高中数学教案-复数.pdf

复数课程目标课程目标知识点复数的概念复数的四则运算考试要求AC具体要求了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算了解共轭复数的概念和性质理解复数的几何意义了解复数的相关应用考察频率少考必考共轭复数复数的几何意义复数的应用ABA少考少考少考知识提要知识提要复数的概念复数的概念复数的概念为了把数的范围进一步扩充，人们引入了一个新的数，叫虚数单位，且规定：；可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）复数通常用字母表示，即（，），这一表示形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）对于复数，都有，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，），与相等的充要条件是且复数的分类复数（，）可以分类如下：第 1 页 共 20 页实数复数纯虚数虚数非纯虚数复数的四则运算复数的四则运算复数的加法运算设，是任意两个复数，那么复数的减法运算设，是任意两个复数，那么复数的乘法运算设，是任意两个复数，那么复数的除法运算设，是任意两个复数，那么第 2 页 共 20 页共轭复数共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（conjugate complex number）记复数的共轭复数为虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数任一实数的共轭复数仍是它本身两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，即复数的几何意义复数的几何意义根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数由点唯一确定；反设复平面内的点表示复数，连接，显然向量唯一确定因此，复数集与复平面内的过来，点（相对于原点来说）也可以由向量第 3 页 共 20 页向量所成的集合也是一一对应的（实数与零向量对应）我们常把复数说成，并且规定，相等的向量表示同一个复数点或说成向量，则向量的长度叫做复数的模（或设复数（，）对应的向量绝对值），记作计算公式为，如果，则复数的应用复数的应用复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础精选例题精选例题复数的概念复数的概念 1.复数（，是实数，是虚数单位），则的值为【答案】【分析】，根据复数相等的定义，则有，所以的值为 2.已知复数（是虚数单位），则的虚部是【答案】【分析】因为，所以复数的虚部是第 4 页 共 20 页 3.已知，（，为虚数单位），则【答案】【分析】因为，所以，故 4.复数在复平面内对应的点为坐标原点，则【答案】【分析】由题意知解得所以 5.已知复数，且为纯虚数，则【答案】【分析】为纯虚数，所以解得 6.若复数在复平面内对应的点在实轴的正半轴上，求的值【解】因为复数在复平面内对应的点在实轴的正半轴上，所以或解得或所以 7.设，（1）若，则的取值范围是；（2）若为纯虚数，则的取值范围是；（3）若且，则的取值范围是；第 5 页 共 20 页（4）设集合，若，则的取值范围是【分析】由，（1）若，则的取值范围是（2）若为纯虚数，则故（3）若且，则故（4）设集合，若，则，故或【解】（1）；（2）；（3）（4）或 8.实数取何值时，复数是 (1)零；【解】复数 (2)虚数；【解】由复数是虚数，得，且 (3)纯虚数【解】由复数是纯虚数，得，解得 9.实数取什么值时，复数是 (1)零；【解】当复数是零时，或所以故或 (2)实数；【解】当复数是实数时，所以，或 (3)虚数；第 6 页 共 20 页【解】当复数是虚数时，所以且 (4)纯虚数？【解】当复数是纯虚数时，或所以故且10.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围【解】依题意得即解得复数的四则运算复数的四则运算 1.已知复数（其中 为虚数单位），则【答案】【分析】解法 1：解法 2：2.若复数同时满足，（为虚数单位），则【答案】【分析】设，则所以所以所以 3.若复数为虚数单位 是纯虚数，则实数的值为【答案】【分析】因为复数是纯虚数第 7 页 共 20 页所以 4.【答案】【分析】原式 5.设 为虚数单位，则复数的模为【答案】6.设，求展开式的第三项【解】原式展开式的第三项为 7.已知复数，设，且，求复数，【解】，又因为，且，所以解得所以，8.计算：(1)；【解】原式；(2)；【解】原式；第 8 页 共 20 页 (3)【解】原式 9.已知，求证：【解】证法一：设，故证法二：设，在复平面的对应点分别为，当坐标原点，三点共线时，结论易证，略；当坐标原点，三点不共线时，则设在复平面的对应点为，则在平行四边形中，在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得，相加，即10.在复数范围内解方程【解】原方程化简为，设，代入上述方程，得所以解得所以原方程的解是共轭复数共轭复数 1.已知复数（为虚数单位），则第 9 页 共 20 页【答案】【分析】由，所以 2.已知复数【答案】3.设复数满足，则的共轭复数【答案】4.设，复数，则；【答案】；5.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为【答案】【分析】由题得，则，故虚部为 6.已知复数满足，求【解】因为，所有，即，所以是纯虚数或 令，所以，即或，所以或，故或 7.设复数，满足，其中，求的值【解】因为，是的共轭复数，则第 10 页 共 20 页把代入上式，得 8.已知 (1)证明：且；【解】(2)求值：【解】，因为，所以，故 9.已知复数，求实数，使【解】，即，又，代入得故解得或10.求证：(1)复数为实数的充要条件是；【解】设，则必要性证明：当复数为实数，由实数的共轭复数是其本身，知，故复数为实数的必要条件是充分性证明：若，则，故，故复数为实数，故复数为实数的充分条件是综上可知，复数为实数的充要条件是 (2)（，）第 11 页 共 20 页【解】设，因为所以因为所以，复数的几何意义复数的几何意义 1.已知复数在复平面内的对应点在第三象限，则实数的取值范围是【答案】【分析】由已知得解得 2.若复数对应的点在轴的负半轴上（其中 是虚数单位），则实数的值是【答案】【分析】因为，由条件得从而 3.已知：，则【答案】4.已知复数且，则的最小值是【答案】【分析】由复数模的几何意义，知表示复平面上以原点为圆心，以为半径的圆上的点，而表示圆上的点到的距离，所以的最小值为 5.