第三十七讲导数的概念及其运算.doc

第三十七讲 导数的概念及其运算一、引言1.导数它既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一2.考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数3.考情分析：预测2010年高考命题对本专题内容的考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，重点考查导数的几何意义和切线问题二、考点梳理1导数的概念：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，函数相应地有增量，如果当时，有极限，称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或即2导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点处的切线的斜率是相应地，切线方程为3导数的运算：（1）基本函数的导数公式：；(2)导数的运算法则：设均可导，则；（C为常数）；(3)复合函数的导数：设均可导，则复合函数可导，且三、典型例题选讲例1（北京卷）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；（用数字作答）分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口解：由图形可知，归纳小结：(1)本题考查了函数的表示形式，导数的概念和几何意义等知识点，以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征，合理进行转化利用导数的概念公式，并结合其几何意义为曲线在点处的切线的斜率（3）本题常见的变形结构：、等代数式的值解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式如：；.例2 求函数的导数：；分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数解：（1）（2）.；（3）令，；（4），归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导（3）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数例3 某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之距离对时间的变化率是_分析：由题意知，且相对时间的导数就是变化率的极限是瞬时速度因此只需求函数在时的导数值解：设小时后两船距离为，则有. .答案为.归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义解决物理问题，能正确了解导数的某些实际背景，熟练运用复合函数的求导法则，而且考查了数学转化和建模思想，及用导数知识处理实际问题的能力（2）导数在实际问题中有着广泛的应用，如位移相对时间的导数是表示时刻处的瞬时速度，即；而速度相对时间的导数就是时刻处的加速度，即例4（江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线：上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 .分析：利用点处的切线的斜率，且即可解出，从而解出点的坐标解：，.点在第二象限内，.点的坐标为.归纳小结：（1）本题考查了复杂函数的求导方法和导数的四则运算法则，对函数解析式的分析和观察能力和恒等变形、灵活计算的能力有较高的要求（2）导数的几何意义是：曲线在点处的切线斜率为，这是考查的重点内容之一例5（2007年海南、宁夏）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）ABCD分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直角三角形，求出三角形面积解：曲线在切点的切线的斜率为，切线方程为.当时，切线与轴交于点；当时，切线与轴交于点所以切线与坐标轴所围三角形面积为归纳小结：（1）本题考查了曲线的切线方程，并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合，考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想（2）求曲线的切线方程的步骤是：求导数；求斜率；写出切线方程例6 过点作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）A B C D分析：若切点，则根据导数的几何意义是函数在切点处切线的斜率，因此求出切点的横坐标为解决问题的突破口解：设切点坐标为，则切线的斜率为，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，化简得，可解得或当时，切线方程为；当时，切线方程为故选D归纳小结：（1）本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，深刻理解曲线的切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键（2）要注意的是，当函数在处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时切线的斜率是应是在切点处的导数，而点不在曲线上，故当切点未知时，应先设切点，再求斜率，写出切线的方程例7 已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线若和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的方程分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线和的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题解：设抛物线上的切点为，则在点处切线的斜率为，所以抛物线在点处的切线方程是：.即同理，设曲线上的切点为，则曲线在点处的切线方程是如果直线是过和的公切线，则式和式都是的方程，则消去得方程.若判别式时，即时，得，此时点和重合即当时，和有且仅有一条公切线，由得公切线方程为归纳小结：（1）本题主要考查导数、切线等知识，同时考查了数学转化思想和综合运用数学知识解决问题的能力（2）本题的特点是主要是新定义了概念，在新定义的概念背景下解决问题其解决方法是对新概念“曲线和的公切线”进行充分的分析，从中找出关键信息进行再加工，从而合理地进行问题的转化.