高等数学 柱球面坐标.ppt

2 2、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：1 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面2如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为3解解知交线为知交线为4其中其中 为由为由例例2.计算三重积分计算三重积分所围所围解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面柱面柱面成半圆柱体成半圆柱体.5例例3.计算三重积分计算三重积分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成.与平面与平面其其中中 由抛物面由抛物面原式原式=6解解所围成的立体如图，所围成的立体如图，7所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，893 3、利用球面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分10规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面11球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，12球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，13球面坐标定限的一种方法：球面坐标定限的一种方法：将积分区域将积分区域 投影到投影到xoy平面上平面上,得域得域1.关于关于 的限的限按平面极坐标确定角按平面极坐标确定角 的范围。的范围。2.关于关于 的限的限对固定对固定 过过z轴有一半平面，这个轴有一半平面，这个按平面极坐标确定角按平面极坐标确定角 的范围。的范围。半平面与半平面与 相交，得域相交，得域 ，对，对143.关于关于 的限的限对固定对固定 和和 ，从原点，从原点出发作射线，这射线从出发作射线，这射线从 穿进域穿进域从从 穿出穿出 。分别是分别是 下限和上限。下限和上限。15161718解解:19亦可用柱面坐标：亦可用柱面坐标：20注：注：球面坐标系下三重积分化为三次积分球面坐标系下三重积分化为三次积分 总的说来定限不方便总的说来定限不方便一般仅当积分区域是球形域，一般仅当积分区域是球形域，或者上半部分是球面下半部分是定点在原点的锥面或者上半部分是球面下半部分是定点在原点的锥面才考虑采用球面坐标系来计算才考虑采用球面坐标系来计算一般情况下，柱坐标优先于球坐标考虑一般情况下，柱坐标优先于球坐标考虑一般的，当积分区域为圆柱形、扇形柱体或者圆环柱，一般的，当积分区域为圆柱形、扇形柱体或者圆环柱，可考虑用柱坐标法可考虑用柱坐标法锥锥 球球21利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的、被积函数在积分区域上的 关于三个变量的奇偶性关于三个变量的奇偶性22解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,23解解242526（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标小结27设由锥面和球面和球面所围成所围成,计算计算提示提示:利用对称性利用对称性用用球坐标球坐标 思考与练习思考与练习28计算计算或或29轮换对称性轮换对称性30