量子力学主要知识点复习资料.doc
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1、|大学量子力学主要知识点复习资料,填空及问答部分1 能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子,这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态,在这些状态下,谐振子的能量不能取任意值,只能是某一最小能量 的整数倍 n,43,2对频率为 的谐振子, 最小能量 为: h2.波粒二象性波粒二象性(wave-particle duality)是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中,研究对象总是被明确区分为两类:波和粒子。前者的典型例子是光,后者则组成了我们常说的“物质” 。1905 年,爱因斯坦提出了光电效应的光量子解
2、释,人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924 年,德布罗意提出“物质波” 假说,认为和光一样,一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说,电子也会具有干涉和衍射等波动现象,这被后来的电子衍射试验所证实。德布罗意公式 hmcE2hpv3.波函数及其物理意义在量子力学中,引入一个物理量:波函数 ,来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),(2),( trVmtri 粒子的波动性可以用波函数来表示,其中,振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z)上的强弱。所以, 应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发,可将粒子的波函数称为概率波。自由粒
3、子的波函数 )(expEtriAk波函数的性质:可积性,归一化,单值性,连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设 C 是一个常数,则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数 ,则 和 对粒子在点( x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。表示粒子出现在点(x,y,z) 附近的概率。表示点(x,y,z) 处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为 1必然有以下归一化条件5. 力学量的平均值2|(,|xyzzxyz2|,|1xyzd(,)xyz,cxyzie,ie|既然 表示 粒子出现在点 附件的概
4、率,那么粒子坐标的平均值,例如 x 的平均值Error!,由概率论,有又如,势能 V 是 的函数: ,其平均值由概率论,r)(r可表示为 d3*)(rdVr3*)()(再如,动量 的平均值为:为什么不能写成因为 x 完全确定时 p 完全不确定,x 点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值?可以,但需要表示为Error! rdpr3*)(其中 为动量 的算符6.算符量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算如动量算符 ip能量算符 EtE动能算符 动能平均值2mT rdTT3*)(角动量算符 角动量平均值prlll3*薛定谔方程 ),(2),(2 trVmti 算符
5、 ,被称为哈密顿算符,7.定态数学中,形如 的方程,称为本征方程。其中方程 称为能量本征方程,被称为能量本征函数, E 被称为能量本征值。当 E 为确定值, = 拨函数所描述的状态称为定态,处),(tr)exp(Eti22|()|(,|yz),(zyxr23*3|(|(),xrxdrdyz*3(),pdAfaA算 符 ,f本 征 函 数 ,a本 征 值2()HVrm2 ()()()()EEErrHr)(rE|于定态下的粒子有以下特征:粒子的空间概率密度不随时间改变,任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改变,他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理但一般情况下,粒子并不只是完全处
6、于其中的某一本征态,而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说,粒子的状态是所有这些分立状态的叠加,即,)()(xcxn 具 有),(中 发 现 粒 子 处 于 态表 示 在 态|2 xnn 的 概 率能 量 nE9. 宇称若势函数 V(x)=V (-x) ,若 是能量本征方程对于能量本征值 E 的解,则)(x也是能量本征方程对于能量本征值 E 的解)( 具 有 确 定 的 宇 称 。无 简 并 , 则若的 解 , 如 果 能 量 本 征 值是 能 量 本 征 方 程 对 应 于设 )()(),()( xxVxE10.束缚态通 常 把 在 无 限 远 处 为 零 的 波 函 数 所 描 写
7、的 状 态 称 为 束 缚 态11. 一维谐振子的能量本征值12. 隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性,是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学,微观粒子具有波的性质,而有不为零的概率穿过位势障壁。又 称 隧 穿 效 应 , 势 垒 贯 穿 。 按 照 经 典 理 论 , 总 能 量 低 于 势 垒 是 不 能 实 现 反 应 的 。 但依 量 子 力 学 观 点 , 无 论 粒 子 能 量 是 否 高 于 势 垒 , 都 不 能 肯 定 粒 子 是 否 能 越 过 势 垒 , 只 能说 出 粒 子 越 过 势 垒 概 率 的 大 小 。 它 取 决 于 势 垒
8、 高 度 、 宽 度 及 粒 子 本 身 的 能 量 。 能 量 高 于势 垒 的 、 运 动 方 向 适 宜 的 未 必 一 定 反 应 , 只 能 说 反 应 概 率 较 大 。 而 能 量 低 于 势 垒 的 仍 有一 定 概 率 实 现 反 应 , 即 可 能 有 一 部 分 粒 子 (代 表 点 )穿 越 势 垒 (也 称 势 垒 穿 透 barrier penetration), 好 像 从 大 山 隧 道 通 过 一 般 。 这 就 是 隧 道 效 应 。 例 如 H+H2 低 温 下 反 应 ,其 隧 道 效 应 就 较 突 出 。:()()cos()cos(iniin)Pxx
9、Pxx定 义 空 间 反 演 算 符 为如 果或 ,称 具 有 确 定 的 偶 宇 称 或 奇 宇 称 , 如偶 宇 称奇 宇 称注 意 : 一 般 的 函 数 没 有 确 定 的 宇 称.,210,)/1(nEn|13. 算符对易式一般说来,算符之积不满足交换律,即 ,由此导致量子力学中的一个基本问题:对易关系对易式 ,通常坐标对易关系角动量的对易式 ,0,00 ,00 zyxyzyxz xy yzxzyxx yzzyy xxx pliplipl ililil izyxzxzyzyx i014.厄密算符平均值的性质先转置,再, *的 厄 密 共 轭 算 符称 为的 共 轭 转 置 算 符则
10、AA 。即记 为 *,A共轭。*d体系的任何状态下,其厄密算符的平均值必为实数,在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符,实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15. 量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数 描写。2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点( x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程ABABBA,设和 0,0,ip zyx0,0,222 zyxzlll有令 ),r2|),(|tr22 (,)(,(,)(,irtVrtHrtmHt哈 密 顿 算 符|16. 算符的本征方程,本征值与本
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