2019版高中数学 第一章变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修2-2.doc

11 11.11.1 变化率问题变化率问题 1 11.21.2 导数的概念导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)思考 1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案 自变量x的改变量为x2x1，记作 x，函数值的改变量为y2y1，记作 y.思考 2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案 对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度y xy2y1 x2x1梳理 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.y xfx2fx1x2x1(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率y xfx2fx1x2x1知识点二 瞬时速度思考 1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2.试求物体在1,1t这段时间内的平均速度答案 s5(1t)2510t5(t)2， 105t.vs t思考 2 当 t趋近于 0 时，思考 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？2答案 当 t趋近于 0 时，趋近于 10，这时的平均速度即为当t1 时的瞬时速度s t梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物体在t0到t0t这段时间内的平均速度为.如果 t无限趋近于 0 时，无限趋近于某个常数v，我们就s tst0tst0ts t说当 t趋近于 0 时，的极限是v，这时v就是物体在时刻tt0时的瞬时速度，即瞬时s t速度v limt0s t.limt0st0tst0t知识点三 函数在某点处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，我们称它为limx0y xlimx0fx0xfx0x函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或 0|x xy'，即f(x0) limx0y xlimx0.fx0xfx0x1在平均变化率中，函数值的增量为正值( × )2瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量( × )3函数yf(x)在xx0处的导数值与 x的正、负无关( )3类型一 函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例 1 求函数yf(x)x2在x1,2,3 附近的平均变化率，取 x都为 ，哪一点附近的平1 3均变化率最大？考点 变化问题与变化率题点 变化率大小的比较解 在x1 附近的平均变化率为k1f1xf1x1x21x2x；在x2 附近的平均变化率为k2f2xf2x2x222x4x；在x3 附近的平均变化率为k3f3xf3x3x232x6x.当 x 时，k12 ，1 31 37 3k24 ，k36 .1 313 31 319 3由于k1v乙Bv甲0)上的平均变化率不大于1，求 x的取值范围考点 平均变化率题点 平均变化率的应用解 函数f(x)在2,2x上的平均变化率为y xf2xf2x2x22x42x3x，由3x1，得 x2.又x>0，x的取值范围是(0，)13已知f(x)x2，g(x)x3，求适合f(x0)2g(x0)的x0的值15考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用解 由导数的定义知，f(x0) 2x0，limx0x0x2x2 0xg(x0) 3x.limx0x0x3x3 0x2 0因为f(x0)2g(x0)，所以 2x023x，即 3x2x020.2 02 0解得x0或x0.1 731 73四、探究与拓展14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx，y0，xt(t>0)围成的OAB的面积3为S(t)，则S(t)在t2 时的瞬时变化率是_考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 23解析 xt时，yt，B(t，t)，33则ABt，3S(t) ·OA·ABt·tt2，1 21 2332S(2) limt0S2tS2t 2.limt0322t22 3t315若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)sf(t)Error!求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1 时的瞬时速度16考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度解 (1)因为物体在t3,5内的时间变化量为t532，位移变化量为 s3×522(3×322)3×(5232)48，所以物体在t3,5内的平均速度为24 m/s.s t48 2(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0 时的瞬时速度因为物体在t0 附近位移的平均变化率为s tf0tf0t2930t32293032t3t18，所以物体在t0 处位移的瞬时变化率为 (3t18)18，limt0s tlimt0即物体的初速度v018 m/s.(3)物体在t1 时的瞬时速度即为物体在t1 处位移的瞬时变化率，因为物体在t1 附近位移的平均变化率为s tf1tf1t3t12，2931t32293132t所以物体在t1 处位移的瞬时变化率为 (3t12)12，limt0s tlimt0即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s.