高中数学教案-复数.pdf
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1、复数课程目标课程目标知识点复数的概念复数的四则运算考试要求AC具体要求了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算了解共轭复数的概念和性质理解复数的几何意义了解复数的相关应用考察频率少考必考共轭复数复数的几何意义复数的应用ABA少考少考少考知识提要知识提要复数的概念复数的概念复数的概念为了把数的范围进一步扩充,人们引入了一个新的数,叫虚数单位,且规定:;可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍成立我们把集合中的数,即形如(,)的数叫做复数(complex number),其中叫做虚数单位(imaginary unit
2、)全体复数所成的集合叫做复数集(set of complex numbers)复数通常用字母表示,即(,),这一表示形式叫做复数的代数形式(algebraic form of complex number)对于复数,都有,其中的与分别叫做复数的实部(real part)与虚部(imaginary part)对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数;当时,叫做虚数;当且时,叫做纯虚数复数相等的充要条件在复数集中任取两个数,(,),与相等的充要条件是且复数的分类复数(,)可以分类如下:第 1 页 共 20 页实数复数纯虚数虚数非纯虚数复数的四则运算复数的四则运算复数的加法运算设,是任意
3、两个复数,那么复数的减法运算设,是任意两个复数,那么复数的乘法运算设,是任意两个复数,那么复数的除法运算设,是任意两个复数,那么第 2 页 共 20 页共轭复数共轭复数一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number)记复数的共轭复数为虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数任一实数的共轭复数仍是它本身两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方,即复数的几何意义复数的几何意义根据复数相等的定义,任何一个复数,都可以由一个有序实数对唯一确定因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数集与平面直角坐标系
4、中的点集之间可以建立一一对应点的横坐标是,纵坐标是,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数由点唯一确定;反设复平面内的点表示复数,连接,显然向量唯一确定因此,复数集与复平面内的过来,点(相对于原点来说)也可以由向量第 3 页 共 20 页向量所成的集合也是一一对应的(实数与零向量对应)我们常把复数说成,并且规定,相等的向量表示同一个复数点或说成向量,则向量的长度叫做复数的模(或设复数(,)对应的向量绝对值),记作计算公式为,如果,则复数的应用复数的应用复数在数学、力学、电学及其他学科中
5、都有广泛的应用复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系,也是进一步学习数学的基础精选例题精选例题复数的概念复数的概念 1.复数(,是实数,是虚数单位),则的值为【答案】【分析】,根据复数相等的定义,则有,所以的值为 2.已知复数(是虚数单位),则的虚部是【答案】【分析】因为,所以复数的虚部是第 4 页 共 20 页 3.已知,(,为虚数单位),则【答案】【分析】因为,所以,故 4.复数在复平面内对应的点为坐标原点,则【答案】【分析】由题意知解得所以 5.已知复数,且为纯虚数,则【答案】【分析】为纯虚数,所以解得 6.若复数在复平面内对应的点在实轴的正半轴上,求的值【解】因为复数在复平
6、面内对应的点在实轴的正半轴上,所以或解得或所以 7.设,(1)若,则的取值范围是;(2)若为纯虚数,则的取值范围是;(3)若且,则的取值范围是;第 5 页 共 20 页(4)设集合,若,则的取值范围是【分析】由,(1)若,则的取值范围是(2)若为纯虚数,则故(3)若且,则故(4)设集合,若,则,故或【解】(1);(2);(3)(4)或 8.实数取何值时,复数是 (1)零;【解】复数 (2)虚数;【解】由复数是虚数,得,且 (3)纯虚数【解】由复数是纯虚数,得,解得 9.实数取什么值时,复数是 (1)零;【解】当复数是零时,或所以故或 (2)实数;【解】当复数是实数时,所以,或 (3)虚数;第
7、6 页 共 20 页【解】当复数是虚数时,所以且 (4)纯虚数?【解】当复数是纯虚数时,或所以故且10.设,若复数在复平面内的对应点在第三象限,求的取值范围【解】依题意得即解得复数的四则运算复数的四则运算 1.已知复数(其中 为虚数单位),则【答案】【分析】解法 1:解法 2:2.若复数同时满足,(为虚数单位),则【答案】【分析】设,则所以所以所以 3.若复数为虚数单位 是纯虚数,则实数的值为【答案】【分析】因为复数是纯虚数第 7 页 共 20 页所以 4.【答案】【分析】原式 5.设 为虚数单位,则复数的模为【答案】6.设,求展开式的第三项【解】原式展开式的第三项为 7.已知复数,设,且,求
8、复数,【解】,又因为,且,所以解得所以,8.计算:(1);【解】原式;(2);【解】原式;第 8 页 共 20 页 (3)【解】原式 9.已知,求证:【解】证法一:设,故证法二:设,在复平面的对应点分别为,当坐标原点,三点共线时,结论易证,略;当坐标原点,三点不共线时,则设在复平面的对应点为,则在平行四边形中,在中,由余弦定理,得在中,由余弦定理,得,相加,即10.在复数范围内解方程【解】原方程化简为,设,代入上述方程,得所以解得所以原方程的解是共轭复数共轭复数 1.已知复数(为虚数单位),则第 9 页 共 20 页【答案】【分析】由,所以 2.已知复数【答案】3.设复数满足,则的共轭复数【答
9、案】4.设,复数,则;【答案】;5.已知复数(为虚数单位),则复数的虚部为【答案】【分析】由题得,则,故虚部为 6.已知复数满足,求【解】因为,所有,即,所以是纯虚数或 令,所以,即或,所以或,故或 7.设复数,满足,其中,求的值【解】因为,是的共轭复数,则第 10 页 共 20 页把代入上式,得 8.已知 (1)证明:且;【解】(2)求值:【解】,因为,所以,故 9.已知复数,求实数,使【解】,即,又,代入得故解得或10.求证:(1)复数为实数的充要条件是;【解】设,则必要性证明:当复数为实数,由实数的共轭复数是其本身,知,故复数为实数的必要条件是充分性证明:若,则,故,故复数为实数,故复数
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- 高中数学 教案 复数
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