浙江大学概率论与数理统计复习题.docx

武汉大学遥感信息学院函授概率论与数理统计复习题一.随机事件与概率11 .五卷文集按任意次序排列到书架上，那么第一卷及第五卷分别在两端的概率为()102 .假设ZuB,那么八 B是(8).事件A、B、C至少有一个不发生可表示为 (耳 B C )3 .设 A 8 为两个独立事件，P(A) = 07 , 0< P(B) < 1 ,求 P(AT B) ( 0.3 )34 .某射手射击时，中靶的概率为 一，假设射击直到中靶为止，求射击次数为3的概率？4(1)2x2 )4 4.设Au 8, P(A) = 0.2 ,尸(B) = 0.3,求欢入日).解：PCAB) = P(B-A) = P(B) - P( A) = 0.1.某射手每次射击击中目标的概率为P ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X的分布律解 在进行射击之前，无法知道射手在笫几次射击时击中目标，因此射击次数x是离散型随机变量，显然，x的可能取值为1,2,即一切正整数，而：PX=k=(1-p)k.ip k = 1,2,上式即为X的分布律。5 .某工厂生产的100个产品中有5件次品，检查产品质量时，在产品中取一半来检查，如果 发现次品不多于一个，那么这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品.设事件，表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：4二八十/A01其中人表示检查的50个产品中没有次品，而4表示有1个次品.因为：°C501?(八)=3_ = 0.0280C50比49产(一)=5 95 = 0.1531"8。所以 P(A) = P(A ) + P(>4) = 0.181 8.设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男 人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。解(”抽至人管人匕口讨到手一7为盲强那么P A = , P BA =,P A = ,=5100 205 H 10000 400于是，由全概率公式，有31Toob31ToobMb）= F（A）F（BA）+ 心）用/）= 3 12 115 20 5 4009. (1)尸(Z) = 0.5,尸(切=0.6,尸(8|4) = 0.8,求尸(VuB).(2)门(N)=0.4, 尸(8) = 65,尸(4冏 =0.8,求尸(川B)。解 (1)利用加法公式、乘法公式计算事件概率P(AB) = P(B | A)- P(Z) = 0.4 , P(Au B) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7 o(2)易知尸= 0.6, P(B) = 0.5,由P(AB) = P(B)尸(/1|8) = 0.4=尸(八)P(A8), 可得?(28) = 02,从而P(AB) 0.2P(A B)=0.4。P(B) 0.510.某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报， 5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求：(1)只读甲报所占比例；(2)至少读一种报纸所占比例。解设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：ABC 由条件，有尸(4)=0.25, P(B)=0.20,尸(C)=0.16, P(AB) =0.10 , P(AC)= 0.05 , P(BC) = 0.04, P(ABC) = 0.02 ,从而有(1)尸(ABC) = P(Z(B-C) = P(A)-P(A(B C)=P(A) - p(AB AC)= P(A)-LP(AB) + 尸(AC) - P(ABC)=0.25-(0.10 + 0.05 - 0.02)= 0.12(2) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) =0.25 + 0.20 + 0.16-(0.1 + 0.05 + 0.04)+ 0.02 = 0.44 .二.一维随机变量fl （1 + x）e-x1.设随机变量X的分布函数为尸（X）= <I 0x> 0x<0,求尸XW1。