第三十七讲导数的概念及其运算.doc
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1、第三十七讲 导数的概念及其运算一、引言1.导数它既是研究函数性态的有力工具,又是进行理性思维训练的良好素材导数的概念与几何意义,及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一2.考纲要求:理解导数概念及其几何意义,能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数3.考情分析:预测2010年高考命题对本专题内容的考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算,重点考查导数的几何意义和切线问题二、考点梳理1导数的概念:设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,函数相应地有增量,如果当时,有极限,称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或即2导数的几何意义函数在点处的导数
2、的几何意义是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点处的切线的斜率是相应地,切线方程为3导数的运算:(1)基本函数的导数公式:;(2)导数的运算法则:设均可导,则;(C为常数);(3)复合函数的导数:设均可导,则复合函数可导,且三、典型例题选讲例1(北京卷)如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则;(用数字作答)分析:本题的极限式为导数的定义公式的变形,因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口解:由图形可知,归纳小结:(1)本题考查了函数的表示形式,导数的概念和几何意义等知识点,以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征,合理进
3、行转化利用导数的概念公式,并结合其几何意义为曲线在点处的切线的斜率(3)本题常见的变形结构:、等代数式的值解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式如:;.例2 求函数的导数:;分析:解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数解:(1)(2).;(3)令,;(4),归纳小结:(1)本题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力(2)对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简
4、时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误对复合函数求导,必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系,再按照复合函数求导法则进行求导(3)对复杂函数的求导时,函数的解析式能化简的要尽量化简,应尽量少用甚至不用乘积的求导法则,应在求导前,先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简,然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数例3 某日中午时整,甲船自处以的速度向正东行驶,乙船自的正北处以的速度向正南行驶,则当日时分时两船之距离对时间的变化率是_分析:由题意知,且相对时间的导数就是变化率的极限是瞬时速度因此只需求函数在时的导数值解:设小时后两船距离为,则
5、有. .答案为.归纳小结:(1)本题考查了导数的几何意义解决物理问题,能正确了解导数的某些实际背景,熟练运用复合函数的求导法则,而且考查了数学转化和建模思想,及用导数知识处理实际问题的能力(2)导数在实际问题中有着广泛的应用,如位移相对时间的导数是表示时刻处的瞬时速度,即;而速度相对时间的导数就是时刻处的加速度,即例4(江苏)在平面直角坐标系中,点在曲线:上,且在第二象限内,已知曲线在点处的切线的斜率为,则点的坐标为 .分析:利用点处的切线的斜率,且即可解出,从而解出点的坐标解:,.点在第二象限内,.点的坐标为.归纳小结:(1)本题考查了复杂函数的求导方法和导数的四则运算法则,对函数解析式的分
