《概率论与数理统计》期末考试.docx

专业、班级：姓名：学号：题号四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)(1)假设事件A、3适合P(A3) = 0 ,那么以下说法正确的选项是().(A) A与8互斥(互不相容)；(B)尸(A) = 0 或尸(8) = 0;(C) 4与区同时出现是不可能事件；(D)尸(A)>0,那么尸回A) = 0.(2)设随机变量X其概率分布为X -1012P 0. 2 0. 3 0. 1 0.4那么 PX<1.5= ( )o(A) 0. 6(B) 1(C) 0(3) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，那么以下结论正确的选项是()12(A) P(A) = P(AA) (B) P(A)>P(A) + P(A )-1 1 212(C) P(A) = P(A| A )(D) P(A)<P(A ) + P(A2)-1(4) 设随机变量XN(-3, 1), yN(2, 1),且X与y相互独立，令 Z = X-2Y+7 ,那么 Z ().(A)N(O, 5)；(B)N(O, 3)；(C)N(O, 46)；(D)N(0,54).尸（7 = 一200）=心磊=i"o4所以1_ 1£F = 100xH4 + (-200)x (1 -在1=3004 -20033.64 (元)（8分）解:解: EX=2, EY = 2, DX=t QY = 4,P = 0.5XY那么 E(2X 一 y) = 2EX - EY = 2x (-2) - 2 = -6那么 E(2X 一 y) = 2EX - EY = 2x (-2) - 2 = -6D(2X -Y) = D(2X) + DY 2cov(2X, Y)= 2ox + z)y 4cov(x,y)= 2DX + DY- ADXDYp =12XY（7分）解:解:用X表示第i户居民的用电量，那么X。0,20EX =0+20 =io DX _ (20-0)2 _10012那么1000户居民的用电量为x=!2x ,由独立同分布中心极限定理/=1p(x> 10100 = 1 - px< 10100=1-1000x1000xX 1000x10,10100 1000x101T 10100-1000x10,« 1 -0()'toe '000 X3、（7分）解：最大似然函数为L(x , x =如 /(% )=%(0 +1 )x。2 分1nii/=1z=1= (0 + 1)(x, ,x )93 分1n那么In L(x , ,x =ln(0 +1)+0 ln(x , 5 x ) 1n1n0 <x ,<1.4 分1n令 din) _ n +ln(x , )X ) = 05 分dQ 0+11 n于是0的最大似然估计：J = 1 -7 分In ln（x, , x ）1n十二、（5分）X- LI解：因为。，且一n（0J）1分依题意 ct = 0.05, U = 1.96,= 100, o=1, x = 52那么ii的置信水平为95%的置信区间为一 0 一 o Ix-U -j=、x+U *_22即为4.801,5.199(5)设X X , ,X为正态总体N(piq2)的一个简单随机样本，其中o=2,日 1, 2未知，那么()是一个统计量。(A) X 2 + O 2(B)(X -四)2iii=1Z=1(c)r-(d) ”-A(6)设样本X ,X , ,X来自总体XN(HQ2),O2未知。统计假设 12n为 H ： |i = |LI (|i )H ：为 H ： |i = |LI (|i )H ：日。日。那么所用统计量为() 0(A)U =00(C(71-1)5 2(C)>2 =1 O 2(B) 7 = S/n(D)/2 二一Z(X02 z=1N)2二、填空题(每空3分共15分)(1)如果P(A)>O,P(B)。，尸(A|B) = P(A),那么 P(同A)= (2)设随机变量X的分布函数为1-(1 + x)e-%x > 0.那么X的密度函数/(x)=, P(X2)= (3),设0S,0人是总体分布中参数0的无偏估计量,3=洲八-用+30； 123当a =卫时，0”也e是的无偏估计量.X是来自总体X的 9 _ X + +XU = 1 QM + +7* 19(4)设总体乂和丫相互独立，且都服从N(0,1), X,X, 12样本，v,y, 丫是来自总体丫的样本，那么统计量 129服从 分布(要求给出自由度)。三、（6分）设 A B相互独立,尸（4） = 0.7, P（A 8） =0.88,求尸（。-B）.国（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在 运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。五（6分）设随机变量X的概率密度为/（x）=0,x > 09 其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。六（8分）随机变量x和y的概率分布为yo111p22而且 PXY=0 = 1 ,（1）求随机变量X和y的联合分布;（2）判断x与y是否相互独立？七（8分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为12e-+”）, x > 0, y > 0,/（X y）=,0,其他.求（1）尸（0«乂（1,04丫（2）；（2）求*的边缘密度。人（6分）一工厂生产的某种设备的寿命x （以年计）服从参数为L的指数分、4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。假设工厂售出 一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台 设备净盈利的期望。九、（8分）设随机变量X与丫的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,求E（2X-丫），D（2X-y） o土（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已 知每户每日用电量（单位：度）服从0, 20上的均匀分布，利用中心极限定 理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正 态分布函数（X）的值表示）.I （7分）设, 5x是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为 12 nf（0 +1）x0, 0 <x< 1,0, 其他，其中0>0未知，求0的最大似然估计。十二（5分）某商店每天每百元投资的利润率XN（H,1）服从正态分布，均值为N，长期以来方差。2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为无=5,试求目的置信水平 为95%的置信区间。（= 199, （1.96） = 0.975 ）解答及评分标准单项选择题(每题3分共18分)1. D 2. A 3. B 4. A 5. A 6. B填空题（每空3分共15分）x > 0x<0x > 0x<03e-2 3. -1 4.(9)三、（6分）I?：0.88= P(A B)=尸(A) + P(B) - P(AB)=P+ P(B) - P(A)P(B) (因为A, B相互独立)2分= 0.7 + P(B)-0.7P(B)3 分贝 ij尸(8) =0.64 分P(A B)= P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B)= 0.7-0.7x0.6 = 0.286 分四(6分)解：用X表示时刻7运行的电梯数，那么XW(4, 0.7)2分所求概率 px px = o4 分= 1-Co(O.7)o(1-O,7)4 =0.99196 分4五(6分)解：因为y = 2% + 1是单调可导的，故可用公式法计算 1分当x之0时，y>12分y -11由 y = 2x + 1,得 x = j x = 4 分2, 2 y-1 1从而y的密度函数为/ M )45分Y 0y<16分0J<1六（8分）解：因为 p%y = o=i,所以 pxrwo=o根据9缘唧率与联合概率之间的关系得出 y -10101014410201111424122（2）因为px= o,y=o=ow px= opy= o)111X=2 24所以x与y不相互独立七（8分）解：（1）p（o<x<i,o<r<2）=J 3e-3xdx-oJ dx2e-(3x+4y)dyE 04e-ydy= - e-x o£-4 y 20=1 2-3 £-8 -003 -3工0-003 -3工0x<0(2) f (x)+812e-(3»4)，)dy X_八（6分）解：因为X1e(_)4得f(x)V x>0x< 0用y表示出售一台设备的净盈利 yJ100那么 P(Y = 100)=3 _e1 4100-300_ 7 = e_4 dx 4X> 10<X <1