(1 _ 2e-i )0 < x<1其它求A。f Ax.随机变量X的密度为f（X）= <'I 0，由Jr f(x)dx=JiAxdx=-0002可得，=2。2 .随机变量X的概率密度为/(%) =<不获求。(1)。其它不3 .假设 X N(2,o 2),且 p2<X<4=0.3 ,求 P%<00解 0.3= P(2< X < 4= 42¥ 22V 2 ¥ 0.5 kJI-J故 o42¥o.8, px< ()=/-2(121 0.2。6B 国I 075随机变量X的概率密度为：/(x) = 4 . 【。I 075随机变量X的概率密度为：/(x) = 4 . 【。x > 0求随机变量y = 2x + i的概率密度。解设 y = 2犬 + 1,那么 y' = 2 > 0,(y-1、11 _日于(小团二-)* 2y _ 反函数x =，于是丫 = 2x +1概率密度为:21 _)T"1,故 /。)= <一，2y-1 oy < 1 y 0 y < 16设随机变量X在口,4上服从均匀分布,6设随机变量X在口,4上服从均匀分布,现在对X进行3次独立试验，那么至少有2次观察值大于2的概率为多少？fl 1 <x<4解X的概率密度为：°其他察值大于2的概率为多少？fl 1 <x<4解X的概率密度为：°其他一次试验观察值大于2的概率为:PX >2=141dx=设3次独立试验观察值大于2的次数为丫,(2丫 13PX>2 = C2 _ x_+C3| _43 J 331 口23 (力 那么y月3,),i"20_ O27从而：7.设随机变量X N(2,o2),且P(2<X <4) = 0.3,求P(X<0)。解根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有P( X< 0) = P( X< 2) - P(0 < X< 2)=0.5-P(2<X<4) = 0.5 P(2 < X< 4)=0.5 0.3 = 0.28如果函数/(x) = Ae'l, -oo<x<+oo,为某个随机变量的概率密度，求A。解因为尸8/（x）dx = 1,而-oo故A = _2-co0 Aexdx + J+" Aexdx = A+ A= 2AO-oo09X的概率分布为-1 0 12Pk求y=x2的分布律.Pt三.二维随机变量1.假设化刀）的联合概率密度为：f（x,y） =+e-(x+y),x>0 , y>0其它（1）确定常数k ； （2）求<2刀<2）。41解(1) 1 =_ k+co e-xdx!+ao e-ydyJ ,故 k = 1；(2) Rtv2,r| <2oJI-oo002 e-xdx!2e-ydy = (1- e-2 )2 o,、 fl 0 < x<1,0< y <12.设随机变量（x,y）的密度函数为/（兀y）=，其他PX<0.5,y<0.6。解 RX<0.5,y<0.605dx = 0.3o=J o.6 J o.5 f(x, y)dxdy = J “dyj000003.，丁通机变量(&E)的空函数r v+ Barctan x)A + B arctan y) 1+ A-Barctan x)A - Barctan y)求常数43；求？(匕0门2 0)71(1 兀)解 令夕(+8 , +00)= (A + _3)2 1 + _(4_8)2 = 1 2122 J汽 (1 兀、11 2122 J汽 (1 兀、11F(-oo , -oo) = (A - _B)2 1 + _(A + _B)2 = 0 ,得 A = _,3 =2 I 22 J27i(2)> 0,r| 2 0)= 1 -2仁 < 0) Pg < 0) + 叁 < 0, r| < 0)=1 b(o,+oo)尸(+8,o)+尸(o,o)=i = g2 2 32 324.两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为Ln ,其分布函数均为1-二1000 ,x<0求系统的寿命短于1000小时的概率。解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为，p = p仁 < 1 ooo) + p(r| < 1 ooo) - p(g < 1 ooo ,n < 1000)= F(1000) + F(1000) -F(1000)2 = 1 e-1 + 1 e-1 (1 e-1 )2 = 1 e-2四.