1.6 回顾与思考.ppt

3.三角函数的有关计算三角函数的有关计算沈阳南昌中学九年级九年级数学九年级数学(下下)第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 在在RtABC中，中，C为直角，为直角，A、B为锐角，为锐角，它们所对的边分别为它们所对的边分别为c、a、b，其中除直角其中除直角c 外，外，其余的其余的5 5个元素之间有以下关系：个元素之间有以下关系：三三边边之间的关系：之间的关系：锐角之间的关系：锐角之间的关系：边边角角之间的关系：之间的关系：ABbacC在在RtABC中，中，C=90：已知已知A、c,则则a=_;b=_。已知已知A、b,则则a=_;c=_。已知已知A、a，则，则b=_;c=_。已知已知a、b，则，则c=_。已知已知a、c，则，则b=_。ABbacC对边对边邻边邻边斜边斜边已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦正弦；求邻边，用锐角的求邻边，用锐角的余弦余弦。已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切正切；求斜边，用锐角的求斜边，用锐角的余弦余弦。已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切余切；求斜边，用锐角的求斜边，用锐角的正弦正弦。单元知识网络单元知识网络直角直角三角三角形的形的边角边角关系关系 解直解直 角三角三角形角形知一边一锐角知一边一锐角解直角三角形解直角三角形知两边解直角知两边解直角三角形三角形添设辅助线解添设辅助线解直角三角形直角三角形知斜边一锐角解知斜边一锐角解直角三角形直角三角形知一直角边一锐知一直角边一锐角解直角三角形角解直角三角形知两直角边解知两直角边解直角三角形直角三角形知一斜边一直角知一斜边一直角边解直角三角形边解直角三角形实际应用实际应用抽象出图形，再抽象出图形，再添设辅助线求解添设辅助线求解直接抽象出直角直接抽象出直角三角形三角形解解直直角角三三角角形形目目标标一一目标二目标二目目标标三三 1在下列直角三角形中，不能解的是（在下列直角三角形中，不能解的是（）A 已知一直角边和所对的角已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角已知两个锐角 C 已知斜边和一个锐角已知斜边和一个锐角 D 已知两直角边已知两直角边2在在ABC中，中，C=90，根据下列条件解这个直根据下列条件解这个直角三角形。角三角形。A=600，斜边上的高斜边上的高CD=CD=；A=600，a+b=3+600ABCD 达标练习一B75ABCD450如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AC=6，C=75，B=45，求求ABC的面的面积。积。达标练习二606求证求证:ABCD的面积的面积S=AB BC sinB(B为锐角为锐角)。ABCDE1、我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为距离为1000米，山高为米，山高为565米，如果这辆坦克米，如果这辆坦克能够爬能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？小山？AC1000米米565米米B达标练习三2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海海里以内的区域。如图，设里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，是我们的观察站，A和和B之间的距离为之间的距离为160海里，海岸线是过海里，海岸线是过A、B的一的一条直线。一外国船只在条直线。一外国船只在P点，在点，在A点测得点测得BAP=450，同时在同时在B点测得点测得ABP=600，问此时是否要向外问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域国船只发出警告，令其退出我国海域.ABP4560 C6.一个人先爬了一段一个人先爬了一段45o的山坡的山坡300m后，又爬后，又爬了一段了一段60o的的山坡山坡200m，恰好到达山顶。你能恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？计算出山的高度吗？ABCD300m200mFE解：过解：过B作作BECD于于E，BFAD于于F.在在RtABF中，中，A45BFABsin45=150在在RtABF中中,CBE60 CEBCsin60=100山高山高(150 100 )m7.热气球的探测器显示热气球的探测器显示,从从热气球看一栋高楼顶部的热气球看一栋高楼顶部的仰角为仰角为30,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为60,热气球与高楼热气球与高楼的水平距离为的水平距离为120m,这栋这栋高楼有多高高楼有多高?=30=60120ABCD解；在解；在RtABD中，中，BAD30 BDADtan30=40在在RtACD中中,CAD60 CDADtan60=60山高山高100 mBCBD+CD100ABCD3045 3、山顶上有一旗杆，在地面上一点山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得处测得杆顶杆顶B的俯角的俯角=600，杆底杆底C的俯角的俯角=450，已已知旗杆高知旗杆高BC=20米，求山高米，求山高CD。ABCD3045在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abc(必有一边必有一边)感悟：感悟：利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题 的一般步骤的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.(有有“弦弦”用用“弦弦”;无无“弦弦”用用“切切”)已知斜边求直边，已知斜边求直边，已知直边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知两边求一角，已知直边求斜边，已知直边求斜边，计算方法要选择，计算方法要选择，正弦余弦很方便正弦余弦很方便；运用正切理当然运用正切理当然；函数关系要选好；函数关系要选好；勾股定理最方便；勾股定理最方便；用除还需正余弦用除还需正余弦；能用乘法不用除能用乘法不用除.优优选选关关系系式式CABabc问题：问题：如图，某市郊外景区内一条笔直的公路如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过经过三个景点三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景景区管委会又开发了风景优美的景点点D.经测量景点经测量景点D位于景点位于景点A的北偏东的北偏东30方向方向8km处，处，位于景点位于景点B的正北方向，还位于景点的正北方向，还位于景点C的北偏西的北偏西75方方向上向上.已知已知AB=5km.