2021_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.3第2课时球的表面积和体积练习含解析新人教A版必修第二册.doc

第八章8.3第2课时A级基础过关练1(2020年银川期末)长方体的长，宽，高分别为a,2a,2a它的顶点都在球面上，则这个球的体积是()ABCD【答案】C【解析】设这个球的半径为R，根据条件可知，外接球直径2R3a，则Ra，所以该球的体积为R3a3.故选C2已知球的表面积为16，则它的内接正方体的表面积S的值是()A4B32C24D12【答案】B【解析】设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a216，所以a2，正方体的表面积S6a26×32.故选B3用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()ABC8D【答案】C【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为，截面圆的面积为S2(R21).R22.球的表面积S4R28.4把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()ABCD【答案】C【解析】设铁球的半径为R，因为r2hR3，所以R.故选C5已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABCD【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h×1.故选B6若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_【答案】3【解析】设此球的半径为R，则4R2R3，R3.7已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为_【答案】16【解析】设正四棱锥的高为h，底面边长为a.由Va2ha26，得a.由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3r)2()2r2，解得r2，则S球4r216.8如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_【答案】【解析】设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积S4r22rl4×122×1×310.该组合体的体积Vr3r2l×13×12×3.10已知过球面上A，B，C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积解：因为ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90°.又球心O到截面ABC的投影O为截面圆的圆心，也即是RtABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示)设OCr，OCR，则球半径为R，截面圆半径为r.在RtOCO中，由题设知sin OCO，所以OCO30°，所以cos 30°，即Rr，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10.所以球的表面积为S4R24×(10)21 200.球的体积为VR3×(10)34 000.B级能力提升练11已知长方体共顶点的三条棱长分别是3,4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上若这个球的表面积为125，则x的值为()A5B6C8D10【答案】D【解析】设球的半径为r，则4r2125，r2.又3242x2(2r)2，916x2125，x2100，即x10.故选D12(2019年重庆期末)已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为()ABCD【答案】B【解析】圆柱的轴截面是边长为2的正方形，故圆柱底面半径为r1，母线长为l2.当小球与圆柱的侧面或上、下底面相切时，所余液体容量最小又r，故小球恰好与圆柱侧面和底面同时相切，此时小球的体积为，所余液体容量为2.故选B13(2020年衡阳月考)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，则该球形容器的表面积的最小值为()A21B40C41D84【答案】D【解析】表面积最小的球形容器可看成长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球，设其半径为R，则(2R)2422282，即4R284，所以球的最小表面积为4R284.故选D14若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体BS正方体S球S圆柱CS圆柱S球S正方体DS球S正方体S圆柱【答案】A【解析】设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则r2·2rR3a3，3，32.S圆柱6r2，S球4R2，S正方体6a2，·21，·21.故选A15(2020年南通模拟)若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为15的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为_【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则扇形的侧面展开图面积S·2r·515，r3.该圆锥的高h4，V圆锥·32·412.设球的半径为R，由题意得R312，R.16(2020年株洲期末)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为_cm2.【答案】25【解析】设球的半径为R，则球的截面圆的半径为2，且球心到截面圆的距离是R(43)R1，故R2(R1)222，解得R，所以球的表面积S4R225.17已知盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中若取出这两个小球，则水面将下降多少厘米？解：设取出小球后，容器中的水面下降了h cm，两个小球的体积为V球2(cm3)该体积等于它们在容器中排开水的体积V52×·h，所以×52×h，解得h.故取出这两个小球，水面将下降 cm.18已知一倒置圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.(1)求该圆锥的高；(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则h8，所以圆锥的高为8 cm.(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm.易得OCDACO1，则，即，解得r3.圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥V球××62×8×33963660(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为60 cm3.C级探索创新练19有三个球，第一个球可内切于正方形，第二个球可与这个正方体的各条棱相切，第三个球可过这个正方体的各个顶点，这三个球的表面积之比为()A1B149C111D123【答案】D【解析】设正方体的棱长为2，则内切球的半径为1，与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离，也就是面对角线长的一半为，外接球的半径为.球的表面积S4R2，这三个球的表面积之比为4×14×24×3123.故选D