6、析和观察能力和恒等变形、灵活计算的能力有较高的要求(2)导数的几何意义是:曲线在点处的切线斜率为,这是考查的重点内容之一例5(2007年海南、宁夏)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )ABCD分析:根据导数的几何意义可以得到切线方程,从而求出切线与坐标轴的交点,利用所围三角形为直角三角形,求出三角形面积解:曲线在切点的切线的斜率为,切线方程为.当时,切线与轴交于点;当时,切线与轴交于点所以切线与坐标轴所围三角形面积为归纳小结:(1)本题考查了曲线的切线方程,并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合,考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想(2)求曲线的切线方程的步骤是:求导数;求
7、斜率;写出切线方程例6 过点作抛物线的切线,则其中一条切线为( )A B C D分析:若切点,则根据导数的几何意义是函数在切点处切线的斜率,因此求出切点的横坐标为解决问题的突破口解:设切点坐标为,则切线的斜率为,所以切线方程为,因为点在切线上,所以,化简得,可解得或当时,切线方程为;当时,切线方程为故选D归纳小结:(1)本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,深刻理解曲线的切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键(2)要注意的是,当函数在处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,同时切线的斜率是应是在切点处的导数,而点不在曲线上,故当切点未知时,应先设切点,再求斜率,写出切线的方程例7 已知
8、抛物线:和:,如果直线同时是和的切线,称是和的公切线若和有且仅有一条公切线,求的值,并写出此公切线的方程分析:由于未知切点,因此应先设出切点,并分别求出曲线和的切线方程,利用两条切线重合时的切线是公切线,求出切点的横坐标,从而解决问题解:设抛物线上的切点为,则在点处切线的斜率为,所以抛物线在点处的切线方程是:.即同理,设曲线上的切点为,则曲线在点处的切线方程是如果直线是过和的公切线,则式和式都是的方程,则消去得方程.若判别式时,即时,得,此时点和重合即当时,和有且仅有一条公切线,由得公切线方程为归纳小结:(1)本题主要考查导数、切线等知识,同时考查了数学转化思想和综合运用数学知识解决问题的能力
9、(2)本题的特点是主要是新定义了概念,在新定义的概念背景下解决问题其解决方法是对新概念“曲线和的公切线”进行充分的分析,从中找出关键信息进行再加工,从而合理地进行问题的转化.例8 已知函数为偶函数,它的图象过点,且在处的切线方程为,求函数的解析式解:函数图象过点,.函数是偶函数,.,即.,.当,对于直线可得,即切点为.点也在函数图象上,即.由,解得.归纳小结:(1)本题考查了函数几何意义的逆向运用,以及奇偶函数的概念和切点坐标的使用,对数学逆向运用能力和迁移能力也进行了考查(2)一般地说,奇(偶)函数是多项式时,奇函数的偶次项系数为,偶函数的奇次项系数为.要注意切点的位置,既在切线上又在曲线上
10、,所以其坐标满足直线和曲线方程,也是本题建立关于参数的方程组,求出参数的值的突破口例9(全国)已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:分析:第(1)利用导数的几何意义可以解出第(2)问过点可作曲线的三条切线,则有三个切点,即第(1)问的切线方程有三个根,因此问题转化为对切线方程根的个数的讨论解:(1)求函数的导数:曲线在点处的切线方程为:,即(2)如果有一条切线过点,则存在,使于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根记,则.当变化时,变化情况如下表:由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异
11、的实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即归纳小结:(1)本题考查了导数的几何意义,方程的根的的个数讨论,极值等知识,考查了分类讨论和数形结合思想,分析解决综合问题的能力(2)利用图形考查方程根的个数问题是一种常见的考题形式,只要转化为函数的极值与轴的相对位置即可四、本专题小结1导数是函数在点处的瞬时变化率,它反映的是函数在点处的变化的快慢速度,它的几何意义是曲线上点处的切线的斜率因此,如果在点处可导,则曲线在点处的切线方程为;2熟记导数的四则运算法则、基本函数的导数公式、复合函数的求导法则;3在对函数求导时应尽可能先化简,再求
12、导对复合函数进行求导时,关键是分析清楚函数的复合关系,选好中间变量,熟用复合函数求导法则,正确地求出导数;4导数在实际问题中有着广泛的应用,要熟练运用导数的几何意义解决具有实际意义的物理问题第三十八讲 函数的单调性与导数一、引言1.函数单调性是高中阶段刻画函数变化的一个最基本的性质,采用“导数法”求单调区间能简化运算,优化解题思想,也是近年来高考的考查重点内容之一2.考纲要求:了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调性(对多项式一般不超过三次)3.考情分析:预测年高考对本专题内容的考查仍有研究导数图象与函数图象的问题,也有导数与解析几何、不等式、平面向量等知识综合
