高中数学第4章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程教材梳理素材新人教A版必修2.doc
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1、4.1.1 圆的标准方程疱丁巧解牛知识巧学一、圆的定义及标准方程 当圆的圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.在直角坐标系中,圆心A的坐标为(a,b),半径为r的圆就是集合P=M|MA|=r. 上述圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.其中当圆的圆心在坐标原点时,标准方程就成为x2+y2=r2.要点提示 当圆心为原点时,方程化为x2+y2=r2.由于方程的右端r20,故当右端小于0或等于0时不是圆的方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定
2、形条件.二、点与圆的位置关系 给出点M(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系,得到:(1)若点M在圆C上,则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)若点M在圆C外,则有(x0-a)2+(y0-b)2r2;(3)若点M在圆C内,则有(x0-a)2+(y0-b)2r2.方法点拨 判断一个点与圆的位置关系,除了应用数形结合外,还可以通过方程来判断.只需将该点的坐标代入圆的标准方程左侧,若结果等于r2,则点在圆上;若结果大于r2,则点在圆外;若结果小于r2,则点在圆内.问题探究问题1 过两点能作多少个圆?过不共线的三点呢?确定一个圆需具备哪
3、些条件?探究:若以这两点连线为弦,则可作无数个圆;若以这两点作为一个圆的直径的两个端点,则可确定一个圆.过不共线的三点,能且仅能作一个确定的圆.所以确定一个圆,需要知道圆的圆心与半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.问题2 如果一个动点P与两个定点A、B的距离的平方和为122,A、B两点间的距离为10,你能判断出动点P的轨迹吗?探究:判断P点的轨迹形状,可以从其方程入手,这就需要先建立直角坐标系.由题意,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0),设动点P(x,y),则|PA|2+|PB|2=122,得x2+y2=36. 所以可以判
4、断P点的轨迹是一个半径为6的圆.典题热题例1 根据下列条件,求圆的方程.(1)圆心在直线5x-3y=8上,且圆与坐标轴相切,求此圆方程;(2)已知圆心C(2,-1),且截直线y=x-1所得的弦长为22,求圆C的方程.思路解析:对于(1)可用标准方程与待定系数法解答;对于(2),由于已知圆心,故只需求出半径,根据垂径定理:弦长的一半与弦心距、半径组成一个直角三角形,故半径可求.解:(1)设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, 因为圆与坐标轴相切,故圆心满足x0-y0=0或x0+y0=0. 又圆心在直线5x-3y=8上,所以5x0-3y0=8.解方程组或解得或 圆心坐标为(4,4)
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