第1章行列式1.4行列式的展开.ppt

1.4 行列式按行(列)展开在在 n 阶阶元素元素元素元素一、一、余子式余子式余下来的余下来的把把元素元素称为称为的的的的代数代数余子式余子式第第 j 列列为元素为元素为元素为元素所在的所在的第第 i 行行、阶行列式阶行列式的的余子式余子式元素元素的的的的余子式余子式余子式余子式去掉后去掉后,行列式中，行列式中，行列式的行列式的行列式的行列式的每个元素每个元素每个元素每个元素当当当当特别特别特别特别都有一个都有一个都有一个都有一个余子式余子式余子式余子式元素元素元素元素 a a12121212的的的的余子式余子式余子式余子式元素元素元素元素 a a44444444的的的的余子式余子式余子式余子式因为因为因为因为一个元素一个元素一个元素一个元素它的余子式它的余子式它的余子式它的余子式的的的的值值值值所以所以所以所以该元素该元素该元素该元素的值的值的值的值改变改变改变改变后，后，后，后，一定一定一定一定不会改变不会改变不会改变不会改变代数代数代数代数余子式余子式余子式余子式 的的的的值值值值一定一定一定一定不会改变不会改变不会改变不会改变不在不在不在不在它的余子式内它的余子式内它的余子式内它的余子式内，为为为为偶数偶数偶数偶数时时时时和和和和代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式.定理定理定理定理3 3 3 3那末那末那末那末第第第第i i行行行行中中中中如果行列式的如果行列式的如果行列式的如果行列式的只有元素只有元素只有元素只有元素不不不不等于等于等于等于零零零零，乘以乘以乘以乘以 它的它的它的它的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式，即即即即这行列式这行列式这行列式这行列式等于等于等于等于例如例如例如例如特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况：第第第第1 1行行行行中中中中只有元素只有元素只有元素只有元素不不不不等于等于等于等于零零零零，例例例例1 1 1 1 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式例例22828页页页页7 7（2 2）计算计算解解第第第第n n行减去第行减去第行减去第行减去第n-1n-1行行行行第第第第n-1n-1行减去第行减去第行减去第行减去第n-2n-2行行行行第第第第4 4行减去第行减去第行减去第行减去第3 3行行行行第第第第3 3行减去第行减去第行减去第行减去第2 2行行行行第第第第2 2行减去第行减去第行减去第行减去第1 1行行行行其中其中2828页页7 7（3 3）计算计算解解例例例例5 5 5 5 范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙 行列式行列式行列式行列式证明证明证明证明 略略略略下面计算下面计算下面计算下面计算4 4 4 4阶阶阶阶 范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙行列式行列式行列式行列式第第第第4 4 行行行行减去减去减去减去倍倍倍倍第第第第3 3 行的行的行的行的第第第第3 3 行行行行减去减去减去减去倍倍倍倍第第第第2 2行的行的行的行的第第第第2 2 行行行行减去减去减去减去倍倍倍倍第第第第1 1行的行的行的行的范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙 行列式行列式行列式行列式计算计算计算计算4 4 4 4阶阶阶阶令令令令得到得到得到得到课本课本课本课本25252525页页页页1 1 1 1（5 5 5 5）的根为的根为课本课本课本课本25252525页页页页1 1 1 1（5 5 5 5）设设2727页页页页2 2（6 6）解解解解 先将第先将第先将第先将第四四四四行行行行减去减去减去减去第第第第三三三三行的行的行的行的 倍倍倍倍第第第第三三三三行行行行减去减去减去减去第第第第二二二二行的行的行的行的a a倍倍倍倍第第第第二二二二行行行行减去减去减去减去第第第第一一一一行的行的行的行的a a倍倍倍倍=定理定理定理定理二、二、二、二、行列式行列式行列式行列式按按按按行行行行（列列列列）展开法则）展开法则）展开法则）展开法则分别分别分别分别乘以乘以乘以乘以它的它的它的它的任一行任一行任一行任一行它们的它们的它们的它们的代数代数代数代数余子式，余子式，余子式，余子式，再再再再相加相加相加相加行列式行列式行列式行列式等于等于等于等于的的的的每个元素每个元素每个元素每个元素推论推论推论推论证证证证:可以为可以为可以为可以为1 1、x x、a ai i1 1 令令令令第第第第i i 行和第行和第行和第行和第j j 行相同行相同行相同行相同同理同理同理同理按第按第按第按第 j j 行展开行展开行展开行展开代数代数代数代数余子式，余子式，余子式，余子式，行列式中行列式中行列式中行列式中它们的余子式它们的余子式它们的余子式它们的余子式 和和和和代数代数代数代数余子式余子式余子式余子式 不会改变不会改变不会改变不会改变等号等号等号等号左右两边左右两边左右两边左右两边的的的的a aj j1 1相相相相加加之和之和之和之和等于零等于零等于零等于零分别分别分别分别乘以乘以乘以乘以第第第第i i 行行行行第第第第j j 行行行行行列式行列式行列式行列式表示表示表示表示同一个数同一个数同一个数同一个数另一行另一行另一行另一行的的的的任一行任一行任一行任一行的的的的元素元素元素元素第第第第i i 列元素列元素列元素列元素第第第第j j 列代数余子式列代数余子式列代数余子式列代数余子式元素元素元素元素改变改变改变改变后，后，后，后，第第第第 j j 行行行行2525页页页页1 1（7 7）设设设设A Aij ij表示表示表示表示左边左边左边左边=0第第第第4 4列列列列的的的的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式或第或第或第或第4 4列列列列展开展开展开展开第第第第1 1列列列列的元素的元素的元素的元素元素元素元素元素a aij ij的的的的 代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式，则则则则分别乘以分别乘以分别乘以分别乘以2222页例页例页例页例7,287,28页页页页7 7（4 4）2828页页页页7(5)7(5)计算计算计算计算解解解解计算行列式的值计算行列式的值解解解解 按第一行展开按第一行展开按第一行展开按第一行展开原行列式原行列式原行列式原行列式=解法二解法二解法二解法二 第二第二第二第二行行行行乘以乘以乘以乘以a a加到第一加到第一加到第一加到第一行行行行原式原式原式原式=第二第二第二第二列列列列乘以乘以乘以乘以d d加到第三加到第三加到第三加到第三列列列列25页页1（6）设设 x1,x2,x3则则行列式行列式是是 x3+px+q=0的的三个根三个根，记记记记三、小节三、小节三、小节三、小节行列式行列式行列式行列式等于等于等于等于定理定理定理定理3 3 3 3推论推论推论推论那末该行列式那末该行列式那末该行列式那末该行列式等于等于等于等于代数余子式后，代数余子式后，代数余子式后，代数余子式后，相加相加相加相加之和之和之和之和等于等于等于等于零零零零第第第第i i行行行行中中中中另一行另一行另一行另一行的的的的代数代数代数代数余子式余子式余子式余子式，如果行列式的如果行列式的如果行列式的如果行列式的定理定理定理定理4 4 4 4a aij ij即即即即它的任一行的各元素它的任一行的各元素它的任一行的各元素它的任一行的各元素 分别分别分别分别乘以乘以乘以乘以它们它们它们它们的的的的再相加再相加再相加再相加之和之和之和之和只有元素只有元素只有元素只有元素a ai ij j不不不不等于等于等于等于零零零零,乘以乘以乘以乘以 它的它的它的它的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式，行列式行列式行列式行列式分别分别分别分别乘以乘以乘以乘以任一行任一行任一行任一行的的的的元素元素元素元素