随机变量的数字特征1设随机变量x服从参数为人的泊松(Poisson)分布，且石(X1)(X2)=1,求 ' O解 因 EX = DX = A 有1 = E(X2 3X + 2)=DX+(EX)23九+ 2=九22入+ 2,从而入=1 O3 = 1/33 = 1/3设随机变量X服从参数为1列指数分布，求E(X + e-2x)。 £e-2X =6一2xdx = (J" 3e_3xdx>1 4、°从而 E(X + e-2x) =1 + _ =。3 33设随机变量X利iy的相关系数为05 EX=EY = 0 ,欧2=片丫2 = 2 ,求矶X + y) 2。 解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为石(X+ y)2=EX2+2E(Xr) +E/2=4 + 2(COV(X,y)+EX - EK)=4 + 2p Jdx - 4DY = 4 + 2x0.5x2 = 6A1说明：此题的核心是逆向思维，利用公式£(xy)= cov(x,y)+ £x£y。4设两个相互独立的随机变量X和y的方差分别为6和3,求随机变量2 X-3Y的方差。 解由方差的性质，得。(2X3Y) = 4OX+9OY = 24 + 27 = 51。0 x< 05设连续型随机变量X的分布函数为尸(x) =1x3 04x(1,那么求EX。3x2，> 1解 随机变量X的概率密度为：/(x) = ?(x)=Q<x<1< ， I 0 其他EX = f(x)dx = 13x3(jx ,故J i3x3dx = 3 / 4 o-oo005设随机变量X的方差为2,求根据切比雪夫不等式有估计尸4-E(X) p 2上解 由切比雪夫不等式，有/XE(X)户2k 0(X)_2_1切比雪夫不等式求P -Y>6解e(x y)= o,关键要求x y的方差。D(X- Y)=C0V(X-Y,X- Y)=E cov(x,y)= pjz)xxz)y =o.5jixz O(X-y) = 1-2 + 4 = 3 , 于是尸 ?xy|2 6< = %。021 2六七章.数理统计1.样本(X ,X ,.，X)取自总体XNQ1),129X)X-2cov(X,y) +QY! 二 1X及S分别表示样本均值和均方差，那么切比雪夫不等式求P -Y>6解e(x y)= o,关键要求x y的方差。D(X- Y)=C0V(X-Y,X- Y)=E cov(x,y)= pjz)xxz)y =o.5jixz O(X-y) = 1-2 + 4 = 3 , 于是尸 ?xy|2 6< = %。021 2六七章.数理统计1.样本(X ,X ,.，X)取自总体XNQ1),129X)X-2cov(X,y) +QY! 二 1X及S分别表示样本均值和均方差，那么6设随机变量X和Z的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数P = 0.5,那么根据解 因为X ,X ,.，X独立同分布，XN(0,1),所，129k2 .设随机变量X,X2, ,X相互独立，一 1nX2=X2+X2 +X2服从什么分布。12n解：券3.设总体XN(2,42), X ,X , , X为X的样本，贝 12n_4)解 因XN(2,42),所以XN 2,_ ,标准化后，1 nJk_f(10-1) = z(9),S/闻a x N(0,1),i = 1,2, ,n 那么 i又20'/ f服从什么分布。4/J"X2有r=N(0,1),应选择4/赤I I 22 - 4 - 2 °器NW)14 .设随机变量XF (m, n)那么一服从什么分布。 X解F (几,m).设总体XN(,32),X(X2，X为取自总体的一个样本，X为样本均值，要使 夙克-日)2( 0.1成立，那么产本容量，至少应取多大？解 E( X - 4)2 DX = _ DX = _ 32 0.1,得几 > 90。n n1,其中。一1,求。的极大似1,其中。一1,求。的极大似5 .设总体X的概率密度为：/(%)=<"°<%<0 其它然估计。解：似然函数为：L(a) = H (oc + l)x« = (1 + FIiii=z=lIn L(a) = nln(a + 1) +X a In xi i=d InL(cc)daR + g n x。+1/=1人n ,得极大似然估计：。=- -1In xiz=lx > 0 A > 0的极声似然估计。一%乙X6 .设X服从参数为2的指数分布(p (2) -Xe,，不是来自总体X的样本，求力 12n解：似然函数为L(x,x , 12令色£ = ：Z%dX 2Z=1=0 得2=1=11n1r x. 5li=i=，于是In L = In 2 - aZx人1/=1，因此，Z= _为义的极大似然估计。x