例8 已知函数为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，求函数的解析式解：函数图象过点，.函数是偶函数，.，即.，.当，对于直线可得，即切点为.点也在函数图象上，即.由，解得.归纳小结：（1）本题考查了函数几何意义的逆向运用，以及奇偶函数的概念和切点坐标的使用，对数学逆向运用能力和迁移能力也进行了考查（2）一般地说，奇（偶）函数是多项式时，奇函数的偶次项系数为，偶函数的奇次项系数为.要注意切点的位置，既在切线上又在曲线上，所以其坐标满足直线和曲线方程，也是本题建立关于参数的方程组，求出参数的值的突破口例9（全国）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：分析：第（1）利用导数的几何意义可以解出第（2）问过点可作曲线的三条切线，则有三个切点，即第（1）问的切线方程有三个根，因此问题转化为对切线方程根的个数的讨论解：（1）求函数的导数：曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则.当变化时，变化情况如下表：由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义，方程的根的的个数讨论，极值等知识，考查了分类讨论和数形结合思想，分析解决综合问题的能力（2）利用图形考查方程根的个数问题是一种常见的考题形式，只要转化为函数的极值与轴的相对位置即可四、本专题小结1导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映的是函数在点处的变化的快慢速度，它的几何意义是曲线上点处的切线的斜率因此，如果在点处可导，则曲线在点处的切线方程为；2熟记导数的四则运算法则、基本函数的导数公式、复合函数的求导法则；3在对函数求导时应尽可能先化简，再求导对复合函数进行求导时，关键是分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，正确地求出导数；4导数在实际问题中有着广泛的应用，要熟练运用导数的几何意义解决具有实际意义的物理问题第三十八讲 函数的单调性与导数一、引言1.函数单调性是高中阶段刻画函数变化的一个最基本的性质，采用“导数法”求单调区间能简化运算，优化解题思想，也是近年来高考的考查重点内容之一2.考纲要求：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性（对多项式一般不超过三次）3.考情分析：预测年高考对本专题内容的考查仍有研究导数图象与函数图象的问题，也有导数与解析几何、不等式、平面向量等知识综合的问题二、考点梳理1函数的单调性与导数：设函数在区间内可导，如果，那么函数在区间上是单调递增函数；如果，那么函数在区间上是单调递减函数；如果，那么函数在这个区间内是常数函数值得注意的是：应正确理解区间的含义，它必是定义域内的区间2用导数法确定函数的单调性的步骤是：（1）先求出定义域，再求出函数的导函数；（2）求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间也可以利用数轴，采用“穿轴法”确定函数的单调区间：确定的定义域；求的导数；求出在内的所有实根，再把函数的间断点（即在定义域内的无定义点）和各实数根按照从小到大的顺序排列起来；在数轴上把的定义域分成若干个小区间；利用“穿轴法”观察在各小区间上的符号，从而判定在各个小区间上的增减性三、典型例题选讲例1（江苏）函数的单调减区间为 分析：显然用单调性的定义解决该题比较困难，所以应采用导数法求出单调增区间解：.令，解得所以的单调减区间为归纳小结：（1）本题考查利用导数法解决函数的单调区间问题，把问题转化为解不等式问题，考查转化思想，对解决问题的灵活性有一定的要求；（2）当函数解析式为高次或分式、根式、对数等形式，或画函数图象很困难时，用导数法研究函数的单调性比定义法更为简便，这也是高考命题的热点之一，因此要熟练掌握用导数法求单调区间的方法及步骤例2（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）分析：由的图象可观察出在不同区间的符号，从而判断出在不同区间的单调性，因此可以根据的图象大致得到的图象解：如图A、B、C三个图中两条曲线可分别作为和的图象，符合题意对于D，若上一条曲线为的图象，则为增函数，不符合；若下一条曲线为的图象，则为增函数，也不符合故选D归纳小结：（1）本题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关系，通过对的图象提炼函数的信息，考查数形结合思想和识图、用图的能力，以及分析问题、解决问题的能力（2）应用导数信息确定原函数大致图象，是导数应用性问题的常见题型，关键是把握原函数图象在的图象与轴交点处的切线的斜率为，在不同区间的符号能判断出原函数的单调区间例3（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，若，则必有（ ）AB CD分析：由可以判断函数的符号，因此可以根据的单调性解决问题解：因为，则.设，则.所以在上单调递减函数又因为，则，故.所以答案为C归纳小结：（1）本题考查了导数的单调性和不等式的基础知识，对公式的变形和灵活运用，知识的迁移能力能力等有一定的要求（2）根据的符号判断的单调性是高考的考查重点内容之一，同时对不等式应用中简单的放缩法能根据问题的结论观察比较进行例4（安徽）已知函数，讨论的单调区间分析：本题考查了解析式含有参数的函数的导数问题，在转化为含参不等式时，要对参数进行合理地分类讨论解：的定义域是，设，二次方程的判别式，当，即时，对一切都有，此时在上是增函数；当，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数；当，即时，方程有两个不同的实根，00单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减归纳小结：（1）含参解析式求导转化为解含参不等式问题是高考试题中的一种常见考题形式本题考查了利用导数求函数的单调区间、含参不等式的解法等相关知识，还考查了对导数的基本的应用意识，分类与整合思想和对代数式的变形计算、求导能力；（2）用导数法解函数的单调区间的本质是求导，解不等式，对这两部分的知识在应用时谨慎，特别是要注意符号问题，以免发生错误；（3）要注意的是：求单调区间时，一定要先求函数的定义域，因为函数的单调区间是定义域的子集；单调区间的描述，不能写成并集形式，如本题中的单调递增区间一定不能写成例5 已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围分析：已知在区间上单调递增，则在此区间上一定有恒成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可解：依定义，则.