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流体运动基本方程和基本规律流体运动基本方程和基本规律现在学习的是第1页，共48页流体运动的基本方程和基本规律流体运动的基本方程和基本规律1.三大守恒定律的简介2.迹线、流线、流管3.流体微团的运动分析4.速度位函数5.基本方程（一）：连续方程6.流函数7.旋涡运动8.基本方程（二）：动量方程9.基本方程（三）：能量方程（教材上没有，属必须掌握内容）10.三大基本方程的基本解法简介现在学习的是第2页，共48页自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能量守恒。本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基本方程：连续方程、动量方程和能量方程连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略介绍这三个方程的解法。2.1 三大守恒定律的简介三大守恒定律的简介焦耳（焦耳（JamesPrescortJoule,18181889）英国杰出的物理学家。）英国杰出的物理学家。1847年年4 4月月28日英国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒日英国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒定律第一次作了全面和充分的阐述定律第一次作了全面和充分的阐述。能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一个物体。个物体。个物体。个物体。JouleDescartes笛卡尔笛卡尔(法国哲学家、数学家法国哲学家、数学家,1596-1690)系统所受外力的矢量和为系统所受外力的矢量和为系统所受外力的矢量和为系统所受外力的矢量和为0 0 0 0时，系时，系时，系时，系统的总动量守恒。统的总动量守恒。统的总动量守恒。统的总动量守恒。DescartesDescartes拉瓦锡（拉瓦锡（Antoine-Laurent Lavoisier，17431794），），法国化学家，法国化学家，1789 年，拉瓦年，拉瓦锡在他的历史名著锡在他的历史名著化学化学概论概论中第一次用清晰的语言中第一次用清晰的语言把质量守恒定律表达出来，用把质量守恒定律表达出来，用实验进行了验证实验进行了验证。质量既不能创造，也不能消灭质量既不能创造，也不能消灭质量既不能创造，也不能消灭质量既不能创造，也不能消灭 。LavoisierLavoisier现在学习的是第3页，共48页2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管空气动力学中，除了要求解密度场、压强场、温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动图画(Flow Patterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体运动。为此，引入迹线图和流线的概念。迹线迹线(Path Line)：流体微团在流场中的运动轨迹。或者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连线。现在学习的是第4页，共48页流流线线(Stream Line)：流场中的一条曲线，线上各点的切向和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管xyz现在学习的是第5页，共48页流线是空间曲线,用 表示。2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管如何求流线方程如何求流线方程点A处的速度 和 平行。因此，由矢量叉乘的定义得流线方程为：设 是流线上的一个微段。xyz现在学习的是第6页，共48页2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管在迪卡尔坐标系下，笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：xyz现在学习的是第7页，共48页2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管上式亦可表达为，笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：现在学习的是第8页，共48页2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管在在三三维维空空间间，在在流流场场中中取取一一条条不不为为流流线线的的封封闭闭曲曲线线，经经过过曲曲线线上上每每一一点点作作流流线线，所所有有这这些些流流线线集集合合构构成成的的管管状状曲曲面面被称为流管，如图。被称为流管，如图。由由于于流流管管由由流流线线组组成成，因因此此流流体体不不能能穿穿出出或或者者穿穿入入流流管管表表面面。在在任任意意瞬瞬时时，流场中的流管类似真实的固体管壁。流场中的流管类似真实的固体管壁。对对定定常常流流动动，直直接接运运用用积积分分形形式式的的连连续续方方程程，可可以以证证明明穿穿过过流流管管截截面的质量流量是不变的面的质量流量是不变的。流管流管(Stream Tube)xyz现在学习的是第9页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析流场中的流体微团流场中的流体微团,当它沿着流线做当它沿着流线做平移运动平移运动的同时，还可能有的同时，还可能有旋旋转转、变形运动变形运动。