全等三角形辅助线方法.doc

-_DCBAEDFCBA全等三角形辅助线全等三角形辅助线常见辅助线的作法有以下几种：常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” ；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.-_EDCBAEDCBA中考应用（09 崇文二模）以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt和等腰ABCABDRt，连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AMACE90 ,BADCAE 与 DE 的位置关系及数量关系 （1）如图 当为直角三角形时，AM 与 DE 的位置ABC关系是 ，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.EDCBA五、旋转五、旋转1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.2：D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC （1） 当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN （2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。3.如图，是边长为 3 的等边三角形，是等腰三角形，ABCBDC且，以 D 为顶点做一个角，使其两边分别交 AB0120BDC060于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则的周长为 ；AMN-_中考应用：中考应用：（07 佳木斯）已知四边形中，ABCD，：，绕ABADBCCDABBC120ABC 60MBN MBN点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于 （1）当绕BADDC，EF，MBN 点旋转到时（如图 1） ，易证 （2）当绕点旋转到BAECFAECFEFMBNB 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；AECF若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AECF，EF（09 崇文一模）在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线ABCA60MDN120BDCAB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的AMNABC 周长 L 的关系（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN-_GABFDECADCPBHFEGADCBFEDCBA21图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=，则 Q= x （用、L 表示） x六、六、构造全等构造全等例 1： 已知：如图 4，在 RtABC 中，ACB=90º， AC=BC，D 为 BC 的中点，CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF 求证：ADC=BDF2用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图 9 所示，先在AOB 的两边上取 OP=OQ， 再取 PM=QN，连接 PN、QM，得交点 C，则射线 OC 平分AOB你能说明道理吗？ 图 93如图 10，ABC 中，AB=AC，过点 A 作GEBC，角平分线 BD、CF 相交于点 H，它们的 延长线分别交 GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 图 104已知ABC，AB=AC，E、F 分别 为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 G求证：EG=GF 图 155 已知：ABC 中，BD=CD，12求证：AD 平分BAC-_AFHDCGBEADCBEAFDCBECEBAD说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据 全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等 （2）利用角的平分线构造全等三角形：过角平分线上一点作两边的垂线段 练习：如图 22，ABCD，E 为 AD 上一点，且 BE、CE 分 别平分ABC、BCD求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形 例 6： 如图 23，在ABC 中，AD 平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 AB 分成 AE 和 BE 两段，只需证明 BE=CD 就可以了 延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例 7： 如图 24，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于 E 求证：ACE=B+ECD分析：注意到 AD 平分BAC，CEAD，于是可延长 CE 交 AB 于点 F，即可构造全等三 角形 （3）利用角的平分线构造等腰三角形 如图 25，在ABC 中，AD 平分BAC，过点 D 作DEAB，DE 交 AC 于点 E易证AED 是等腰三角形 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形 图 25 例 11 如图 26，在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，DEBD 于 D，交 BC 于点 E求证：CD=BE21-_CFEBADQP CBACBADCBA D4321CEBADCEBAD练习：1如图 27，在ABC 中，B=90º， AD 为BAC 的平分线，DFAC 于 F，DE=DC 求证：BE=CF 2已知：如图 28，AD 是ABC 的中线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 BE=CF 求证：（1）AD 是BAC 的平分线；（2）AB=AC 图 283在ABC 中，BAC=60º，C=40º， AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ 图 294如图 30，在ABC 中，AD 平分BAC，AB=AC+CD 求证：C=2B 图 305如图 31，E 为ABC 的A 的平分线 AD 上一点，ABAC 求证：AB-ACEB-EC 图 316如图 32，在四边形 ABCD 中，BCBA， AD=CD，BD 平分ABC 求证：A+C=180º7如图 33 所示，已知 ADBC，1=2，3=4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D，交-_FCEBADCBADACBDACFEBMDBC 于点 C 求证：AD+BC=AB 8已知，如图 34，ABC 中，ABC=90º，AB=BC，AE 是A 的平分线，CDAE 于 D求证：CD=AE 219ABC 中，AB=AC，A=100º， BD 是B 的平分线求证：AD+BD=BC 10如图 36，B 和C 的平分线相交于点 F， 过点 F 作 DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD+CE=9，则线段 DE 的长为（ ） A9 B8 C7 D6 图 3611如图 37，ABC 中，AD 平分BAC，AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点 求证：AB=AC 图 3712已知：如图 38，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E 是 BC 的中点，EFAD，交 AB 于 M， 交 CA 的延长线于 F求证：BM=CF 1.（2010 年河南中考模拟题 3）如图，在 RtABC 中，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE=450，将ADC 绕点 A 顺时针旋转 900后，得到AFB，连接，下列结论：（）；（）；（）；（）其中正确的是（ ）A （2） （4） B （1）(4) C(2) (3) D(1) (3)2.（2010 年浙江杭州）在ABC中，AB6，AC8，-_BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 3.（2010 年中考模拟 2）如图，在等腰梯形 ABCD 中，C=60°，ADBC，且 AD=DC，E、F 分别在 AD、DC 的延长线上，且 DE=CF，AF、BE交于点 P .（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测BPF 的度数，并证明你的结论 .4.（2010 年北京市中考模拟）已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB于点 D,点 E 在 AC 上，CE=BC,过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F .求证：AB=FC5 （2010 年赤峰市中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AFDC，连接 AC、CF，求证：CA 是DCF 的平分线.6.（10 年广州市中考六模） 、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：(1)求证：EAF = 45o ; (2)ECF的周长是否有变化？请说明理由.7.（2010 年天水模拟）如图，ABC 中，ABC=BAC=45°，点 P 在 AB 上，ADCP，BECP，垂足分别为 D、E ，已知 DC=2，求 BE 的长。8 题图-_EDCBA8 （2010 年广州中考数学模拟试题(四)）如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分DAB 交 DC 于点 E，连接 BE，过 E 作 EFBE 交 AD 于 E.(1)DEF 和CBE 相等吗？请说明理由；来源:学。科。网(2)请找出图中与 EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.9.（2010 年河南中考模拟题 2）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上。 （1）求证：ABED。 （2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。10.（2010 年河南中考模拟题 6）如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=ECD=900，D 为 AB 边上一点。求证：（1）ACEBCD； （2）222ADDBDE。11 （西城 09 年一模）已知:PA=,PB=4,以 AB 为一边作正方2 形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当 APB=45°时,求 AB 及 PD 的长; (2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应 APB 的大小.ABCDEF-_