上，a=0. 设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2.该圆经过A、B两点，所以圆的方程是x2+(y-1)2=10. 法二：线段AB的中点为(1,3)，kAB=，弦AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1. 由得故点(0,1)为所求圆的圆心.由两点间距离公式得圆半径r=,所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.深化升华 使用待定系数法求圆的方程是数学中常用的一种方法，例如确定二次函数的解析式、求直线等.由于圆的标准方程中含有三个待定系数a、b、r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，也即根据三个独立条件，列出三个方程，解方程组得三个待定系数，即求出圆心和半径，从而得到圆的方程.待定系数法是求圆的方程的最常用的方法，它的一般步骤是：先设方程，再列式，最后求解.例3 求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A(5，2)和点B(3，-2)的圆的方程.思路解析：因为条件与圆心有直接关系，因此设圆的标准方程即可解决问题.利用圆心在弦的垂直平分线上及已知直线上，由两直线的交点得出圆的圆心，再由两点间距离公式得圆的半径，从而写出圆的方程.解：法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则解得圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 法二：圆过A(5，2)、B(3，-2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 线段AB的垂直平分线方程为y=(x-4). 设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有解得C(2，1)，r=|CA|=.所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.深化升华 本题介绍了几何法求圆的标准方程：利用圆心在弦的垂直平分线上或者两圆相切时两圆心连线经过切点，可得到圆心满足的一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，利用两点间距离公式可求得半径，从而可得圆的标准方程.其实求圆的标准方程就是求出圆心坐标与圆的半径，有时借助于弦心距、弦半径之间的关系计算，可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程时，确定圆的方程需要三个独立条件.“选标准、定参数”是解题的基本方法.其中，选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数.3