山东省济宁市曲阜市2015_2016学年高二数学上学期期中试卷含解析.doc

2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1若集合A=x|x22x0，B=x|y=lg（x1），则AB( )A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，+）2如果ab0，那么下列不等式中不正确的是( )ABCabb2Da2ab3已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有( )A两解B一解C无解D无穷多解4已知等差数列an和等比数列bn，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a2与b2的大小关系为( )Aa2b2Ba2b2Ca2b2Da2b25设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=( )A2BCD36已知在数列an中，an=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是( )A10B9C10D97已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若ABC的面积S=，则角C的大小是( )A90°B60°C45°D30°8已知等差数列的前n项和为Sn，且S150，S160，则此数列中绝对值最小的项为( )A第5项B第6项C第7项D第8项9对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，则实数a的取值范围是( )A（，2）B2，+）C2，2D0，+）10已知x，y满足，则z=的取值范围为( )A（1，B（，1），+）C，D（，+）二、填空题：每小题5分，共25分11在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B=_12在数列an中，若a1=3，an+1=an+2（n1且nN*），则数列an的前n项和S12=_13已知数列an的前n项和为Sn=3n2，则an=_14设x0，y0且x+y=1，则的最小值为_15定义在R上的运算：x*y=x（1y），若不等式（xy）*（x+y）1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_三、解答题：共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=，bc=182（1）求ABC的面积；（2）若cb=1，求a的值17已知在等差数列an中，a1=31，Sn为数列an的前n项和，S10=S22（1）求an的通项公式，并判断2015是否是数列an的项；（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？18已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，（1）求a，b；（2）解不等式ax2（ac+b）x+bc019在ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3ac）cosB（1）求cosB；（2）若=4，b=4，求边a，c的值20（13分）某化工企业2012年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？21（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+2=2an，且数列bn满足b1=1，bn+1=bn+2（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前2n项和T2n；（3）求数列anbn的前n项和Rn2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1若集合A=x|x22x0，B=x|y=lg（x1），则AB( )A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，+）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算 【专题】计算题；函数的性质及应用；集合【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即A=（0，2），由B中y=lg（x1），得到x10，即x1，B=（1，+），则AB=（1，2），故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2如果ab0，那么下列不等式中不正确的是( )ABCabb2Da2ab【考点】不等关系与不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】由ab0，可得ab0且a2b20，利用不等式的性质2“不等式的两边同乘（除）一个正数，不等号方向不变”，逐一分析四个答案的正误，可得答案【解答】解：ab0，ab0，即，故A答案正确；a2b20，即，即，故B答案正确；abb2，故C答案正确；a2ab，故D答案正确；故不等式中不正确的是B故选B【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系，熟练掌握不等式的性质是解答的关键3已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有( )A两解B一解C无解D无穷多解【考点】解三角形 【专题】数形结合；数形结合法；解三角形【分析】由三角形的知识可判三角形为正三角形，可得一解【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°，由三角形的内角和可得B=60°，此三角形为正三角形，唯一解故选：B【点评】本题考查三角形解得个数的判断，涉及等边对等角和三角形的内角和，属基础题4已知等差数列an和等比数列bn，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a2与b2的大小关系为( )Aa2b2Ba2b2Ca2b2Da2b2【考点】等比数列的性质；等差数列的性质 【专题】计算题【分析】设出两数列的首项为a，第三项为b（a0，b0），利用等差数列及等比数列的性质分别表示出a2与b2，由a与b都大于0，可得a2大于0，当b2小于0时，显然a2大于b2；当b2大于0时，利用基本不等式可得a2大于等于b2，综上，得到a2大于等于b2【解答】解：根据题意设出两数列的首项为a，第三项为b（a0，b0），可得：2a2=a+b，b22=ab，又a0，b0，a2=0，当b20时，b2=0，显然a2b2；当b20时，b2=，a2b2，综上，a2与b2的大小关系为a2b2故选B【点评】此题考查了等差数列的性质，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，利用了分类讨论的思想，是高考中常考的题型5设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=( )A2BCD3【考点】等比数列的前n项和 【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案【解答】解：设公比为q，则=1+q3=3，所以q3=2，所以=故选B【点评】本题考查等比数列前n项和公式6已知在数列an中，an=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是( )A10B9C10D9【考点】数列与解析几何的综合 