全等三角形辅助线归类.doc

-_倍长中线（线段）造全等前言：要求证的两条线段要求证的两条线段 AC、BF 不在两个全等的三不在两个全等的三角形中，因此证角形中，因此证 AC=BF 困难，考虑能否通过辅助线把困难，考虑能否通过辅助线把 AC、BF 转化到同一个三角形中，由转化到同一个三角形中，由 AD 是中线，常采是中线，常采 用中线倍长法，故延长用中线倍长法，故延长 AD 到到 G，使，使 DG=AD，连，连 BG， 再通过全等三角形和等线段代换即可证出。再通过全等三角形和等线段代换即可证出。 1、已知：如图，、已知：如图，AD 是是ABC 的中线，的中线，BE 交交 AC 于于 E，交，交 AD 于于 F，且，且 AE=EF，求证：，求证：AC=BFABCDEF2、已知在、已知在ABC 中，中，AD 是是 BC 边上的中线，边上的中线，E 是是 AD 上一点，且上一点，且 BE=AC，延长，延长 BE 交交 AC 于于 F，求证：，求证：AF=EFF EDABC3 3、已知，如图、已知，如图ABCABC 中，中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，则中线，则中线 ADAD 的取的取值范围是值范围是_._.DCBA4、在、在ABC 中中,AC=5,中线中线 AD=7，则，则 AB 边的取值范围边的取值范围 是是( )A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<19 D、9<AB<195、已知：、已知：AD、AE 分别是分别是ABC 和和ABD 的中线，且的中线，且BA=BD， 求证：求证：AE=AC21ABCDE6 6、如图，、如图，ABCABC 中，中，BD=DC=ACBD=DC=AC，E E 是是 DCDC 的中点，求证：的中点，求证：ADAD 平分平分BAE.BAE.EDCBA7、已知、已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是是ABD 的中的中 线，求证：线，求证：C=BAEABCDE8 8、如图、如图 2323，ABCABC 中，中，D D 是是 BCBC 的中点，过的中点，过 D D 点的直线点的直线 GFGF 交交 ACAC 于于 F F，交，交 ACAC 的平行线的平行线 BGBG 于于 G G 点，点， DEDFDEDF，交，交 ABAB 于点于点 E E，连结，连结 EGEG、EF.EF. 求证：求证：BG=CFBG=CF 请你判断请你判断 BE+CFBE+CF 与与 EFEF 的大小关系，并说明理由。的大小关系，并说明理由。-_4 321DE ABCEDCBA12图 4-2FDCBA12图 4-3ADBCE9、如图，、如图，AD 为为的中线，的中线，DE 平分平分交交 ABABCBDA 于于 E，DF 平分平分交交 AC 于于 F. 求证：求证：ADC EFCFBE一 14 一一 DFCBEA1010、如图，、如图，ABCABC 中，中，E E、F F 分别在分别在 ABAB、ACAC 上，上，DEDFDEDF，D D 是中点，试比较是中点，试比较 BE+CFBE+CF 与与 EFEF 的大小的大小. .EDFCBA11、已知：如图，在、已知：如图，在中，中，D、E 在在ABCACAB BC 上，且上，且 DE=EC，过，过 D 作作交交 AE 于点于点BADF / F，DF=AC. 求证：求证：AE 平分平分BAC一 1 一一 ABFDEC截长补短1、已知，四边形已知，四边形 ABCD 中，中，ABCD，12，34。求证：。求证：BCABCD。2、如图，、如图，ADBC，点，点 E 在线在线 段段 AB 上，上，ADE=CDE，DCE=ECB. 求证：求证：CD=AD+BC.3、已知：如图，在、已知：如图，在ABC 中，中，C2B，12. 求证：求证：AB=AC+CD.DCBA123 3、如图，在、如图，在ABCABC 中，中，BAC=60°BAC=60°， ADAD 是是BACBAC 的平的平 分线，且分线，且 AC=AB+BDAC=AB+BD，求，求ABCABC 的度数的度数DCBA4 4、如图，已知在、如图，已知在ABCABC 中，中，B=60°B=60°，ABCABC 的角平分的角平分线线 AD,CEAD,CE 相交于点相交于点 O O，求证：，求证：OE=ODOE=OD-_OEDCBA5 5、已知、已知中，中，、分别平分分别平分ABC60ABDCE 和和，、交于点交于点，试判断，试判断、ABC. ACBBDCEOBE 、的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明CDBC6 6、如图，已知在、如图，已知在内，内，ABCA，P P，Q Q 分别在分别在 BCBC，CACA 上，上，060BAC040C并且并且 APAP，BQBQ 分别是分别是，的角平分线。