若在上是增函数，则在上恒成立即在区间上恒成立令函数，由于的图象的对称轴为，开口向上的抛物线，故使在区间上恒成立，只须而当时，在上满足，即在上是增函数故的取值范围是归纳小结：（1）本题考查了已知函数的单调区间，求参数的取值范围，平面向量运算、不等式在区间上恒成立方法，考查了对知识的综合运用的能力和迁移能力（2）在已知函数是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令（）恒成立，应用不等式恒成立的理论知识解决参数的取值范围然后检验参数的取值能否使恒等于，如果恒等于，则在该点处参数的值必须舍去例6（年海南）已知函数，（1）如，求的单调区间；（2）若在单调增加，在单调减少，证明.分析：第（2）问函数在、的左右两侧单调性相反，因此可以由得到参数的关系，从而进行消元；再由得到是方程的根，求出的代数式，证明结论解：（1）当时，故.当或时，；当或时，从而在上单调递增，在单调递减(2).由条件得：，即，故，从而因为，所以将右边展开，与左边比较系数得，故又，即由此可得于是.归纳小结：（1）本题考查函数的单调性、极值、导数、函数等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力（2）本题可以推广为在上是增函数，在上是减函数，则解决参数问题只能通过解决两个最值问题加以解决：在上恒成立；在上恒成立例7（2008湖南）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值分析：第（I）求单调区间可以利用解不等式或解决第（）问是恒成立问题中的参数范围问题，通过分离参数，转化为最值问题求解解：（1）函数的定义域是，.设，则令，则当时，在上为增函数，当时，在上为减函数所以在处取得极大值，而，所以，函数在上为减函数于是当时，当时，所以，当时，在上为增函数.当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）不等式等价于不等式由知， 不妨令，则设则由（）知，即所以于是在上为减函数.故函数在上的最小值为所以的最大值为归纳小结：本题考查了利用导数求复杂函数的单调区间和利用单调区间求最值问题，考查了转化和整合思想，对计算和恒等变形、归纳推理能力有较高的要求四、本专题总结1当时，是增函数；当时，是减函数用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的2利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点3或仅是在某区间上为增函数或减函数的充分条件在某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是（）在该区间上恒成立4本专题易错点主要有：函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；求函数的单调区间实际上是不等式（）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式（或）恒成立问题第三十九讲 函数的极值、最值与导数一、引言1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法二、考点梳理1函数的极值：一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说是函数的一个极小值极大值与极小值统称极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值理解极值概念要注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如下图所示，是极大值点，是极小值点，而2函数极值的判断方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值注意：函数在某点处的导数值等于零，该点不一定是函数的极值点，必须检验函数在该点两侧的符号是否相异，即可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件3函数的最大值与最小值：在闭区间上连续的函数，在是必有最大值与最小值，但在开区间上连续的函数不一定有最值4极值与最值的区别与联系：“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值三、典型例题选讲例1 求的极值，并画出的草图分析：首先求，再求方程的根，然后检验在根两边的符号解：因为，所以令解得或当变化时，的变化情况如下表：-22+00+极大值极小值因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为函数的图像如图所示：归纳小结：(1)本题考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力；（2）通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略.（3）求可导函数的极值的步骤：确定函数的定义区间，求导数；求方程的根；用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点例2（安徽）设，函数的图像可能是（）解：，由得，当时，取极大值，当时取极小值且极小值为负故选C另解：当时，当时，选C归纳小结：（1）本题考查了函数图象与导数极值的基本知识，考查了数形结合思想和分析推理能力（2）函数的极值是的充分条件，可以利用填表的方式或穿轴法判断是极大值还是极小值（3）在图形问题中特殊值法是一种常用的方法，要不断练习把握例3（2008广东）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B C D解:令，则有大于零的根，所以.，则.，即，解得.故选B归纳小结：（1）本题考查函数的极值与方程的根的关系，考查了转化思想和分析、计算能力（2）函数的极值点是方程的根，但要注意方程的根不一定是函数的极值点，如果要判断是否为函数的极值点还需要验证该点两侧导数的符号是否异号例4 已知函数，(1)求的单调递减区间；(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值分析：第(1)问属于程序化问题，第(2)问是函数在闭区间的最值问题，只需要求出函数的极值和端点值并进行比较即可解：(1)令，解得或所以函数的单调递减区间为，.