已知复数，（为虚数单位），在复平面内，对应的点在第象限第 12 页 共 20 页【答案】二【分析】，即对应点坐标为，在第二象限 6.指出关于的方程在复平面上是什么图形【解】题中方程表示复数在复平面内对应的点到点，的距离和为，又点和的距离为，故题中方程表示在复平面中以，为端点的线段 7.如果复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围【解】由题意得解得或，故实数的取值范围是或 8.当为何值时，复数是 (1)实数？【解】由题意知所以故当时，复数为实数 (2)虚数？或【解】由题意得即且所以或且故当或且时，为虚数 (3)纯虚数？或【解】由题意得所以且所以或故当或时，复数为纯虚数 9.已知：，在复平面上的动点对应复数满足方程，说明动点的轨迹第 13 页 共 20 页【解】由，有又，故平面上的动点到，距离之和为 根据椭圆定义，点的轨迹为以点，为焦点，长轴长为的椭圆10.已知复数，在复平面内对应的点分别为，求直线的斜率【解】因为复数，在复平面内对应的点分别为，所以，当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率为复数的应用复数的应用 1.若是方程的解，求证：【解】将解代入原方程得：，将此式两边同除以，则有：，即，所以由复数相等的定义得课后练习课后练习 1.如果复数与为相等复数，为实数，则，2.若复数是纯虚数，则 3.若复数是实数，则实数 4.若（为虚数单位），则是的条件 5.设，则复数为实数的充要条件是 6.复数（是虚数单位）7.第 14 页 共 20 页 8.已知，则复数 9.已知复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为10.复数，且是纯虚数，则实数的值为11.复数（为虚数单位）的共扼复数为12.复数的共扼复数是13.若，则复数14.已知，则15.若，且，则复数16.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为17.设（为虚数单位），则复数的模为18.设复数满足，其中 是虚数单位，则的值为19.已知 是虚数单位，则20.若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的图形的面积为21.当实数取何值时，复数的对应点位于 (1)第一或三象限？(2)第四象限？22.实数取何值时，复数满足下列条件 (1)；(2)为虚数；(3)为纯虚数23.已知两个复数集合，（），且，求实数的取值范围24.已知关于的二次方程 (1)当方程有实根时，求点的轨迹；(2)求方程实数根的取值范围25.已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值26.设，求满足且的复数第 15 页 共 20 页27.计算：28.求证：若两个虚数的和与积都是实数，则这两个虚数互为共轭复数29.已知复数，求满足的复数30.已知复数，求证：31.已知（且）(1)证明；(2)设的辐角为，求的值32.已知复数且，是纯虚数，求的共轭复数33.已知，(1)若，求；(2)若，求，的值34.证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解35.设的共轭复数是，且，求的值36.已知复数 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？37.已知集合，试求：当实数取什么值时，复数为：(1)求集合中复数所对应的复平面内动点坐标满足的关系？并在复平面内画出图形第 16 页 共 20 页 (2)若，求取何值时，取得最大值、最小值，并求的最大值、最小值 (3)若，且，求实数的取值范围38.已知复数，满足，求的值39.在复平面内，若复数对应点，分别求实数的取值范围 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线上40.若，求的最大值和最小值第 17 页 共 20 页复数复数-出门考出门考姓名成绩 1.已知集合，满足，则实数 2.已知，则实数的值为 3.设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为 4.如果复数是实数，则实数 5.关于的方程有实数根，为虚数单位，为实数，则这个实数根为，对应的复数分别为，那么 6.在复平面内，是原点，对应的复数为 7.已知 是虚数单位，实数，满足，则 8.已知复数（为虚数单位），则的实部为 9.复数10.复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为11.设复数满足，其中 是虚数单位，若，则12.，为复数的共轭复数，则13.若是实系数方程的一个虚根，且，则14.若复数，则复数15.已知，则16.若复数为纯虚数，则的值是17.满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是18.若（为虚数单位），则19.已知复数满足（为虚数单位），则20.设复数对应的点在直线上，则的值为第 18 页 共 20 页21.关于的方程有实根，求实数的取值范围22.，当实数为何值时，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数23.设复数，当取何值时，(1)是纯虚数？(2)是实数？(3)复数的对应点在第二象限？24.已知复数 (1)当满足什么条件时，是实数？(2)当满足什么条件时，是虚数？25.若方程至少有一个实数根，试求实数的值26.计算：27.若复数，求实数使(其中为的共轭复数)28.复数满足：，讨论29.化简：(1)；(2)是否可为纯虚数？30.已知复数 (1)求；，若 (2)求实数，的值31.求证：(1)复数为实数的充要条件是；(2)，32.已知动点在复平面上对应的复数为，其中是使求点的轨迹方程为纯虚数的复数，第 19 页 共 20 页33.复数，实数分别取什么数时，(1)在复平面内的对应点在第三象限；(2)在复平面内的对应点在直线上；(3)的共轭复数的虚部为34.已知复数满足（为虚数单位），(1)求；(2)若（1）中的是关于的方程的一个根，求实数的值及方程的另一个根对应的复数35.已知在复平面内，平行四边形中，点对应的复数为，向量对应的复数为，求点，对应的复数为，向量36.设，则满足的复数在复平面内对应的点的集合是什么图形？37.已知点对应复数，点对应复数，若点在圆上运动，求点的轨迹38.已知复数，且，在复平面内对应的点分别为，求过，两点的直线的斜率39.已知复数，其中求证：复数不可能是纯虚数第 20 页 共 20 页