的角平分线。BACABC求证：求证：BQ+AQ=AB+BPBQ+AQ=AB+BPPQCBA7 7、如图在、如图在ABCABC 中，中，ABABACAC，1122，P P 为为 ADAD 上任意上任意一点，求证一点，求证;AB-AC;AB-ACPB-PCPB-PCP21DCBA8 8、如图，点、如图，点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的所在直线上的MABDAB 任意一点任意一点( (点点除外除外) )，作，作，射线，射线与与B60DMNMN 外角的平分线交于点外角的平分线交于点，与与有怎样的数有怎样的数DBANDMMN 量关系量关系? ?角平分线上的点向角两边引垂线段1 1、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，BCBCBA,ADBA,ADCDCD，求证：求证：BAD+C=180°BAD+C=180°DCBA2、如图，四边形、如图，四边形 ABCD 中，中，AC 平分平分BAD，CEAB 于于 E，AD+AB=2AE，则，则B 与与ADC 互补互补. 为什么？为什么？DBEACNEBMADDOECBA-_一 一 一43 21PABC3 3、如图、如图 4 4，在，在ABCABC 中，中，BD=CDBD=CD，ABD=ACD,ABD=ACD,求证求证 ADAD 平分平分BAC.BAC.ABCD4、如图，在、如图，在ABC 中，中，ABC=100°°，ACB=20°°， CE 平分平分ACB，D 是是 AC 上一点，若上一点，若CBD=20°°，求，求ADE 的度数的度数.作业：作业：已知，已知，ABAD，12，CDBC。 求证：求证：ADCB180°°。一 一21CBAD作业：作业：如图，如图，在在ABC 中中AABC,AACB 的外角平的外角平 分分线交线交 P.求证求证:AP 是是BAC 的角平分线的角平分线作业：作业：如图如图,B=C=90°,AM 平分平分DAB,DM 平分平分ADC 求证求证:点点 M 为为 BC 的中点的中点连接法（构造全等三角形）作业：作业：已知：如图所示，已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F 分分 别是别是 DC、BC 的中点，求证：的中点，求证： AEAF。DBC cAFE1、如图，直线、如图，直线 AD 与与 BC 相交于点相交于点 O，且，且 AC=BD，AD=BC求证：求证：CO=DO AODCB2、已知：如图、已知：如图 16，AB=AE，BC=ED，点，点 F 是是 CD 的中的中 点，点，AFCD求证：求证：B=E -_AFDCBE3、如图、如图 11-30，已知，已知 ABAE，BE，BCED， 点点 F 是是 CD 的中点的中点.求证：求证：AFCD.FEDCBA4 4、在正、在正内取一点内取一点，使，使，在，在外外ABCDDADBABC 取一点取一点，使，使，且，且，求，求. .EDBEDBC BEBABED5、如图所示，、如图所示，BD=DC,DEBC,交交BAC 的平分线于的平分线于 E，EMAB,ENAC,求证：求证：BM=CNACNEMBD6、如图，在、如图，在ABD 和和ACD 中，中， AB=AC，B=C求证：求证：ABDACDADCB全等全等+角平分线性质角平分线性质1 1、如图、如图 2121，ADAD 平分平分BACBAC，DEABDEAB 于于 E E，DFACDFAC 于于 F F， 且且 DB=DCDB=DC，求证：，求证：EB=FCEB=FC2、已知：如图所示，、已知：如图所示，BD 为为ABC 的平分线，的平分线， AB=BC，点，点 P 在在 BD 上，上，PMAD 于于 M，PNCD 于于 N，判断，判断 PM 与与 PN 的关系的关系全等+等腰性质1、如图，在、如图，在ABEABE 中，中，ABABAE,ADAE,ADAC,BADAC,BADEAC,EAC, BCBC、DEDE 交于点交于点 O.O. 求证：求证：(1)(1) ABCAEDABCAED； (2)(2) OBOBOEOE . .OCEBDADECBAPDAC BMN-_2、.