相似三角形培优.doc
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1、|相似三角形综合培优题型基础知识点梳理:知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ,那么就说这两条线段ba,nm,的比是 ,或写成 注:在求线段比时,线段单位要统一。nmban:(2)在四条线段 中,如果 的比等于 的比,那么这四条线段dc,和 dc和叫做成比例线段,简称比例线段注:比例线段是有顺序的,如果说 是dc, a的第四比例项
2、,那么应得比例式为: aba、d 叫比例外项,b、c 叫比例内项, a、c 叫比()abcd在 比 例 式 : : 中 ,例前项,b、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,即 那么 b 叫bd: :做 a、d 的比例中项, 此时有 。2知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质: ; bcadcb: 2:bcac注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如,除ad了可化为 ,还可化为 , , ,: da:b:cad:, , , :(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()acbdbca, 交 换 内 项, 交 换 外 项
3、同 时 交 换 内 外 项(3)反比性质(把比的前项、后项交换): abd知识点 4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. EAB CD|由 DEBC 可得: ACEBDAECDB或或2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知 ADBECF, 可得 等. ABEBCEFABCCFDADEF或 或 或 或知识点 5 相似三角形的概念对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性:相似三角形的相似
4、比是有顺序的两个三角形形状一样,但大小不一定一样全等三角形是相似比为 1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系:反身性:对于任一 有 ABCABC对称性:若 ,则 ABC 传递性:若 ,且 ,则 (2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形:用数学语言表述是: , BCDE/ADEBC知识点 7 三角形相似的判定方法1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行
5、法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理 1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似简述为:两角对应相等,两三角形相似4、判定定理 2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似5、判定定理 3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似简述为:三边对应成比例,两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
6、个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似FEDCBA(1) EAB CD(3)DB CAE (2) CD EAB|(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似:射 影 定 理 : 在 直 角 三 角 形 中 , 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 。每 一 条 直 角 边 是 这 条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。如 图 , Rt ABC 中 , BAC=90, AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ,则 AD2=BDDC, AB2=BDBC , AC2=CDB
7、C 。知识点 8 相似三角形常见的图形1、相似三角形的基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中1=2,则ADEABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”)(3) 如图:称为“垂直型” (有“双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型(也称“射影 定 理 型 ”) ”“三垂直型” )(4)如图:1=2,B=D,则ADEABC,称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用:(1)若 DEBC(A 型和 X 型)则ADEABC(2)射影定理 若 CD 为 RtABC 斜边上的高(双
8、直角图形) EE1242ECAB DEAB C(D)EA DCBDB CA|则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC2=ADAB,CD 2=ADBD,BC 2=BDAB;EADCBEADCBA DCB(3)满足 1、AC 2=ADAB,2、ACD=B,3、ACB=ADC,都可判定ADCACB(4)当 或 ADAB=ACAE 时,ADEACBAADCBEADCB知识点 10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注:相似三角形性质可
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