微微团团旋旋转转和和变变形形量量取取决决于于速速度度场场，本本节节的的目目的的就就是是用用速速度度场场量化分析微元的旋转和变形运动。量化分析微元的旋转和变形运动。流场中流场中流场中流场中的微小的微小的微小的微小流体团流体团流体团流体团现在学习的是第10页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析yx流体微团运动的分解流体微团运动的分解流体微团运动的分解流体微团运动的分解 考考虑虑 xy 平平面面内内的的二二维维流流动动。取取流流场场中中的的一一个个微微元元体体。假假设设在在时时刻刻 t t ，流流体体微微元元是是矩矩形形。一一般般情情况况下下流流场场是是不不均均匀匀的的，即即流流场场中中的的各各点点速速度度的的大大小小和和方方向向都都可可能能变变化化。因因此此该该微微团团从从 t t 时时刻刻的的位位置置 ABCD ABCD 运运动动到到 t+t+D Dt 时时刻刻的的位位置置上上，流流体体微微团团的的体体积积、形形状状都都发发生生了了变变化化，而而且且也也发发生生了了旋旋转转。整整个个运运动动是是同同时时发发生生的的，可可以以将将这这样样的的一一个个复杂的一般运动分解为几个简单的运动的合成如图所示。复杂的一般运动分解为几个简单的运动的合成如图所示。BADCtBADCt+D Dt流体微团的一般运动流体微团的一般运动 现在学习的是第11页，共48页流体微团在流体微团在 xy 平面的角速度定义平面的角速度定义为为AB 边和边和 AC 边边的的角速度的平均值，记作角速度的平均值，记作 ，因此，因此，定义定义 AB 边和边和 AC 边的角速度分别为，边的角速度分别为，和和 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析由，由，有，有，角速度角速度现在学习的是第12页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析上面的分析只考虑了在二维 xy 平面内的运动。对一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方向的矢量，上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速度。现在学习的是第13页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析旋度：定义为旋转角速度 的两倍，记为 。1）如果 在流动中处处成立，流动称为有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。旋度旋度旋度旋度2）如果 在流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。3）二维无旋流动条件：现在学习的是第14页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析再回到前面再回到前面 xy 平面内的二维流动时流平面内的二维流动时流体微团的运动分析。体微团的运动分析。角变形率角变形率流体微团在流体微团在t+t+D Dt t时刻时刻k kDq1Dq2BACdydxA设设ABAB和和ACAC之间的夹角为之间的夹角为 k k 。当流体微当流体微团在流场中运动时，团在流场中运动时，k k 也会相应改变。也会相应改变。dydxAuvBC流体微团在流体微团在t t时刻时刻在在t t 时刻，时刻，k k =90=90o o 。在。在t t+D Dt 时刻时刻，k k 也会变化了也会变化了 DkDk，现在学习的是第15页，共48页在粘性流动中，角变形量之半随时间变化是一个非常重要的量，称在粘性流动中，角变形量之半随时间变化是一个非常重要的量，称为为角变形率角变形率，用，用个个 g gz 来表示。来表示。2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析角变形：角变形：流体微团在流体微团在 xy 平面内的平面内的k k 的变化。规定当的变化。规定当 k k 减小时角减小时角变形为正。因此，变形为正。因此，角变形=现在学习的是第16页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析类似，在类似，在 yz 和和 zx 平面上流体微团的角变形率为，平面上流体微团的角变形率为，现在学习的是第17页，共48页 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析角速度角速度（以及旋度）和（以及旋度）和角变形率角变形率只取决于流场速度的导数，把速度只取决于流场速度的导数，把速度的导数写成如下矩阵形式，的导数写成如下矩阵形式，现在学习的是第18页，共48页对于对于无旋流动无旋流动来说，存在一个来说，存在一个标量函数标量函数 ，速度矢量，速度矢量 恰好等于恰好等于其其梯度梯度。即一个标量函数的梯度的旋度等于即一个标量函数的梯度的旋度等于0 0。从上面的式子中可以得出，。从上面的式子中可以得出，2.4 速度位函数速度位函数如果如果 在流场中在流场中处处成立处处成立，流动称为，流动称为无旋流动无旋流动。第一章的作业中曾经做过下式的证明，第一章的作业中曾经做过下式的证明，现在学习的是第19页，共48页标量函数标量函数标量函数标量函数 就称为就称为速度位函数速度位函数速度位函数速度位函数或速度势函数或速度势函数(Velocity Potential)。