已知：如图，已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，四点在同一条直线上， ABDC，BECF，BC 求证：求证：OAOD两次全等7.4 作业：作业：AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，F F 是是 ADAD 的延长线上的一点。的延长线上的一点。 求证：求证：BF=CFBF=CFFDCBA1、如图，、如图，D、E、F、B 在一条直线上在一条直线上 AB=CD, B=D，BF=DE.求证：（求证：（1）AE=CF;（2）AECF（3）AFE=CEFADFECB2、如图：、如图：A、E、F、B 四点在一条直线上，四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：求证：ACFBDEABCEFD3、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCD 中，中，E 是是 AC 上的一点，上的一点，1=2，3=4，求证，求证: : 5=6 6 65 5 4 43 3 2 21 1 E ED DC CB BA A4、已知如图，、已知如图，E、F 在在 BD 上，且上，且 ABCD，BFDE，AECF 求证：求证：AC 与与 BD 互相平分互相平分5、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCD 中，中，ADBC，ABC=90°°DEAC 于点于点 F，交，交 BC 于点于点 G，交，交 AB 的延长线于点的延长线于点 E，且，且 AE=AC.求证：求证：BG=FGAFCBDEG直角三角形全等（余角性质）ABEOFDC-_作业：如图，在等腰作业：如图，在等腰 RtABC中，中，C90°°，D是是斜边上斜边上AB上任一点，上任一点，AECD于于E，BFCD交交CD的延长线于的延长线于F，CHAB于于H点，交点，交AE于于G求证：求证：BDCG1、如图，将等腰直角三角形、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线的直角顶点置于直线 l 上，且过上，且过 A，B 两点分别作直线两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它 们全等的过程们全等的过程2、如图，、如图，ABC90°°，ABBC，D 为为 AC 上一点，上一点， 分别过分别过 A、C 作作 BD 的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为 E、F 求证：求证：EFCFAE证证ABEBCF，得，得 BECF，AEBF，EFBEBFCFAE 3、在、在ABC 中，中，直线，直线90ACBBCAC 经过点经过点，且，且于于，于于. .MNCMNAD DMNBE E (1)(1)当直线当直线绕点绕点旋转到图旋转到图 1 1 的位置时，的位置时，MNC求证：求证： ；ADCCEBBEADDE (2)(2)当直线当直线绕点绕点旋转到图旋转到图 2 2 的位置时，（的位置时，（1 1）中的）中的MNC 结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明 理由理由. .4、如图：如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（求证：（1）AM=AN；（；（2）AMAN。FBCAMNE1234作平行线1、已知、已知ABC，AB=AC，E、F 分别为分别为 AB 和和 AC 延长延长 线上的点，且线上的点，且 BE=CF，EF 交交 BC 于于 G求证：求证： EG=GF AFC GBE2、如图，在、如图，在ABC 中，中，AB=AC，BD 平分平分ABC，DEBD 于于 D，交，交 BC 于点于点 EABCFDE-_求证：求证：CD=BE2115 43 2EFBDCA延长角平分线的垂线段1、如图，在、如图，在ABC 中，中，AD 平分平分BAC，CEAD 于于 E 求证：求证：ACE=B+ECDAFDCBE2、如图，、如图，ABC 中，中，BAC=90 度，度，AB=AC，BD 是是ABC 的平分线，的平分线，BD 的延长线垂直于过的延长线垂直于过 C 点的直线于点的直线于 E，直线，直线 CE 交交 BA 的延长线于的延长线于 F 求证：求证：BD=2CEFEDCBA3、如图：、如图：BAC=90°°，CEBE，AB=AC ，BD 是是ABC 的平分线，的平分线，求证：求证：BD=2EC鱂鱂鱂D4、已知，如图、已知，如图 34，ABC 中，中，ABC=90º º， AB=BC，AE 是是A 的平分线，的平分线，CDAE 于于 D求证：求证：CD=AE21CEBAD面积法面积法例例 1 如图如图 1，在，在ABC 中，中，BAC 的角平分线的角平分线 AD 平平 分底边分底边 BC.