【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；直线与圆【分析】由an=，运用裂项相消求和，可得前n项和为Sn=1，由题意解方程可得n=9，再令直线方程中x=0，解得y，即为所求【解答】解：an=，前n项和为Sn=1+=1，由题意可得1=，解得n=9，直线nx+y+（n+1）=0，即为9x+y+10=0，令x=0，可得y=10故选：A【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查直线的截距的求法，以及运算能力，属于基础题7已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若ABC的面积S=，则角C的大小是( )A90°B60°C45°D30°【考点】余弦定理的应用 【专题】计算题；函数思想；解三角形【分析】直接利用三角形的面积以及余弦定理求解即可【解答】解：a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，ABC的面积S=，可得=，可得sinC=cosC，C=45°故选：C【点评】本题考查余弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力8已知等差数列的前n项和为Sn，且S150，S160，则此数列中绝对值最小的项为( )A第5项B第6项C第7项D第8项【考点】等差数列的性质 【专题】函数思想；整体思想；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a80，a8+a90，结合等差数列的通项公式为n的一次函数可得结论【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S15=15a80，a80同理可得S16=8（a8+a9）0，a8+a90，结合a80可得a90且|a8|a9|，故选：D【点评】本题考查等差数列的性质，涉及求和公式，属基础题9对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，则实数a的取值范围是( )A（，2）B2，+）C2，2D0，+）【考点】基本不等式；函数恒成立问题；二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】当x=0时，不等式x2+a|x|+10恒成立，当x0时，则有 a（|x|+） 恒成立，故a大于或等于（|x|+） 的最大值再利用基本不等式求得 （|x|+）得最大值，即可得到实数a的取值范围【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+10恒成立，当x0时，则有 a=（|x|+），故a大于或等于（|x|+） 的最大值由基本不等式可得 （|x|+）2，（|x|+）2，即（|x|+） 的最大值为2，故实数a的取值范围是2，+），故选B【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题10已知x，y满足，则z=的取值范围为( )A（1，B（，1），+）C，D（，+）【考点】简单线性规划 【专题】数形结合；定义法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的点到定点D（0，5）的斜率，由图象zkAD，或kkBC=1，由得，即A（3，8），此时kAD=，故z，或k1，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率公式结合数形结合是解决本题的关键二、填空题：每小题5分，共25分11在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B=120°【考点】余弦定理的应用 【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】根据题意由余弦定理b2=a2+c22accosB，可求得cosB的值，再利用B为ABC中的角，即可求得B【解答】解：在ABC中，b2=a2+ac+c2，又b2=a2+c22accosB2accosB=ac，cosB=，又A为ABC中的角，A=120°故答案为：120°【点评】本题考查余弦定理，考查学生记忆与应用公示的能力，属于基础题12在数列an中，若a1=3，an+1=an+2（n1且nN*），则数列an的前n项和S12=168【考点】等差数列的前n项和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：a1=3，an+1=an+2（n1且nN*），数列an是等差数列，首项为3，公差为2其前n项和S12=12×3+×2=168故答案为：168【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知数列an的前n项和为Sn=3n2，则an=【考点】等比数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】依题意，分n=1与n2讨论，即可求得答案【解答】解：当n2时，an=SnSn1=3n23n1+2=23n1，当n=1时，a1=312=12=230，即n=1时，a1=1不符合n2时的关系式an=23n1，an=故答案为：【点评】本题考查求数列的通项公式，考查分类讨论思想在解决问题中的应用，属于中档题14设x0，y0且x+y=1，则的最小值为9【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】不等式的解法及应用【分析】先把转化成=（）（x+y）展开后利用均值不等式进行求解，注意等号成立的条件【解答】解：x0，y0且x+y=1，=（）（x+y）=1+4+5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，的最小值是9故答案为：9【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则属于基础题15定义在R上的运算：x*y=x（1y），若不等式（xy）*（x+y）1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是【考点】不等式的综合 【专题】综合题【分析】由题意可得，（xy）*（x+y）=（xy）（1xy）1对于任意的x都成立，即y2yx2x+1对于任意的x都成立，构造函数g（x）=x2x+1，只要y2yg（x）min即可【解答】解：由题意可得，（xy）*（x+y）=（xy）（1xy）1对于任意的x都成立即y2yx2x+1对于任意的x都成立设g（x）=x2x+1=（x）2+所以，g（x） min=所以y2y所以y所以实数y的取值范围是故答案为：【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用三、解答题：共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=，bc=182（1）求ABC的面积；（2）若cb=1，求a的值【考点】余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由已知及同角三角函数关系式可求sinA的值，由三角形面积公式即可求值得解（2）由bc=182，cb=1，可得c，b的值，利用余弦定理即可求得a的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由cosA=，解得sinA=3分bc=182，ABC的面积S=bcsinA=356分（2）由bc=182，cb=1，可得c=14，b=13，a2=b2+c2abccosA=13=2910分a=12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了三角形面积公式，余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题17已知在等差数列an中，a1=31，Sn为数列an的前n项和，S10=S22（1）求an的通项公式，并判断2015是否是数列an的项；（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？