简。简称称位函数位函数位函数位函数。对于对于无旋流动无旋流动来说，存在一个来说，存在一个标量函数标量函数 ，速度矢量，速度矢量 恰好恰好等于其等于其梯度梯度。2.4 速度位函数速度位函数现在学习的是第20页，共48页 2.4 速度位函数速度位函数在球坐标系中速度位的表达式为，在球坐标系中速度位的表达式为，在柱坐标系中速度位的表达式为，在柱坐标系中速度位的表达式为，现在学习的是第21页，共48页2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 2.5.4 连续方程的物质导数形式连续方程的物质导数形式 2.5.1 连续方程的物理意义连续方程的物理意义 2.5.2 连续方程的积分形式连续方程的积分形式 2.5.3 连续方程的微分形式连续方程的微分形式现在学习的是第22页，共48页2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：流出控制体的流出控制体的流出控制体的流出控制体的质量流量质量流量质量流量质量流量等于控制体内质量随时间的减少率。等于控制体内质量随时间的减少率。等于控制体内质量随时间的减少率。等于控制体内质量随时间的减少率。“物质即不能创造也不能消灭物质即不能创造也不能消灭物质即不能创造也不能消灭物质即不能创造也不能消灭”连续方程的物理意义：连续方程的物理意义：连续方程的物理意义：连续方程的物理意义：现在学习的是第23页，共48页和前面推导和前面推导 的物理意义不同，那里采用的是运动的控制的物理意义不同，那里采用的是运动的控制体，这里我们采用体，这里我们采用位置在空间固定的控制体位置在空间固定的控制体位置在空间固定的控制体位置在空间固定的控制体，即控制体固定在空间，即控制体固定在空间某个位置，流体从中穿过。某个位置，流体从中穿过。2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程在第一章中，我们讨论了几种用来在第一章中，我们讨论了几种用来研究流体运动的模型研究流体运动的模型，现在对，现在对这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基本方程。这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基本方程。连续方程的积分形式：连续方程的积分形式：连续方程的积分形式：连续方程的积分形式：固定控制体显然，和前面的推导不同，控制体的显然，和前面的推导不同，控制体的体积和控制面都不随时间变化，但是体积和控制面都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控制体内所由于流场的非定常特性，控制体内所包含的质量是随时间变化的。包含的质量是随时间变化的。现在学习的是第24页，共48页2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程此方程是对在此方程是对在空间位置固定的有限控制体空间位置固定的有限控制体运用运用质量守恒定律质量守恒定律得到的结果，得到的结果，称为称为连续方程连续方程连续方程连续方程。它是流体力学中最基本的方程之一。它是流体力学中最基本的方程之一。上式就是连续方程的上式就是连续方程的积分形式积分形式。很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某个有限区域很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某个有限区域很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某个有限区域很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某个有限区域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运用然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并不适连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并不适用。用。然而从积分形式的连续方程可以推导出然而从积分形式的连续方程可以推导出然而从积分形式的连续方程可以推导出然而从积分形式的连续方程可以推导出微分形式微分形式微分形式微分形式的连续方程，这种形式的连续方程，这种形式的连续方程，这种形式的连续方程，这种形式的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的。现在学习的是第25页，共48页2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程由于推导时所用的由于推导时所用的控制体的空间位置固定控制体的空间位置固定，所以积分的极限形式也，所以积分的极限形式也是固定的。于是是固定的。于是对时间求偏导数可以放到体积分符号里面对时间求偏导数可以放到体积分符号里面。