求证求证 AB=AC.-_2、如图所示、如图所示,已知已知 D 是等腰是等腰ABC 底边底边 BC 上的一点上的一点,它它 到两腰到两腰 AB、AC 的距离分别为的距离分别为 DE、DF,CMAB,垂足垂足 为为 M,请你探索一下线段请你探索一下线段 DE、DF、CM 三者之间的数量三者之间的数量 关系关系, 并给予证明并给予证明.EDCBAM F3、己知，、己知，ABC 中，中，AB=AC，CDAB，垂足为，垂足为 D，P 是是 BC 上任一点，上任一点，PEAB，PFAC 垂足分别为垂足分别为 E、F， 求证：求证： PE+PF=CD. PE P F=CD.FEDCABGPFEDCABGP旋转型旋转型1、如图，正方形、如图，正方形 ABCD 的边长为的边长为 1，G 为为 CD 边上一动边上一动 点（点点（点 G 与与 C、D 不重合），不重合）， 以以 CG 为一边向正方形为一边向正方形 ABCD 外作正方形外作正方形 GCEF，连接，连接 DE 交交 BG 的延长线于的延长线于 H。 求证：求证： BCGDCE BHDE2 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 1 所示放所示放 置，图置，图 2 2 是由它抽象出的几何图形，是由它抽象出的几何图形，B B，C C，E E 在同一条在同一条 直线上，连结直线上，连结 DCDC （1 1）请找出图）请找出图 2 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：中的全等三角形，并给予证明（说明： 结论中不得含有未标识的字母）；结论中不得含有未标识的字母）； （2 2）证明：）证明：DCBEDCBE图1图2DCEAB3、（、（1）如图）如图 7，点，点 O 是线段是线段 AD 的中点，分别以的中点，分别以 AO 和和 DO 为边在线段为边在线段 AD 的同侧作等边三角形的同侧作等边三角形 OAB 和等边和等边 三角形三角形 OCD，连结，连结 AC 和和 BD，相交于点，相交于点 E，连结，连结 BC求求AEB 的大小；的大小；CBOD图 7AE（2）如图）如图 8，OAB 固定不动，保持固定不动，保持 OCD 的形状和的形状和 大小不变，将大小不变，将 OCD 绕着点绕着点 O 旋转（旋转（OAB 和和OCD 不能重叠），求不能重叠），求AEB 的大小的大小. .FEDCABGHBAODC E图 8-_NMEFACBA4 4、如图，、如图，AEABAEAB，ADACADAC，AB=AEAB=AE，B=EB=E， 求证：（求证：（1 1）BD=CEBD=CE；（；（2 2）BDCEBDCE5、如图所示，已知、如图所示，已知 AEABAEAB，AFACAFAC，AE=ABAE=AB，AF=ACAF=AC。 求证：求证： （1 1）EC=BFEC=BF；（；（2 2）ECBFECBFAEBM CF6 6、 正方形正方形 ABCDABCD 中，中，E E 为为 BCBC 上的一点，上的一点，F F 为为 CDCD 上的一上的一点，点，BE+DF=EFBE+DF=EF，求，求EAFEAF 的度数的度数. .FEDCBA7 7、D D 为等腰为等腰斜边斜边 ABAB 的中点，的中点，DMDN,DM,DNDMDN,DM,DN 分分Rt ABC 别交别交 BC,CABC,CA 于点于点 E,FE,F。 当当绕点绕点 D D 转动时，求证转动时，求证 DE=DFDE=DF。MDN 若若 AB=2AB=2，求四边形，求四边形 DECFDECF 的面积。的面积。8 8、如图，、如图，是边长为是边长为 3 3 的等边三角形，的等边三角形，是是ABCBDC等腰三角形，且等腰三角形，且，以，以 D D 为顶点做一个为顶点做一个0120BDC角，使其两边分别交角，使其两边分别交 ABAB 于点于点 M M，交，交 ACAC 于点于点 N N，连接，连接060MNMN，求，求的周长。的周长。AMNNMDCBA9 9、五边形、五边形ABCDEABCDE中，中， ABAB= =AEAE，BCBC+ +DEDE= =CDCD，ABCABC+AEDAED=180°=180°，求证：，求证：ADAD平分平分CDECDECEDBAABDEFC-_10、如图，已知、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°°，求五，求五 边形边形 ABCDE 的面积的面积