13、的问题二、考点梳理1函数的单调性与导数:设函数在区间内可导,如果,那么函数在区间上是单调递增函数;如果,那么函数在区间上是单调递减函数;如果,那么函数在这个区间内是常数函数值得注意的是:应正确理解区间的含义,它必是定义域内的区间2用导数法确定函数的单调性的步骤是:(1)先求出定义域,再求出函数的导函数;(2)求解不等式,求得其解集,再根据解集写出单调递增区间;求解不等式,求得其解集,再根据解集写出单调递减区间也可以利用数轴,采用“穿轴法”确定函数的单调区间:确定的定义域;求的导数;求出在内的所有实根,再把函数的间断点(即在定义域内的无定义点)和各实数根按照从小到大的顺序排列起来;在数轴上把的定
14、义域分成若干个小区间;利用“穿轴法”观察在各小区间上的符号,从而判定在各个小区间上的增减性三、典型例题选讲例1(江苏)函数的单调减区间为 分析:显然用单调性的定义解决该题比较困难,所以应采用导数法求出单调增区间解:.令,解得所以的单调减区间为归纳小结:(1)本题考查利用导数法解决函数的单调区间问题,把问题转化为解不等式问题,考查转化思想,对解决问题的灵活性有一定的要求;(2)当函数解析式为高次或分式、根式、对数等形式,或画函数图象很困难时,用导数法研究函数的单调性比定义法更为简便,这也是高考命题的热点之一,因此要熟练掌握用导数法求单调区间的方法及步骤例2(浙江)设是函数的导函数,将和的图象画在
15、同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )分析:由的图象可观察出在不同区间的符号,从而判断出在不同区间的单调性,因此可以根据的图象大致得到的图象解:如图A、B、C三个图中两条曲线可分别作为和的图象,符合题意对于D,若上一条曲线为的图象,则为增函数,不符合;若下一条曲线为的图象,则为增函数,也不符合故选D归纳小结:(1)本题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关系,通过对的图象提炼函数的信息,考查数形结合思想和识图、用图的能力,以及分析问题、解决问题的能力(2)应用导数信息确定原函数大致图象,是导数应用性问题的常见题型,关键是把握原函数图象在的图象与轴交点处的切线的斜率为,在不同区间的符号
16、能判断出原函数的单调区间例3(陕西)是定义在上的非负可导函数,且满足对任意正数,若,则必有( )AB CD分析:由可以判断函数的符号,因此可以根据的单调性解决问题解:因为,则.设,则.所以在上单调递减函数又因为,则,故.所以答案为C归纳小结:(1)本题考查了导数的单调性和不等式的基础知识,对公式的变形和灵活运用,知识的迁移能力能力等有一定的要求(2)根据的符号判断的单调性是高考的考查重点内容之一,同时对不等式应用中简单的放缩法能根据问题的结论观察比较进行例4(安徽)已知函数,讨论的单调区间分析:本题考查了解析式含有参数的函数的导数问题,在转化为含参不等式时,要对参数进行合理地分类讨论解:的定义
17、域是,设,二次方程的判别式,当,即时,对一切都有,此时在上是增函数;当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数;当,即时,方程有两个不同的实根,00单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增综上所述:当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减归纳小结:(1)含参解析式求导转化为解含参不等式问题是高考试题中的一种常见考题形式本题考查了利用导数求函数的单调区间、含参不等式的解法等相关知识,还考查了对导数的基本的应用意识,分类与整合思想和对代数式的变形计算、求导能力;(2)用导数法解函数的单调区间的本质是求导,解不等式,对这两部分的知识在应用时
18、谨慎,特别是要注意符号问题,以免发生错误;(3)要注意的是:求单调区间时,一定要先求函数的定义域,因为函数的单调区间是定义域的子集;单调区间的描述,不能写成并集形式,如本题中的单调递增区间一定不能写成例5 已知向量若函数在区间上是增函数,求的取值范围分析:已知在区间上单调递增,则在此区间上一定有恒成立,因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可解:依定义,则.若在上是增函数,则在上恒成立即在区间上恒成立令函数,由于的图象的对称轴为,开口向上的抛物线,故使在区间上恒成立,只须而当时,在上满足,即在上是增函数故的取值范围是归纳小结:(1)本题考查了已知函数的单调区间,求参数的取值范围,平面向量运算、
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- 第三 十七 导数 概念 及其 运算
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