量子力学主要知识点复习资料.doc

|大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1 能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍 n,43,2对频率为 的谐振子, 最小能量 为: h2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质” 。1905 年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924 年，德布罗意提出“物质波” 假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。德布罗意公式 hmcE2hpv3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),(2),( trVmtri 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z)上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。自由粒子的波函数 )(expEtriAk波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设 C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点( x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。表示粒子出现在点(x,y,z) 附近的概率。表示点(x,y,z) 处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为 1必然有以下归一化条件5. 力学量的平均值2|(,|xyzzxyz2|,|1xyzd(,)xyz,cxyzie,ie|既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如 x 的平均值Error!，由概率论，有又如，势能 V 是 的函数： ，其平均值由概率论，r)(r可表示为 d3*)(rdVr3*)()(再如，动量 的平均值为：为什么不能写成因为 x 完全确定时 p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为Error! rdpr3*)(其中 为动量 的算符6.算符量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符 ip能量算符 EtE动能算符 动能平均值2mT rdTT3*)(角动量算符 角动量平均值prlll3*薛定谔方程 ),(2),(2 trVmti 算符 ，被称为哈密顿算符，7.定态数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中方程 称为能量本征方程，被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。当 E 为确定值， = 拨函数所描述的状态称为定态，处),(tr)exp(Eti22|()|(,|yz),(zyxr23*3|(|(),xrxdrdyz*3(),pdAfaA算 符 ,f本 征 函 数 ,a本 征 值2()HVrm2 ()()()()EEErrHr)(rE|于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即，)()(xcxn 具 有),(中 发 现 粒 子 处 于 态表 示 在 态|2 xnn 的 概 率能 量 nE9. 宇称若势函数 V（x）=V （-x） ，若 是能量本征方程对于能量本征值 E 的解，则)(x也是能量本征方程对于能量本征值 E 的解)( 具 有 确 定 的 宇 称 。无 简 并 ， 则若的 解 ， 如 果 能 量 本 征 值是 能 量 本 征 方 程 对 应 于设 )()(),()( xxVxE10.束缚态通 常 把 在 无 限 远 处 为 零 的 波 函 数 所 描 写 的 状 态 称 为 束 缚 态11. 一维谐振子的能量本征值12. 隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又 称 隧 穿 效 应 ， 势 垒 贯 穿 。 按 照 经 典 理 论 ， 总 能 量 低 于 势 垒 是 不 能 实 现 反 应 的 。 但依 量 子 力 学 观 点 ， 无 论 粒 子 能 量 是 否 高 于 势 垒 ， 都 不 能 肯 定 粒 子 是 否 能 越 过 势 垒 ， 只 能说 出 粒 子 越 过 势 垒 概 率 的 大 小 。 它 取 决 于 势 垒 高 度 、 宽 度 及 粒 子 本 身 的 能 量 。 能 量 高 于势 垒 的 、 运 动 方 向 适 宜 的 未 必 一 定 反 应 ， 只 能 说 反 应 概 率 较 大 。 而 能 量 低 于 势 垒 的 仍 有一 定 概 率 实 现 反 应 ， 即 可 能 有 一 部 分 粒 子 (代 表 点 )穿 越 势 垒 (也 称 势 垒 穿 透 barrier penetration)， 好 像 从 大 山 隧 道 通 过 一 般 。 这 就 是 隧 道 效 应 。 例 如 H+H2 低 温 下 反 应 ，其 隧 道 效 应 就 较 突 出 。:()()cos()cos(iniin)PxxPxx定 义 空 间 反 演 算 符 为如 果或 ，称 具 有 确 定 的 偶 宇 称 或 奇 宇 称 ， 如偶 宇 称奇 宇 称注 意 ： 一 般 的 函 数 没 有 确 定 的 宇 称.,210,)/1(nEn|13. 算符对易式一般说来，算符之积不满足交换律，即 ，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易式 ，通常坐标对易关系角动量的对易式 ,0,00 ,00 zyxyzyxz xy yzxzyxx yzzyy xxx pliplipl ililil izyxzxzyzyx i014.厄密算符平均值的性质先转置，再, *的 厄 密 共 轭 算 符称 为的 共 轭 转 置 算 符则 AA 。即记 为 *,A共轭。*d体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15. 量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数 描写。2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点( x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程ABABBA,设和 0,0,ip zyx0,0,222 zyxzlll有令 ),r2|),(|tr22 (,)(,(,)(,irtVrtHrtmHt哈 密 顿 算 符|16. 算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 3*其 中 ，,)(均 可 展 开 如 下 ：状 态完 备 态 矢 ， 系 统 的 任 何 能 构 成 一 组 正 交 归 一都 是 不 简 并 的 ， 则,果的 本 征 态 与 本 征 值 ， 如是 算 符和 draaxAA nnnnn 17. 