(2)因为，.所以和分别是在区间上的最大值和最小值，于是有，解得故，因此.即函数在区间上的最小值为归纳小结：(1)本题考查了利用导数在解决最值问题中的应用问题，考查分析问题、解决问题的能力；(2)求函数在闭区间上的最大值和最小值的步骤：求函数在开区间内的极值；求函数在区间端点的函数值和；将函数将各极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值对于函数在开区间上的最大值和最小值的步骤：求函数在开区间内的极值；将函数将各极值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值定义在开区间上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点例5（全国）设函数在及时取得极值（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围分析：函数是实数域上的可导函数，因此可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点，所确定的相等关系式，运用待定系数法求值解：（1），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（2）由（1）知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为归纳小结：（1）本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化考查了转化思想及灵活解题的能力；（2）已知函数在点处有极值和函数值，求参数值的问题，是一类常见的关于函数极值的应用问题解这类问题采用待定系数法，解关于参数的方程组即可；（3）在讨论函数的单调性时，一定要先明确定义域，在定义域范围内研究单调区间例6 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示，求：（1）的值；（2），的值分析：因为函数点处取得极大值，因此观察在，左右两侧的符号就可以判断出极大值点在根据极值点处导数为和，利用待定系数法求参数，解法一：（1）由图象可知，在上，在上，在上，故在，上递增，在上递减因此在处取得极大值,所以(2)，由得解得解法二：(1)同解法一.(2)设又，所以，由，得，解出，所以.归纳与小结：（）本题考查了函数和图象之间的联系，同时考查了数形结合思想和识图、用图的能力以及根据导数知识灵活解题的能力；（）根据函数的图象中的单调性和极值可以判断出在不同区间的符号和极值点；根据函数的图象在不同区间的符号及与轴的交点，可以判断出的单调性和极值点并能画出草图例7（年湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元（1）试写出关于的函数关系式；（2）当米时，需新建多少个桥墩才能使最小？分析：本题是工程费用最优问题，首先应建立关于的函数关系式，再根据解析形式利用导数方法寻找最优解解：（1）设需要新建个桥墩，.所以.（2）由（1）知，令，得，所以.当时，在区间内为减函数；当时，在区间内为增函数.所以在处取得最小值，此时，故需新建个桥墩才能使最小归纳小结：（1）本题考查函数建模，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力和转化解题能力（2）利用导数解决实际问题的最优问题的一般步骤：如果涉及到解析几何问题，要根据实际意义和问题条件，合理建立坐标系；分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型写出实际问题中变量之间的函数关系；如果的形式是高次函数或对数、指数函数或商式形式，则求函数的导数，并解方程；因为只有唯一极值，通过说明该点处两侧的单调性，得到最大者或最小值(3)在解决实际最优化问题中,要确定函数关系中自变量的定义区间，同时还要注意将不符合实际意义的值舍去例8（2008四川）已知是函数的一个极值点（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围分析：第（1）问实际是解以为未知数的方程的根第（2）问在已知值的基础上解不等式和第（3）问中图象有个交点，实际上是平行于轴的动直线在曲线的两个极值点之间移动，因此此小题是求函数的极值问题解：（1）因为，所以.因此.（2）由（1）知，.当时，；当时，.所以的单调增区间是，的单调减区间是.（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，.所以的极大值为，极小值为.所以在的三个单调区间直线与的图象各有一个交点，当且仅当时成立.因此，的取值范围为归纳小结:（1）本题考查了函数的极值与单调性运用等知识，考查了数形结合思想和计算推理能力（2）一般来说，直线和曲线的交点问题可以转化到图象上理解，即直线在曲线的极值点之间移动，但要注意函数值在极值点左右的极限值，否则容易出现错误例9 已知函数在区间，内各有一个极值点（1）求的最大值；（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为，则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（2）由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故归纳小结:（1）本题考查了函数的极值与切线方程，方程的根，图象与极值点的关系等知识，考查了数形结合思想和运算推理能力（2）本题解题的关键是：函数在区间上有极值点等价与方程在内有根；函数在某点处两侧的符号相反，则该点一定不是极值点四、本专题总结1导数作为研究函数的一种重要工具，在学习时应引起充分重视，这部分知识点不多，但涉及的题型比较多（1）理解函数极值与最值的概念，函数极值刻画的是函数的局部性质，而函数的最值刻画的是函数的整体性质；（2）注意比较极值与最值的概念以及它们之间的联系，可导函数在极值点两侧导函数的符号相反，极大值不一定是最大值，极大值可能小于极小值，连续可导函数闭区间上的最值就是端点值与极值中的最大值、最小值；（3）可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件；（4）要熟练掌握求解函数极值与最值的方法2在复习函数的极值与最值时，要以导数为工具，联系函数的性质，如单调性等这部分内容在高考中的问题设置多数以综合问题形式出现，因此在解决问题中，要逐步体会数形结合思想、转化与整合思想、函数与方程（不等式）思想、分类讨论思想等，不断提高分析推理、灵活计算、等价变形等数学能力