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高等数学高等数学 期末复习题期末复习题例例1解解例例2 2解解例例3 在曲面在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于上求一点，使这点处的法线垂直于平面平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程，并写出这法线的方程解：解：曲面曲面z=xy上点上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为处的一个法向量为已已知知平平面面的的法法向向量量为为n1=1，3，1，依依题题意意应应有有nn1，即，即故所求点为故所求点为(3，1，3)，所求法线方程为，所求法线方程为9解解又因又因所以所以在在M点的内法线方向为点的内法线方向为例例410解解11解解121314可得可得即即15第第8 8章章 重积分重积分(20%左右左右)1、会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次 积分积分,会交换积分次序会交换积分次序,会适当选取坐标系来计算二重会适当选取坐标系来计算二重积分积分.2、会适当选取直角坐标（投影法、截面法）、柱面会适当选取直角坐标（投影法、截面法）、柱面坐标、球面坐标来计算三重积分。坐标、球面坐标来计算三重积分。3、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空间立体的体积。与空间立体的体积。(注意注意对称性的应用对称性的应用)161、交换积分次序、交换积分次序y1y 2 xO 1 2 x2D1D2解解I例题例题17解解 积分区域如图所示。积分区域如图所示。1yx18解解解解4、计算、计算19解解交线的投影为交线的投影为:20用截面法。用截面法。解解用球面坐标。用球面坐标。21yaxoD解解22第第9 9章章 曲线积分、曲线积分、曲面积分曲面积分(20%(20%左右左右)1.1.两类曲线积分的直接计算。两类曲线积分的直接计算。2.掌握格林公式及其应用。掌握格林公式及其应用。（注意第一类曲线对称性的应用（注意第一类曲线对称性的应用)233.掌握曲线积分与路径无关的条件，会选择适当的掌握曲线积分与路径无关的条件，会选择适当的路径来计算曲线积分路径来计算曲线积分4、掌握两类曲面积分的直接计算。、掌握两类曲面积分的直接计算。5、会用高斯公式计算曲面积分。、会用高斯公式计算曲面积分。6、散度、旋度的计算。、散度、旋度的计算。例题例题解：解：2425积分与路径无关，积分与路径无关，逆时针方向。逆时针方向。解：解：除原点外处处有除原点外处处有 取取L：4x2+y2=1,逆时针方向，则逆时针方向，则或利用椭圆的参数方程直接计算。或利用椭圆的参数方程直接计算。27 (1)已知已知解：解：又又L关于关于x轴对称，而轴对称，而sin(xy)关于关于y为奇函数，所以为奇函数，所以 于是于是 I=12a。L的长度为的长度为a，求，求即即3x2+4y2=12，所以，所以6、计算下列曲线积分、计算下列曲线积分7 7、选择与填空、选择与填空例题例题解解：Dxy：x2+y2 2ax，8、计算计算 其中其中：锥面：锥面被柱面被柱面x2+y2=2ax（a0）割下的部分）割下的部分 因为因为关于关于xoz面对称，面对称，xy+yz是是y的奇函数，所以的奇函数，所以 解解解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式 无穷级数（无穷级数（20%左右）左右）1、掌握正项级数敛散性的比值、根值、比较判别法。掌握正项级数敛散性的比值、根值、比较判别法。3、掌握幂级数的收敛半径、收敛域及和函数的求法掌握幂级数的收敛半径、收敛域及和函数的求法，理解，理解Abel定理定理2、掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。方法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。会会利利用用间间接接展展开开法法将将一一些些函函数数展展开开成成幂幂级级数数，并并写写出出收敛域。收敛域。麦克劳林展开式，麦克劳林展开式，5、会将函数、会将函数展开成以展开成以2 为周期的傅立叶级数，会为周期的傅立叶级数，会将定义在将定义在0，上的函数展开成正弦、余弦级数，上的函数展开成正弦、余弦级数，并写出收敛区间。并写出收敛区间。6、给定、给定f(x)，会根据收敛定理求，会根据收敛定理求f(x)的傅里叶级数在的傅里叶级数在x0处收敛于何值。处收敛于何值。1、填空题、填空题例题例题2、判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 所给级数收敛。所给级数收敛。则级数收敛。则级数收敛。3、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:解解所以所以(2)解：解：所以原级数不绝对收敛。所以原级数不绝对收敛。该级数发散。该级数发散。所以原级数条件收敛。所以原级数条件收敛。4、求和函数求和函数解：余弦级数：将解：余弦级数：将 进行偶延拓，则进行偶延拓，则将将 进行奇延拓，则进行奇延拓，则复变函数（复变函数（20%左右）左右）1、掌握复数的各种表示法及其基本运算：、掌握复数的各种表示法及其基本运算：(1).四则运算、乘方、开方四则运算、乘方、开方2、掌握复变函数利用、掌握复变函数利用C-R方程判别可导及解方程判别可导及解析性的方法，并求导数析性的方法，并求导数3、掌握复变函数积分的各种方法：、掌握复变函数积分的各种方法：(1).开路积分：开路积分：(2).闭路积分：闭路积分：4、会将、会将 内解析的函数展成洛朗级数内解析的函数展成洛朗级数5、会判断孤立奇点及类型，并会求函数在孤立、会判断孤立奇点及类型，并会求函数在孤立奇点的留数奇点的留数一、填空题一、填空题二、计算下列复积分（沿曲线正向）二、计算下列复积分（沿曲线正向）三、讨论函数三、讨论函数 在何处可导？何处解析？在何处可导？何处解析？由由C-R方程知，方程知，