(1)景区管委会准备由景点景区管委会准备由景点D向公路向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；条公路的长；(结果精确到结果精确到0.1km)(2)求景点求景点C与景点与景点D之间的距离之间的距离.(结果精确到结果精确到1km)(参考数据：=1.73，(参考数据：参考数据：=1.73,=2.24，sin53=cos37=0.80，sin37=0.60cos53=0.60，tan53=1.33，tan37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=cos38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.97，cos75=0.26，tan75=3.73.)ABCD北北北北东东30aCABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造常通过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解.温温馨馨提提示示D怎样解决一般三角形中的问题呢？怎样解决一般三角形中的问题呢？问题问题:如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯据测，灯塔塔B B在观察站在观察站A A北偏西北偏西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东正东方向，且相距方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察站与观察站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？12北A A B BC C1010F 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？解：过点解：过点C C作作CD AB,CD AB,垂足为垂足为D D北A A B BC CD D10510F灯塔灯塔B在观察站在观察站A北偏西北偏西45的方向的方向 B=45sinB=CD=BCsinB=10sin45=10 =在在RtDAC中，中，sin DAC=DAC=30CAF=BAF-DAC=45-30=154545灯塔灯塔C处在观察站处在观察站A的北偏西的北偏西15的方向的方向 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？北A BC解：过点解：过点A A作作AEBCAEBC，垂足为，垂足为E,E,E1010设CE=x在在RtBAERtBAE中，中，BAE=45BAE=45AE=BE=10+xAE=BE=10+x在在RtCAERtCAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2x2+(10+x)2=(10)2即：x2+10 x-50=0(舍去)灯塔灯塔C C处在观察站处在观察站A A的北偏西的北偏西1515 的方向的方向sin CAE=CAE1545建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为60,观察底部观察底部B的仰角为的仰角为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD40(课本课本17页页)在山脚在山脚C处测得处测得山顶山顶A的仰角为的仰角为45问题如下问题如下:沿着水平地面向前沿着水平地面向前300米到达米到达D点在点在D点测得山点测得山顶顶A的仰角为的仰角为600,求山高求山高AB.DABC45601.2.cos230cos260tan45解：解：原式原式1w猜一猜猜一猜,这座古塔有多高这座古塔有多高w你能运用所学的数学知识测你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗出这座古塔的高吗?AB12w小明在小明在A A处仰望塔顶处仰望塔顶,测得测得1 1的大小为的大小为,再往塔的方向前进再往塔的方向前进50m50m到到B B处处,又测得又测得2 2的大小为的大小为,根据这些他就求出了塔根据这些他就求出了塔的高度的高度.你会做的吗你会做的吗解：在解：在RtACD中中,BDA45CD=AD AD2 +2w体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的峰顶.典型题典型题2.2.如图如图,D,D9090,B=30,B=30,ACD=45ACD=45,BC=4cm,BC=4cm,求求AD.AD.ABC45304DBD=AD在在RtABD中，中，B30tan30=BDCD=BC,即即 ADAD4xxx典型题典型题1.如图，如图，ABC中，中，B=45，C=30，AB=2，求，求AC的长的长.解：过解：过A作作ADBC于于D，在在Rt ABD中中,B=45,AB=2，D45302AD=ABsinBsinB =在在RtACD中，中，C=30=2sin45=AC=2AD=问题：海中有一个小岛问题：海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点点测得小岛测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里到海里到达达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？危险？BA ADF601230解：过解：过A作作AFBD于于F.设设AFx海里海里在在RtABF中中,BAF60 x=6 8在在RtADF中，中，DAF30DF=AFtan30=xBFDF=BD，即，即没有触礁的危险没有触礁的危险BF=AFtan60 xx问题：问题：如图，某市郊外景区内一条笔直的公路如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过经过三个景点三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景景区管委会又开发了风景优美的景点点D.经测量景点经测量景点D位于景点位于景点A的北偏东的北偏东30方向方向8km处，处，位于景点位于景点B的正北方向，还位于景点的正北方向，还位于景点C的北偏西的北偏西75方方向上向上.已知已知AB=5km.(1)景区管委会准备由景点景区管委会准备由景点D向公路向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；条公路的长；(结果精确到结果精确到0.1km)(2)求景点求景点C与景点与景点D之间的距离之间的距离.(结果精确到结果精确到1km)(参考数据：=1.73，(参考数据：参考数据：=1.73,=2.24，sin53=cos37=0.80，sin37=0.60cos53=0.60，tan53=1.33，tan37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=cos38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.97，cos75=0.26，tan75=3.73.)ABCD北北北北东东30aCABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造常通过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解.