根据矢量场面积分和体积分的关系根据矢量场面积分和体积分的关系(奥高公式奥高公式)，有，有因此，因此，连续方程的微分形式：连续方程的微分形式：连续方程的微分形式：连续方程的微分形式：现在学习的是第26页，共48页分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那么此方程分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那么此方程要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的积分大小相等，符要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的积分大小相等，符号相反，这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限控制体是任意的，号相反，这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限控制体是任意的，因此因此对任意控制体对任意控制体，都要求要此方程的积分为零，都要求要此方程的积分为零，唯一方法唯一方法是被积函是被积函数在控制体内所有点值都为零。因此数在控制体内所有点值都为零。因此 2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程上式就是上式就是连续方程的微分形式连续方程的微分形式。该方程建立了。该方程建立了流场中某点流场中某点的流动变量的流动变量之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的是流场中之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的是流场中一个一个有限空间有限空间的流动变量之间的关系。的流动变量之间的关系。现在学习的是第27页，共48页2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程首先引入一个首先引入一个首先引入一个首先引入一个矢量记号矢量记号矢量记号矢量记号：它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢量点它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢量点它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢量点它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢量点乘标量的梯度。乘标量的梯度。乘标量的梯度。乘标量的梯度。连续方程的物质导数形式：连续方程的物质导数形式：连续方程的物质导数形式：连续方程的物质导数形式：第一章我们学习了第一章我们学习了物质导数物质导数，下面我们把连续方程表示成物质导数的，下面我们把连续方程表示成物质导数的形式。形式。？考虑微分形式给出的连续方程考虑微分形式给出的连续方程 现在学习的是第28页，共48页2.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程上式即是用上式即是用物质导数表现的连续方程物质导数表现的连续方程的形式。的形式。应用上述的矢量记号，上式变为应用上述的矢量记号，上式变为 此方程中前两项的和就是此方程中前两项的和就是密度的物质导数密度的物质导数 。因此有，。因此有，现在学习的是第29页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动2 2 2 2、速度环量；斯托克斯定理、速度环量；斯托克斯定理、速度环量；斯托克斯定理、速度环量；斯托克斯定理3 3 3 3、毕奥、毕奥、毕奥、毕奥-萨瓦定理以及直线涡的诱导速度萨瓦定理以及直线涡的诱导速度萨瓦定理以及直线涡的诱导速度萨瓦定理以及直线涡的诱导速度4 4 4 4、亥姆霍兹旋涡定理、亥姆霍兹旋涡定理、亥姆霍兹旋涡定理、亥姆霍兹旋涡定理1 1 1 1、涡线、涡管以及旋涡强度、涡线、涡管以及旋涡强度、涡线、涡管以及旋涡强度、涡线、涡管以及旋涡强度现在学习的是第30页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动前面我们已经指出，流体的运动可以分为前面我们已经指出，流体的运动可以分为无旋运动无旋运动和和有旋运动有旋运动两两种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度等于种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度等于e e=0 的运动，而有旋的运动，而有旋运动则是流场中微团的旋转角速度运动则是流场中微团的旋转角速度 e e0的运动。的运动。现在学习的是第31页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动有旋运动有旋运动又称作又称作旋涡运动旋涡运动。旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程实际中常碰到的现象。例如实际中常碰到的现象。例如龙卷风龙卷风是一种强大的旋涡运动；在船尾的是一种强大的旋涡运动；在船尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都会产生旋涡；飞机在后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都会产生旋涡；飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋涡运动是实际存在的一种重要的运动，飞行同时也会产生旋涡。总之旋涡运动是实际存在的一种重要的运动，因而对于因而对于旋涡运动的研究有着重要的意义旋涡运动的研究有着重要的意义。此式表明旋涡场是无此式表明旋涡场是无源场。源场。