全等三角形培优竞赛训练题.doc

#*全等三角形培优竞赛训练题全等三角形培优竞赛训练题1、已知正方形、已知正方形 ABCD 中，中，E 为对角线为对角线 BD 上一点，过上一点，过 E 点作点作 EFBD 交交 BC 于于 F，连，连 接接 DF，G 为为 DF 中点，连接中点，连接 EG，CG （1）直接写出线段）直接写出线段 EG 与与 CG 的数量关系；的数量关系； （2）将图）将图 1 中中BEF 绕绕 B 点逆时针旋转点逆时针旋转 45º，如图，如图 2 所示，取所示，取 DF 中点中点 G，连接，连接 EG，CG 你在（你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图）将图 1 中中BEF 绕绕 B 点旋转任意角度，如图点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？）中的结论是否仍然成立？ FBADCEG图 1FBADCEG图 2FBACE图 3D#*2、数学课上，张老师出示了问题：如图、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形，四边形 ABCD 是正方形，点是正方形，点 E 是边是边 BC 的的中点中点，且，且 EF 交正方形外角交正方形外角的平行线的平行线 CF 于点于点 F，求证：，求证：90AEFDCGAE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点的中点 M，连接，连接 ME，则，则AM=EC，易证，易证，所以，所以AMEECFAEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图）小颖提出：如图 2，如果把，如果把“点点 E 是边是边 BC 的中点的中点”改为改为“点点 E 是边是边 BC 上上 （除（除 B，C 外）的任意一点外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为仍然成立，你认为 小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图）小华提出：如图 3，点，点 E 是是 BC 的延长线上（除的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条点外）的任意一点，其他条 件不变，结论件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过 程；如果不正确，请说明理由程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图 1ADFCGEB图 2ADFCGEB图 3#*3、已知、已知中，中，为为边的中点，边的中点，RtABC90ACBCCD，AB90EDF°， 绕绕点旋转，它的两边分别交点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于（或它们的延长线）于、EDFDACCBEF当当绕绕点旋转到点旋转到于于时（如图时（如图 1） ，易证，易证EDFDDEACE1 2DEFCEFABCSSS当当绕绕点旋转到点旋转到不垂直时，在图不垂直时，在图 2 和图和图 3 这两种情况下，上述结论是这两种情况下，上述结论是EDFDDEAC和否成立？若成立，请给予证明；若不成立，否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关又有怎样的数量关DEFSCEFSABCS系？请写出你的猜想，不需证明系？请写出你的猜想，不需证明AECFBD图 1图 3ADFECBADBCE图 2F#*4、在、在ABC中，中，2120ABBCABC，°，将将ABC绕点绕点B顺时针旋转角顺时针旋转角(0 °90 )°得得ABCAB111，交交AC于点于点E，11AC分别交分别交ACBC、于于DF、两点两点（1）如图）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与与FC有怎样的数量关系？并有怎样的数量关系？并证明你的结论；证明你的结论；ADBECF1A1CADBECF1A 1C（2）如图）如图 2，当，当30°时，试判断四边形时，试判断四边形1BC DA的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（3）在（）在（2）的情况下，求）的情况下，求ED的长的长#*5、如图如图 9，若，若ABC和和ADE为等边三角形，为等边三角形，M，N 分别分别 EB，CD 的中点，易证：的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形是等边三角形（1）当把）当把ADE绕绕 A 点旋转到图点旋转到图 10 的位置时，的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（证明，若不成立请说明理由；（4 分）分）（2）当）当ADE绕绕 A 点旋转到图点旋转到图 11 的位置时，的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，时，ADE与与ABC及及AMN的面积之比；若不是，的面积之比；若不是，请说明理由请说明理由 （6 分）分）图 9 图 10 图 11图 8#*6、点、点 C 为线段为线段 AB 上一点，上一点，ACM, CBN 都是等都是等边三角形，线段边三角形，线段 AN,MC 交于点交于点 E，BM,CN 交于点交于点F。