【考点】数列的求和；数列的函数特性 【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a1=31，S10=S22利用等差数列的前n项和公式即可得出（2）令an=31+2（n1）=2n330，解得n即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a1=31，S10=S2231×10+=31×22+，解得d=2an=31+2（n1）=2n33假设2015=2n33，解得n=1024，因此2015是数列an的第1024项（2）令an=31+2（n1）=2n330，解得n当n=16时，这个数列前16项的和最小S16=31×16+=256【点评】本题考查了等差数列通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，（1）求a，b；（2）解不等式ax2（ac+b）x+bc0【考点】一元二次不等式的解法 【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b（2）先把一元二次不等式变形到（x2）（xc）0，分当c2时、当c2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集【解答】解：（1）因为不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，所以x1=1与x2=b是方程ax23x+2=0的两个实数根，且b1由根与系的关系得，解得，所以得（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax2（ac+b）x+bc0，即x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式（x2）（xc）0的解集为综上所述：当c2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题19在ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3ac）cosB（1）求cosB；（2）若=4，b=4，求边a，c的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理 【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值（2）由 =4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边a，c的值【解答】解：（1）在ABC中，bcosC=（3ac）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinAsinC）cosB，3sinAcosBsinCcosB=sinBcosC，化为：3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA在ABC中，sinA0，故cosB=（2）由 =4，b=4，可得，accosB=4，即 ac=12再由余弦定理可得 b2=32=a2+c22accosB=a2+c2，即 a2+c2=40，由求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2综上可得，或 【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题20（13分）某化工企业2012年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？【考点】函数模型的选择与应用 【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可得到关系式（2）将关系式化简为y=x+1.7（x0），根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数【解答】解：（1）由题意可知，年平均污水处理费用为：y=（x0）；（2）由均值不等式得：y=x+1.72+1.7=27.7（万元）当且仅当x=，即x=13时取到等号所以该企业13年后需要重新更换新设备，平均最低费用是27.7（万元）【点评】本土主要考查均值不等式的应用考查对基础知识的理解和认识属中档题21（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+2=2an，且数列bn满足b1=1，bn+1=bn+2（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前2n项和T2n；（3）求数列anbn的前n项和Rn【考点】数列的求和 【专题】综合题；分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）由Sn+2=2an，当n2时，Sn1+2=2an1，可得an=2an1当n=1时，a1+2=2a1，解得a1利用等比数列的通项公式可得an利用等差数列的通项公式可得bn（2）由cn=an+bn，当n=2k（kN*）时，cn=b2k=2n1；当n=2k1（kN*）时，cn=a2k=2n可得数列cn的前2n项和T2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）（3）anbn=（2n1）2n利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）Sn+2=2an，当n2时，Sn1+2=2an1，可得an=2an2an1，化为an=2an1当n=1时，a1+2=2a1，解得a1=2数列an是等比数列，首项与公比为2，an=2n数列bn满足b1=1，bn+1=bn+2数列bn是等差数列，首项为1，公差为2bn=1+2（n1）=2n1（2）由cn=an+bn，当n=2k（kN*）时，cn=c2k=b2k=2n1；当n=2k1（kN*）时，cn=a2k=2n数列cn的前2n项和T2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）=（21+23+22n1）+（2×21）+（2×41）+（4n1）=+2n2+n（3）anbn=（2n1）2n数列anbn的前n项和Rn=2+3×22+5×23+（2n1）2n2Rn=22+3×23+（2n3）2n+（2n1）2n+1，Rn=2+2×（22+23+2n）（2n1）2n+1=2（2n1）2n+1=（32n）×2n+16，Rn=（2n3）×2n+1+6【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题14