温温馨馨提提示示D怎样解决一般三角形中的问题呢？怎样解决一般三角形中的问题呢？建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为60,观察底部观察底部B的仰角为的仰角为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD40(课本课本17页页)在山脚在山脚C处测得处测得山顶山顶A的仰角为的仰角为45问题如下问题如下:沿着水平地面向前沿着水平地面向前300米到达米到达D点在点在D点测得山点测得山顶顶A的仰角为的仰角为600,求山高求山高AB.DABC45601.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知a，A的值，则的值，则c的值为的值为 A.atanA B.asinA C.D.（）2.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知 ，BC6，则则AC ，AB .3.在在RtABC中，中，C90，根据下列条件解直角三角形；根据下列条件解直角三角形；(1)A45,a=3;(2)c=8,b=4;思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？素呢？D810一个直角三角形中，若一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的元素是边），则这样的直角三角形可解直角三角形可解.2009沈阳中考沈阳中考16如图，市政府准备修建一座高如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天的过街天桥，已知天桥的坡面桥，已知天桥的坡面AC与地面与地面BC的夹角的夹角ACB的正的正弦值为弦值为 ，则坡面，则坡面AC的长度为的长度为 m 2008沈阳中考沈阳中考14如图所示，某河堤的横断面是梯形如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BCAD，迎水坡，迎水坡AB长长13米，且米，且tanBAE ，则，则河堤的高河堤的高BE为为 米米 BCDEA要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端顶端,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角一般要满足一般要满足50 75.现有一个长现有一个长6m的梯子的梯子.问问:(1)使用这个梯子最高可以安全使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房攀上多高的平房?(精确到精确到0.1m)这个问题归结为这个问题归结为:在在RtABC中中,已知已知A=75,斜边斜边AB=6,求求BC的长的长角角越大越大,攀上的高度就越高攀上的高度就越高.ACB要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端的顶端,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角一般要满足一般要满足50 75.现有一个长现有一个长6m的梯子的梯子.问问:(2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m时时,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角等于等于多少多少(精确到精确到1)?这时人这时人能否安能否安全全使用这个梯子使用这个梯子?这个问题归结为这个问题归结为:在在RtABC中中,已知已知AC=2.4m,斜边斜边AB=6,求锐角求锐角的度数的度数?ACB角角是否在是否在50 75内内例例1.如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电在离电线杆线杆22.7米的米的C处，用高处，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测测得电线杆顶端得电线杆顶端B的仰角的仰角a22，求电线杆求电线杆AB的高（精确到的高（精确到0.1米）米）1.2022.7仰角和俯角仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.例例1.如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电在离电线杆线杆22.7米的米的C处，用高处，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测测得电线杆顶端得电线杆顶端B的仰角的仰角a22，求电线杆求电线杆AB的高（精确到的高（精确到0.1米）米）1.2022.722E例例2:热气球的探测器热气球的探测器显示显示,从热气球看一栋从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为60,热气球热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多这栋高楼有多高高?=30=60120ABCD建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为50,观察底部观察底部B的仰角为的仰角为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD40(课本课本93页页)例例3.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所处，这时，海轮所在的在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？（精确到（精确到0.01海里）海里）6534PBCA指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角例例3.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距方向，距离灯塔离灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮处，这时，海轮所在的所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？（精确到（精确到0.01海里）海里）6534PBCA80 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(仰角仰角,俯角俯角;方位角等方位角等)2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三 角形的五个元素角形的五个元素.图中图中A，B，a，b，c即为直角三角形即为直角三角形 的五个元素的五个元素.2.解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由在直角三角形中，由已知元素已知元素求求未知元素未知元素的过程，叫做解的过程，叫做解直角三角形直角三角形ABabcC