相似三角形培优.doc

|相似三角形综合培优题型基础知识点梳理：知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ，那么就说这两条线段ba,nm,的比是 ，或写成 注：在求线段比时，线段单位要统一。nmban:（2）在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段dc,和 dc和叫做成比例线段，简称比例线段注：比例线段是有顺序的，如果说 是dc, a的第四比例项，那么应得比例式为： aba、d 叫比例外项，b、c 叫比例内项, a、c 叫比()abcd在 比 例 式 ： ： 中 ，例前项，b、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，即 那么 b 叫bd： ：做 a、d 的比例中项， 此时有 。2知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质： ； bcadcb: 2:bcac注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除ad了可化为 ，还可化为 ， ， ，: da:b:cad:， ， ， :（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()acbdbca， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： abd知识点 4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. EAB CD|由 DEBC 可得： ACEBDAECDB或或2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知 ADBECF, 可得 等. ABEBCEFABCCFDADEF或 或 或 或知识点 5 相似三角形的概念对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为 1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：反身性：对于任一 有 ABCABC对称性：若 ，则 ABC'' ''传递性：若 ，且 ，则 (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是： ， BCDE/ADEBC知识点 7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似FEDCBA(1) EAB CD(3)DB CAE (2) CD EAB|(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似：射 影 定 理 ： 在 直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 。每 一 条 直 角 边 是 这 条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。如 图 ， Rt ABC 中 ， BAC=90°， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ，则 AD2=BD·DC， AB2=BD·BC ， AC2=CD·BC 。知识点 8 相似三角形常见的图形1、相似三角形的基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中1=2，则ADEABC 称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”）（3） 如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型（也称“射影 定 理 型 ”） ”“三垂直型” ）(4)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：（1）若 DEBC（A 型和 X 型）则ADEABC（2）射影定理 若 CD 为 RtABC 斜边上的高（双直角图形） EE1242ECAB DEAB C(D)EA DCBDB CA|则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC2=AD·AB，CD 2=AD·BD，BC 2=BD·AB；EADCBEADCBA DCB（3）满足 1、AC 2=AD·AB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当 或 AD·AB=AC·AE 时，ADEACBAADCBEADCB知识点 10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等知识点 11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例” ， “比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 )(,为 中 间 比nmdcba'',nmdcnba ), '''''' 或(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。知识点 12 相似多边形的性质知识点 13 位似图形有关的概念与性质及作法|典型例题剖析：题型 一、相似三角形中的动点问题例题 1.如图，在 RtABC 中， ACB=90°，AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于 H，过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于F， G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1 ）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2 ）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值变式训练.如图，在ABC 中， ABC90°，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1 ） 当 t=2.5s 时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2 ）在 P，Q 移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值|题型 二、构造相似辅助线 双垂直模型 例题.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1) ，正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA的夹角是 45°，求这个正比例函数的表达式变式训练.在ABC 中，AB= ，AC=4，BC=2 ，以 AB 为边在 C点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长题型三、构造相似辅助线 A、X 字型 例题.如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC ，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：变式训练.在梯形 ABCD 中，ABCD ，ABb，CDa，E 为 AD 边上的任意一点，EF AB，且 EF交 BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ；(2)当 时，EF= ； (3)当 时，EF= 当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明|题型 四、相似类定值问题 例题. 如图，在等边ABC 中，M 、N 分别是边 AB，AC 的中点，D为 MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交 AC、AB 于点E、F求证： 变式训练.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O 作 EF/AB分别交 AD、BC 于 E、F。求证： 题型五、相似之共线线段的比例问题 例题. （1）如图 1，点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 于点 求证：（2 ）如图 2，图 3，当点 在平行四边形 ABCD 的对角线 或的延长线上时， 是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） ；|变式训练。如图，已知直线 的函数表达式为 ，且 与 轴， 轴分别交于l 483yxlxy两点，动点 从 点开始在线段 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 移动，同AB，QBBAA时动点 从 点开始在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 移动，设点 移POOQP，动的时间为 秒t（1 ）求出点 的坐标；AB，（2 ）当 为何值时， 与 相似？tPQ AB（3 ）求出（2 ）中当 与 相似时，线段 所在直线的函数表达式 O PQO P AQByx|题型 六、相似之等积式类型综合 例题.已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。求证：变式训练.如图，在 RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DH BM 且与 AC的延长线交于点 E.求证：（1）AED CBM；（2）题型七、 相似基本模型应用 例题. ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90°， DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上（1 ）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点N，求证：BEMCNE；（2 ）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1 ）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论|变式训练.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q（1 ）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ；（2 ）求 BP：PQ：QR