不确定度关系的严格表达18. 两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即 0,BA19. 力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由 的本征值不能确定体系状态，必再加上 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。 定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本征函数集，记为 ， 可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。 20. 力学量完全集共同本征态的性质Afa算 符 ,本 征 函 数 ,本 征 值,nn满 足 的 和 不 止 一 组可 能 有 组 ， 因 此此 式 称 为 的 本 征 方 程 ， 称 为 的一 个 本 征 值 ， 称 为 的 一 个 本 征 态 。|若能级简并21. 守恒量对于 Hamilton 量 H 不含时的量子体系，如果力学量 A 与 H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态） ，A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把 A 称为量子体系的一个守恒量。22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用把 希 尔 伯 特 空 间 一 分 为 二 ， 互 为 对 偶 的 空 间 ， 就 是 狄 拉 克 符 号 的 优 点 。 用 右 矢 |>表示 态 矢 ， 左 矢 是 内 积 ， 大 于 等 于 0， 称 为 模 方 。|><|是 外 积 。 *的 共 轭 态量 子 态左 矢 ；代 表 量 子 态右 矢 是 力 学 量 完 全 集若 k ),(是如 球 谐 函 数,|的 本 征 态 ， 则 2zlmk YFlmYlm|的 共 同 本 征 函 数 ，采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。 kkk PII为 投 影 算 符|,或|算符向左作用|23.角动量平方和角动量 z 分量的共同本征函数 immlmlmz ePlY )(cos!412)(,的 共 同 本 征 函 数 为和这 样 ， 2 ,210,其 中注意量纲 ,210,1,)(足称 为 球 谐 函 数 ， 它 们 满22 lllmYmzmlm注意，推导过程计算题有可能要考24. 氢原子的能量本征值与能级简并度 3224 naenEn简 并 的氢 原 子 的 能 级 是25. 正常 Zeeman 效应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26. 电子自旋电 子 的 基 本 性 质 之 一 。 电 子 内 禀 运 动 或 电 子 内 禀 运 动 量 子 数 的 简 称自旋不是机械的自转27 关于电子自旋的 Stern-Gerlach 实验|Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由 O. 斯特恩和 W.革拉赫在 1921 年完成的。实验装置如图斯特恩革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉 O 内蒸发,通过狭缝形成细束， 经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片 P 上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。 实验上高温炉中的 Ag 原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28 碱金属原子光谱双线结构 自 旋 。性 。 其 根 源 正 是 电 子 的果 ， 而 是 原 子 的 故 有 特 外 界 因 素 作 用 的 结效 应 不 同 ， 此 现 象 并 非与 。0.589，6.589两 条 谱 线 构 成 ： 是 由行 观 测 ， 发 现 它 实 际 上用 高 分 辨 率 的 光 谱 仪 进 ,3的 跃 迁 产 生 一 条 黄 线3对 钠 原 子 ， 21Zemannmnmsp29. 量子跃迁与选择定则 。1|能 跃 迁 到 第 一 激 发 态 只0|振 子 从 基 态在 外 电 场 的 激 发 下 ， 谐 。这 称 为 跃 迁 的 选 择 定 则 的 跃 迁 发 生 ，1表 明 允 许 谐 振 子 不 能 发 生 ，0，3，20可 以 发 生 ，以 上 结 果 表 明 ，,)(,2210nPeqn即谐振子只能跃迁到相邻能级30.禁戒跃迁|的 跃 迁 是 禁 戒 的 。到 者 说 ， 从的 跃 迁 是 不 可 能 的 ， 或到表 明 从 ，0，0， 使 得若 存 在 这 样 的 末 态 )13(|1)(时 ， 有的 概 率 。 当跃 迁 到 末 态 代 表 系 统 从 初 态)(则,令 )12(1)(已 知 20220k kPHkdtetPkPCdtHeitktikkkk tkk 的 跃 迁 为 禁 戒 跃 迁 。0，3，20。 或 者 说 ，1其 中,|能 跃 迁 到 激 发 态 不|振 子 从 基 态在 外 电 场 的 激 发 下 ， 谐 n31. 微扰论的思想解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。32.突发微扰与绝热微扰做 绝 热 微 扰 。 样 的 微 扰 叫会 改 变 系 统 的 状 态 ， 这地 作 用 到 系 统 上 时 ， 不当 外 界 的 微 扰 十 分 缓 慢做 突 发 微 扰 。 这 样 的 微 扰 叫不 会 改 变 系 统 的 状 态 ，地 作 用 到 系 统 上 时 ， 也当 外 界 的 微 扰 十 分 突 然33. 能量与时间不确定度 不 能 同 时 为 零 。度， 同 系 统 能 量 的 不 确 定变 化 快 慢 的 周 期此 式 反 映 了 一 个 力 学 量2此 式 的 一 般 形 式 为 ：确 定 度 关 系 ， 可 以 证 明被 称 为 时 间 能 量 的 不 EttEht 34. 能级宽度与谱线宽度 展 宽 。一 个 宽 度 ， 这 叫 能 级 的所 以 ， 所 有 的 能 级 都 有 2由 于 能 量 不 确 定 性 tEk| 称 为 谱 线 宽 度 。,这 叫 谱 线 的 展 宽/)(其 中 ，,该 是 谱 线 的 频 率 应.频 率 范 围一 个 频 率 ， 而 是 有 一 个发 出 的 谱 线 ， 就 不 止 时 ，跃 迁 到， 所 以 ， 当 电 子 从,既 然 能 级 有 展 宽 ， 即 10 )010 11)0(1)( hEE EEkkk kkkkk35. 半经典理论36 吸收，受激辐射，自发辐射后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结 PPT，但是那个 PPT 只给了考点范围，没有给概念解释，所以我查阅了 PPT，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得，制作粗糙，请见谅。本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。本人不保留版权，欢迎各位学霸对此资料进修正。