现在学习的是第32页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动的如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动的旋涡场旋涡场也可以用也可以用涡线涡线来描述。因此由来描述。因此由速度向量速度向量所构成的速度场里所引进的关于所构成的速度场里所引进的关于流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到由流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到由旋转角速度向旋转角速度向量量所构成的旋涡场中来。所构成的旋涡场中来。涡线，涡管以及旋涡强度涡线，涡管以及旋涡强度涡线，涡管以及旋涡强度涡线，涡管以及旋涡强度现在学习的是第33页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动涡涡线线：是是充充满满旋旋涡涡流流场场中中的的一一系系列列的的曲曲线线，在在任任意意瞬瞬时时该该曲曲线线上上微微团团的的旋旋转转角角速速度度向向量量（旋旋转转轴轴线线方方向向按按右右手手定定则则）都都和和曲曲线线相相切切，右如图所示。，右如图所示。涡线涡线涡线涡线涡线方程涡线方程：ds现在学习的是第34页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动涡涡管管：某某瞬瞬时时，在在旋旋涡涡场场中中任任取取一一条条非非涡涡线线的的光光滑滑封封闭闭曲曲线线（曲曲线线不不得得与与同同一一条条涡涡线线相相交交于于两两点点），过过该该曲曲线线的的每每一一点点作作涡涡线线，这这些些涡涡线线形形成成的的管管状曲面状曲面称为涡管，见右图。称为涡管，见右图。涡管涡管涡管涡管:现在学习的是第35页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动涡通量涡通量：通过任一截面的：通过任一截面的涡量涡量的面积分。定义为：的面积分。定义为：涡管的侧表面是涡管的侧表面是涡面涡面。在这个涡面上流体微团的角速度矢。在这个涡面上流体微团的角速度矢量量 与涡面的法向矢量相垂直。这表明与涡面的法向矢量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡涡通量不能穿越涡管表面管表面。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此涡涡管可大可小，甚至无限小管可大可小，甚至无限小，涡线是横截面积趋向于零的涡，涡线是横截面积趋向于零的涡管。管。速度场的速度场的旋度旋度 V 又称又称涡量涡量。涡通量涡通量涡通量涡通量：现在学习的是第36页，共48页旋旋涡涡强强度度，或或称称涡涡量量强强度度：设设在在涡涡管管上上取取一一截截面面，截截面面面面积积为为 ，则定义为，则定义为2.7 旋涡运动旋涡运动上式就是涡管的旋涡强度。对于同一上式就是涡管的旋涡强度。对于同一涡管，旋涡强度为一涡管，旋涡强度为一常值常值。因为，。因为，edssen现在学习的是第37页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、流应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、流量等相似，但不能把两者混淆起来。量等相似，但不能把两者混淆起来。涡线和流线涡线和流线应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，运应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否有涡，动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否有涡，流线总是存在的流线总是存在的。现在学习的是第38页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动速速度度环环量量：如如果果积积分分路路径径为为一一封封闭闭曲曲线线，则则速速度度线线积积分分值值的的定定义义为速度环量，即，为速度环量，即，速度环量、斯托克斯定理：速度环量、斯托克斯定理：速度环量、斯托克斯定理：速度环量、斯托克斯定理：本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋度的本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋度的概念。而在概念。而在同一流动区域中所有流体旋度的总效应同一流动区域中所有流体旋度的总效应则是以则是以速度速度的环量的环量来体现的。来体现的。速度环量是标量，取速度环量是标量，取逆时针积分方向逆时针积分方向为正为正。zyx现在学习的是第39页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动斯斯托托克克斯斯定定理理表表明明：沿沿空空间间任任一一封封闭闭曲曲线线l上上的的环环量量，等等于于贯贯通通以以此此曲曲线线所所成成的的任任意意曲曲面面上上旋旋度度的的面面积积分分。根根据据此此定定理理，一一个个涡涡管管的的旋旋涡涡强强度度可可以以以以此此涡涡管管的的围围线线的的环环量量值值代代替替，所所以以环环量量也也就就成成了了涡涡强强的的同同义义词词。如如果果曲曲线线所所围围成成的的区区域域中中无无涡涡通通量量，则则沿沿此此围围线线的的环环量量为零为零。