2019版高中数学 第一章 导数及其应用 习题课 导数的应用学案 新人教A版选修2-2.doc

1习题课习题课 导数的应用导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)>0单调递增f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一 构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小例 1 已知定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且 sin x·f(x)>cos (0， 2)x·f(x)恒成立，则( )A.f >f B.f >f 2( 6)( 4)3( 6)( 3)C.f >2f D.f f(x)cos x，得f(x)sin xf(x)cos x>0，构造函数g(x)，fxsin x则g(x).fxsin xfxcos xsin2x当x时，g(x)>0，(0， 2)即函数g(x)在上单调递增，(0， 2)g0 时，xf(x)f(x)0.g(x)在(0，)上是减函数 f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选 C.反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练 2 已知定义在 R R 上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意的xR R 都有f(x)的解集为_lg x2 3考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (0,10)解析 f(x)，得f(lg x)>0，lg x2 3lg x2 3F(lg x)>F(1)F(x)在 R R 上单调递减，lg x0)a x22 xax22xa x2当a0 时，f(x)0 时，令g(x)ax22xa，函数f(x)在区间1，)上是单调函数，g(x)0 在区间1，)上恒成立，a在区间1，)上恒成立2x x21令u(x)，x1，)2x x21u(x)1，2x1x22x·1x当且仅当x1 时取等号a1.当a1 时，函数f(x)单调递增实数a的取值范围是(，01，)(2)由(1)可知：当a0 时，f(x)0)，f(x) 2x4，1 x2x24x1 x令f(x)>0，解得x>或xg(x) ；1 2(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是 3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点 导数在最值中的应用题点 已知最值求参数(1)解 当a1 时，f(x)2xln(2x)，f(x)2 ，x(0，e，1 x2x1 x当 00，此时f(x)单调递增1 2所以f(x)的极小值为f 1，(1 2)故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，f(x)的极小值为f 1，无极(0，1 2)(1 2，e(1 2)大值(2)证明 令h(x)g(x) ，1 2ln x x1 2h(x)，x(0，e，1ln x x2当 00，此时h(x)单调递增，所以h(x)maxh(e) g(x) .1 2(3)解 假设存在实数a，使f(x)2axln(2x)，x(0，e有最小值 3，f(x)2a ，x(0，e，1 x2ax1 x当a0 时，因为x(0，e，所以f(x)时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，1 2a1 2e(0，1 2a)(1 2a，e所以f(x)minf 1ln 3，(1 2a)1 a解得ae2，满足条件，7当e，即 01，当 00；当 1c时，f(x)>0.f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，)；单调递减区间为(1，c)(2)若c1，则f(x)极小值f(c)cln cc2c(1c)cln ccc20 恒成立2对任意的xR R，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是( )11A0a21 Ba0 或a7Ca21 Da0 或a21考点 利用导数研究函数的极值题点 极值存在性问题答案 A解析 f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即 0a21 时，f(x)0 恒成立，函数f(x)不存在极值点3若函数f(x)(x2ax1)ex1的一个极值点为x1，则f(x)的极大值为( )A1 B2e3C5e3 D1考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 C解析 由题意知f(1)0，解得a1，f(x)(x2x2)ex1，则函数的极值点为x12，x21，当x1 时，f(x)>0，函数是增函数，当x(2,1)时，函数是减函数，f(x)极大值f(2)5e3.4.已知定义在 R R 上的函数f(x)的图象如图，则x·f(x)>0 的解集为( )A(，0)(1,2) B(1,2)C(，1) D(，1)(2，)考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据单调性确定导数值的正负号答案 A解析 不等式x·f(x)>0 等价于当x>0 时，f(x)>0，即当x>0 时，函数单调递增，此时11f(x)，f(0)6，其中f(x)是f(x)的导函数，则不等式 exf(x)>ex5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(1，) D(3，)考点 利用导数研究函数的单调性13题点 构造法的应用答案 A解析 不等式 exf(x)>ex5 可化为 exf(x)ex5>0.设g(x)exf(x)ex5，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1>0，所以函数g(x)在定义域 R R 上单调递增又g(0)0，所以g(x)>0 的解集为(0，)二、填空题8函数f(x)x33axb(a>0)的极大值为 6，极小值为 2，则f(x)的单调递增区间为_考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 (，1)和(1，)解析 令f(x)3x23a0，得x±.a由题意得f()2，f()6，得a1，b4.aa由f(x)3x23>0，得f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)9已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)xsin x，设( 2，2)af(1)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 c2>1>3>0， 2所以f(2)>f(1)>f(3)即c0，得11 在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 1，)解析 由f(x)>1，得axln x>1，x>1，原不等式转化为a>，1ln x x设g(x)，得g(x)，ln x1 xln x x2当x(1，)时，g(x)在(1，)上恒成立，a1.1ln x x三、解答题12已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值考点 导数在最值问题中的应用题点 求函数的最值解 (1)f(x)3x26x9，令f(x)3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)>f(2)于是有 22a20，a2，f(x)x33x29x2.当x(1,3)时，f(x)>0，f(x)在1,2上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，15f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，f(1)13927，即f(x)的最小值为7.13已知函数f(x)x2aln x(aR R)1 2(1)若f(x)在x2 时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1 时，x2ln x0，所以当a4 时，x2 是一个极小值点，故a4.(2)解 因为f(x)x ，a xx2a x所以当a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a>0 时，f(x)x ，a xx2a xxaxax所以函数f(x)的单调递增区间为(，)；单调递减区间为(0，)aa(3)证明 设g(x)x3x2ln x，2 31 2则g(x)2x2x ，1 x因为当x>1 时，g(x)>0，x12x2x1x所以g(x)在x(1，)上是增函数，所以g(x)>g(1) >0，1 6所以当x>1 时，x2ln x0 时，有>0，则不xfxfxx2等式x2f(x)>0 的解集是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 求不等式的解集答案 (1,0)(1，)解析 令g(x)(x0)，fxx则g(x).xfxfxx2当x>0 时，>0，即g(x)>0，xfxfxx2g(x)在(0，)上为增函数又f(1)0，g(1)f(1)0，在(0，)上，g(x)>0 的解集为(1，)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在(，0)上，g(x)0，得f(x)>0(x0)又f(x)>0 的解集为(1,0)(1，)，不等式x2f(x)>0 的解集为(1,0)(1，)15设函数f(x)x3x22ax.1 31 2(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2 3，)(2)当 00，即a> .(2 3)(2 3)2 31 917即实数a的取值范围为.(1 9，)(2)已知 00，f(4)1642a2a120，1 31 21 6所以f(4) ×64 ×168a8a<0.1 31 240 3所以f(4)8a，即a1.40 316 3此时，由f(x0)xx020，2 0得x02 或1(舍去)，即f(x)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减所以函数 f(x)maxf(2).103