奥数专题~定-义新运算(带答案~完美排版~).doc

-_定义新运算定义新运算我们学过的常用运算有：、×、÷等.如：2352×36都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例 1、设 a、b 都表示数，规定 ab3×a2×b，求 32， 23；这个运算“”有交换律吗？求（176）2，17（62）；这个运算“”有结合律吗？如果已知 4b2，求 b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 3 倍减去符号后面的数的 2 倍.解： 323×32×2945233×22×3660.由的例子可知“”没有交换律.要计算（176）2，先计算括号内的数，有：1763×172×639；再计算第二步 3923 × 392×2113，所以（176）2113.对于 17（62），同样先计算括号内的数，623×62×214，其次 17143×172×1423，所以 17（62）23.由的例子可知“”也没有结合律.因为 4b3×42×b122b，那么 122b2，解出 b5.例 2、定义运算为 aba×b（ab），求 57，75； 求 12（34），（123）4；这个运算“”有交换律、结合律吗？ 如果 3（5x）3，求 x.解： 575×7（57）351223，7 57×5（75）351223.要计算 12（34），先计算括号内的数，有：343×4（34）5，再计算第二步 12512×5（125）43，所以 12（34）43.对于（123）4，同样先计算括号内的数，12312×3（123）21，-_其次 21421×4（214）59，所以（12 3）459.由于 aba×b（ab）；bab×a（ba）a×b（ab）（普通加法、乘法交换律）所以有 abba，因此“”有交换律.由的例子可知，运算“”没有结合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5）12x15（4x2） 8x 13那么 8x133 解出 x2.例 3、定义新的运算 a ba×bab. 求 6 2，2 6； 求（1 2） 3，1 （2 3）；这个运算有交换律和结合律吗？ 解： 6 26×26220，2 62×62620.（1 2） 3（1×212） 35 35×353231 （2 3）1 （2×323）1 111×1111123.先看“”是否满足交换律：a ba×babb ab×abaa×bab（普通加法与乘法的交换律）所以 a bb a，因此“”满足交换律.再看“”是否满足结合律：（a b） c（a×bab） c（a×bab）×ca×babc abcacbcababc.a （b c）a （b×cbc）a×（b×cbc）ab×cbc abcabacabcbc-_abcacbcababc.（普通加法的交换律）所以（a b） ca （b c），因此“”满足结合律.说明：“”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 （23）1 51×51511；1 21 31×2121×3135712；因此 1 （23） 1 21 3.例 4、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求 73？解：通过对 248，5313，3511，9725 这几个算式的观察，找到规律：ab2ab，因此 732×7317.例 5、x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3 的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求 12）*3 的值，首先我们要计算 12，根据“”的定义：12=k×1×2=2k，由于 k 的值不知道，所以首先要计算出 k 的值，k 值求出后，l2 的值也就计算出来了.我们设 12=a， (12）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出 m、n 时，我们才能计算 a*3 的值.因此要计算（12）*3 的值，我们就要先求出 k、m、n 的值.通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值，通过（2*3）4=64 求出 k 的值.解：因为 1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因为 m、n 均为自然数，所以解出：当 m=1，n=2 时：（2*3）4=（1×2+2×3）4=84=k×8×4=32k有 32k=64，解出 k=2.当 m=3，n=1 时：（2*3）4=（3×2+1×3）4=94=k×9×4=36k有 36k=64，解出 k=，这与 k 是自然数矛盾，因此 m=3，n =1，k=971971这组值应舍去.所以 m=l，n=2，k=2.（12）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运m=1 n =2m=2n =（舍去）23m=3 n =1-_算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题课后习题1.a*b 表示 a 的 3 倍减去 b 的，例如：211*2=1×32×=2，根据以上的规定，计算：2110*6； 7*（2*1）.2.定义新运算为 ab，b1a 求 2（34）的值； 若 x41.35，则 x？3.有一个数学运算符号，使下列算式成立：=，=，=，求的值.21 32 63 54 97 4511 65 71 426 113 544.定义两种运算“”、“”，对于任意两个整数 a、b，abab1， ab=a×b1，计算 4（68）（35）的值；若 x（x4）=30，求 x 的值.5.对于任意的整数 x、y，定义新运算“”，xy=（其中 m 是一个确定的整数），y×2x×my×x×6 如果 12=2，则 29=？6.对于数 a、b 规定运算“”为 ab=（a1）×（1b），若等式（aa）（a1）=（a1）（aa）成立，求 a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=，xy1 ）（Ay1x1 已知 2*1=，求 1998*1999 的值.1×21 ）（A1121 328.ab=，在 x（51）=6 中，求 x 的值.b÷aba 9.规定 ab=a（a1）（a2）（ab1），（a、b 均为自然数，b>a）如-_果x10=65，那么 x=？10.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：=？ )25. 2106237()99343 . 0()3323625. 0()26176 . 0(课后习题解答课后习题解答1.2. 3.所以有 5x-2=30，解出 x=6.4-_左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x10=x +（x+1）+（x+2）+（x+101）=10x +（1+2+3+9）=10x + 45-_因此有 10x + 45=65，解出 x=2.定义新运算定义新运算我们学过的常用运算有：、×、÷等.如：2352×36都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例 1、设 a、b 都表示数，规定 ab3×a2×b，求 32， 23；这个运算“”有交换律吗？求（176）2，17（62）；这个运算“”有结合律吗？如果已知 4b2，求 b.-_例 2、定义运算为 aba×b（ab），求 57，75； 求 12（34），（123）4；这个运算“”有交换律、结合律吗？ 如果 3（5x）3，求 x.例 3、定义新的运算 a ba×bab. 求 6 2，2 6； 求（1 2） 3，1 （2 3）；这个运算有交换律和结合律吗？ 例 4、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求 73？-_例 5、x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3 的值.课后习题课后习题1.a*b 表示 a 的 3 倍减去 b 的，例如：211*2=1×32×=2，根据以上的规定，计算：2110*6； 7*（2*1）.2.定义新运算为 ab，b1a 求 2（34）的值； 若 x41.35，则 x？-_3.有一个数学运算符号，使下列算式成立：=，=，=，求的值.21 32 63 54 97 4511 65 71 426 113 544.定义两种运算“”、“”，对于任意两个整数 a、b，abab1， ab=a×b1，计算 4（68）（35）的值；若 x（x4）=30，求 x 的值.5.对于任意的整数 x、y，定义新运算“”，xy=（其中 m 是一个确定的整数），y×2x×my×x×6 如果 12=2，则 29=？-_6.对于数 a、b 规定运算“”为 ab=（a1）×（1b），若等式（aa）（a1）=（a1）（aa）成立，求 a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=，xy1 ）（Ay1x1 已知 2*1=，求 1998*1999 的值.1×21 ）（A1121 32-_8.ab=，在 x（51）=6 中，求 x 的值.b÷aba 9.规定 ab=a（a1）（a2）（ab1），（a、b 均为自然数，b>a）如果x10=65，那么 x=？10.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：=？ )25. 2106237()99343 . 0()3323625. 0()26176 . 0(