斯托克斯定理：斯托克斯定理：斯托克斯定理：斯托克斯定理：现在学习的是第40页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动斯托克斯定理斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲线的表明，流场中若沿任意闭合曲线的速度环量为零速度环量为零，则流，则流场中的流动是场中的流动是无旋无旋的。的。通常将围绕包含通常将围绕包含点涡点涡闭合曲线上的速度环量称为闭合曲线上的速度环量称为点涡强度点涡强度。毕毕毕毕奥奥奥奥-萨萨萨萨瓦瓦瓦瓦公公公公式式式式：用用来来确确定定诱诱导导速速度度的的大大小小。该该公公式式指指出出,在在不不可可压压流流动动中中，强强度度是是 G G 、微微段段长长度度 dL 的的涡涡线线对对周周围围流流场所产生得诱导速度为场所产生得诱导速度为 ：诱导速度诱导速度：由旋涡存在而产生的速度。：由旋涡存在而产生的速度。dLdwBGArNMO现在学习的是第41页，共48页2.7 旋涡运动旋涡运动直线涡的诱导速度：直线涡的诱导速度：直线涡的诱导速度：直线涡的诱导速度：诱导速度的方向诱导速度的方向是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。如果涡线的一端无限长且如果涡线的一端无限长且M M的投影在另一端点，的投影在另一端点，如果如果涡线两端都延伸到无穷远涡线两端都延伸到无穷远，对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡线垂直的平面对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡线垂直的平面上流动都是一样的，因此这种流动可以看作平面流动，通常上流动都是一样的，因此这种流动可以看作平面流动，通常称平面称平面点涡流动点涡流动。Ga2a1hMdLdarDAB现在学习的是第42页，共48页2.8 基本方程（二）：动量方程基本方程（二）：动量方程1 1、动量方程的物理意义动量方程的物理意义动量方程的物理意义动量方程的物理意义2 2、动量方程的积分形式动量方程的积分形式动量方程的积分形式动量方程的积分形式3 3、动量方程的微分形式动量方程的微分形式动量方程的微分形式动量方程的微分形式4 4、动量方程的物质导数形式动量方程的物质导数形式动量方程的物质导数形式动量方程的物质导数形式现在学习的是第43页，共48页2.8 基本方程（二）：动量方程基本方程（二）：动量方程下一步：用流场变量下一步：用流场变量(压力、密度、速度压力、密度、速度)来表述来表述(2-18)。动量方程的物理意义：动量方程的物理意义：动量方程的物理意义：动量方程的物理意义：动量方程描述的是动量守恒定律：动量方程描述的是动量守恒定律：控制体中动量随时间的变控制体中动量随时间的变化率等于作用在控制体上的力化率等于作用在控制体上的力。牛顿第二定律常写成：牛顿第二定律常写成：牛顿第二定律常写成：牛顿第二定律常写成：此式更一般的形式是：此式更一般的形式是：此式更一般的形式是：此式更一般的形式是：此式表示的是动量定理：此式表示的是动量定理：此式表示的是动量定理：此式表示的是动量定理：力力力力=动量随时间的变化率动量随时间的变化率动量随时间的变化率动量随时间的变化率（2-18）现在学习的是第44页，共48页2.8 基本方程（二）：动量方程基本方程（二）：动量方程第二项第二项中，把中，把 看成是标量看成是标量 和矢量和矢量 的积。运的积。运用矢量运算，该项可以展开为，用矢量运算，该项可以展开为，动量方程的物质导数形式：动量方程的物质导数形式：动量方程的物质导数形式：动量方程的物质导数形式：下面用物质导数的形式来表示动量方程。考虑如下形式给出的下面用物质导数的形式来表示动量方程。考虑如下形式给出的 x 方方向向的动量方程的微分形式，的动量方程的微分形式，左端左端第一项第一项可以展开为，可以展开为，现在学习的是第45页，共48页2.8 基本方程（二）：动量方程基本方程（二）：动量方程因此，动量方程的因此，动量方程的物质导数形式物质导数形式为，为，现在学习的是第46页，共48页2.9 基本方程（三）：能量方程基本方程（三）：能量方程1 1、能量方程的引入能量方程的引入能量方程的引入能量方程的引入2 2、能量方程的物理意义能量方程的物理意义能量方程的物理意义能量方程的物理意义3 3、能量方程的积分形式能量方程的积分形式能量方程的积分形式能量方程的积分形式4 4、能量方程的微分形式能量方程的微分形式能量方程的微分形式能量方程的微分形式5 5、能量方程的物质导数形式能量方程的物质导数形式能量方程的物质导数形式能量方程的物质导数形式6 6、方程组封闭的条件方程组封闭的条件方程组封闭的条件方程组封闭的条件现在学习的是第47页，共48页2.9 基本方程（三）：能量方程基本方程（三）：能量方程对对不可压流动不可压流动，密度密度是常数。流场的主要是常数。流场的主要变量变量是是压强压强 和和速度速度 。连续方程连续方程和和动量方程动量方程都是关于都是关于 和和 方程。因此，对方程。因此，对定常的不可定常的不可压流压流，连续方程和动量方程，连续方程和动量方程已经封闭已经封闭。对对可压流动可压流动，密度密度 也是一个也是一个变量变量。为了使该系统。为了使该系统封闭封闭，还需要一个还需要一个基本方程基本方程，即本节的，即本节的能量方程能量方程。能量方程的引入：能量方程的引入：能量方程的引入：能量方程的引入：在能量方程的推导过程中，引入了在能量方程的推导过程中，引入了另外两个流场变量另外两个流场变量：内能：内能 e 和和温度温度 T。对。对这两个变量这两个变量，还需要，还需要引入附加的方程引入附加的方程，这将在后面的，这将在后面的内容中提到。内容中提到。现在学习的是第48页，共48页