求证：。求证：（1）AN=MB.（2）CEF 为等边三角形。为等边三角形。（3）将）将ACM 绕点绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变， （1）中的结论是）中的结论是否依然成立？否依然成立？(只回答不证明只回答不证明)，（4）AN 与与 BM 相交所夹锐角是否发生变化，相交所夹锐角是否发生变化， （只回答不证明（只回答不证明)。OOFEABABNCMMCNFE#*7、问题：问题：已知已知中，中，点，点是是内的一点，且内的一点，且，ABC2BACACB DABCADCD 探究探究与与度数的比值度数的比值BDBADBCABC请你完成下列探究过程：请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当）当时，依问题中的条件补全右图时，依问题中的条件补全右图90BAC观察图形，观察图形，与与得数量关系为得数量关系为_；ABAC当退出当退出时，可进一步推出时，可进一步推出的度数为的度数为_； 15DACDBC 可得到可得到与与度数的比值为度数的比值为_DBCABC（2）当）当时，请你画出图形，研究时，请你画出图形，研究与与度数的比值是否与度数的比值是否与90BACDBCABC （1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明CBA图 1D CBA#*8、直线、直线 CD 经过经过BCA的顶点的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线分别是直线 CD 上两点，且上两点，且 BECCFA （1）若直线）若直线 CD 经过经过BCA的内部，且的内部，且 E、F 在射线在射线 CD 上，请解决下面两个问题：上，请解决下面两个问题：如图如图 1，若，若，则，则EF BEAF（填（填“” ， “”90 ,90BCA或或“”号）号） ；如图如图 2，若，若0180BCA ，若使，若使中的结论仍然成立，则中的结论仍然成立，则 与与BCA应满足应满足的关系是的关系是 ；（2）如图）如图 3，若直线，若直线 CD 经过经过BCA的外部，的外部，BCA ，请探究，请探究 EF、与、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图 1图 2图 3#*9、(1) 如图如图 1,在正方形在正方形 ABCD 中中,点点 E,F 分别在边分别在边 BC, CD 上上,AE,BF 交于点交于点 O, AOF90°. 求证：求证：BECF.(2) 如图如图 2,在正方形在正方形 ABCD 中中,点点 E,H,F,G 分别在边分别在边 AB, BC,CD,DA 上上,EF,GH 交于点交于点 O, FOH90°, EF 4.求求 GH 的长的长.(3) 已知点已知点 E,H,F,G 分别在矩形分别在矩形 ABCD 的边的边 AB,BC,CD,DA 上，上，EF,GH 交于点交于点 O, FOH90°,EF4. 直接写出下列两题的答案：直接写出下列两题的答案： 如图如图 3,矩形矩形 ABCD 由由 2 个全等的正方形组成个全等的正方形组成,求求 GH 的长；的长；如图如图 4,矩形矩形 ABCD 由由 n 个全等的正方形组成个全等的正方形组成,求求 GH 的长的长(用用 n 的代数式表示的代数式表示).第 23 题图 1第 23 题图 2第 23 题图 3第 23 题图 4#*10、如图，直角梯形、如图，直角梯形 ABCD 中，中，且，且BCAD90BCD° ，过点，过点 D 作作，交，交的平分线于点的平分线于点 E，连接，连接2tan2CDADABC，ABDEBCDBE（1）求证：）求证：；BCCD （2）将）将绕点绕点 C，顺时针旋转，顺时针旋转得到得到，连接，连接 EG.求证：求证：CD 垂直平垂直平BCE90°DCG 分分 EG. （3）延长）延长 BE 交交 CD 于点于点 P求证：求证：P 是是 CD 的中点的中点ADGECB11、已知：如图，已知：如图，AF 平分平分BAC，BCAF， 垂足为垂足为 E，点，点 D 与点与点 A 关于点关于点 E 对称，对称， PB 分别与线段分别与线段 CF，AF 相交于相交于 P，M (1)求证：求证：AB=CD； (2)若若BAC=2MPC，请你判断，请你判断F 与与MCD 的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由 FMPE DCBA#*12、如图，四边形、如图，四边形 ABCD 是正方形，是正方形， ABE 是等边三角形，是等边三角形，M 为对角线为对角线 BD（不含（不含 B点）上任意一点，将点）上任意一点，将 BM 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 60°得到得到 BN，连接，连接 EN、AM、CM. 求证：求证： AMBENB； 当当 M 点在何处时，点在何处时，AMCM 的值最小；的值最小；当当 M 点在何处时，点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由；的值最小，并说明理由；EA DB CNM