数理统计 (5).ppt

第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录1 1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布2 2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数3 3 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度4 4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1 1 随机变量随机变量第二章 随机变量及其分布例例 1 1 袋中有袋中有3 3只只黑黑球，球，2 2只只白白球，从中任意取出球，从中任意取出3 3只球我们将只球我们将3 3只黑球分别记作只黑球分别记作1 1，2 2，3 3号，号，2 2只白只白球分别记作球分别记作4 4，5 5号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为考察取出的考察取出的3 3只球中的只球中的黑球的个数。黑球的个数。退 出前一页后一页目 录我们记取出的我们记取出的黑球数为黑球数为X，则则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3因此，因此，X 是一个变量但是，是一个变量但是，X 取什么值依赖于取什么值依赖于试验结果，即试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：第二章 随机变量及其分布1 随机变量由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空是样本空间间S上的函数：上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如情况来刻划随机事件例如第二章 随机变量及其分布 表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；退 出前一页后一页目 录 例例 2 掷一枚骰子，掷一枚骰子，我们可以定义随机变量我们可以定义随机变量X表示出表示出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：如我们可以定义：第二章 随机变量及其分布1 随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的分布率与性质离散型随机变量的分布率与性质一些常用的离散型随机变量一些常用的离散型随机变量退 出前一页后一页目 录一、离散型随机变量的分布率与性质一、离散型随机变量的分布率与性质第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量1)离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，的取值是有限个或可列无穷个，则称则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量2)离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为并设并设则称上式或则称上式或为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的分布律的分布律退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量3)3)离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质:退 出前一页后一页目 录例例 1 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令X：取出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布律的分布律第二章 随机变量及其分布具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布律：的分布律：解：解：X 的可能取值为的可能取值为 5，6，7，8，9，10 并且并且=求分布率一定要说明求分布率一定要说明 k 的取值范围！的取值范围！退 出前一页后一页目 录例例 2将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令次，令第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量X：出现的正面次数与反面次数之差出现的正面次数与反面次数之差试求：试求：（1）X 的分布律；的分布律；解：解：X 的可能取值为的可能取值为-3，-1，1，3并且分布率为并且分布率为退 出前一页后一页目 录例例 3设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为解：解：由分布率的性质，得由分布率的性质，得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有所以所以退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过.以以 X 表示汽车首次表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律的分布律.(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3例例4=(1-p)3p退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布解：解：以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：Xpk 0 1 2 3 4 p或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4 例例 4(续续)(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 退 出前一页后一页目 录二、一些常用的离散型随机变量二、一些常用的离散型随机变量第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量1)Bernoulli分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为或或则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 Bernoulli分布分布退 出前一页后一页目 录Bernoulli分布也称作分布也称作 0-1 分布或二点分布分布或二点分布第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景分布的概率背景进行一次进行一次Bernoulli试验，试验，A是随机事件。设：是随机事件。设：设设X 表示这次表示这次Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次数发生的次数或者设或者设退 出前一页后一页目 录2 2）二）二 项项 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录分布律的验证分布律的验证 由于由于以及以及 n 为自然数，可知为自然数，可知 又由二项式定理，可知又由二项式定理，可知所以所以是分布律是分布律第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录10 p说 明显然，当显然，当 n=1 时时第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录二项分布的概率背景进行进行n重重 Bernoulli 试验，试验，A是随机事件。设在每次是随机事件。设在每次试验中试验中令令 X 表示表示这这 n 次次 Bernoulli 试验中事件试验中事件A发生的发生的次数次数第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录则则第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量说明：说明：所以所以退 出前一页后一页目 录设有设有 9 件产品，其中有件产品，其中有5 件次品，今从中件次品，今从中有放回有放回地任地任取取 3 件，问其中恰有件，问其中恰有2 次品次品的概率是多少的概率是多少?第一章 概率论抽样模型抽样模型练习：练习：从从52张扑克中有放回抽取张扑克中有放回抽取13张，用张，用X记其中记其中“A”的张数，写出的张数，写出X的分布列？的分布列？X X0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313P P0.30.353 53 0.30.383 83 0.10.191 91 0.00.058 58 0.00.012 12 0.00.002 02 0.00.000 00 0.00.000 00 0.00.000 00 0.00.000 00 0.00.000 00 0.00.000 00 0.00.000 00 0.00.000 00 例例5 对同一目标进行对同一目标进行400次独立射击，设每次射击时的次独立射击，设每次射击时的命中率均为命中率均为0.02，求至少击中，求至少击中2次的概率次的概率.则由题意则由题意第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量解：解：对目标进行对目标进行400次射击相当于做次射击相当于做400重重Bernoulli 试验令试验令X表示表示400次射击中命中的次数次射击中命中的次数,退 出前一页后一页目 录只要试验次数足够多只要试验次数足够多,小概率事件几乎肯定要发生小概率事件几乎肯定要发生.例例6 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对能答对4道题以上的概率是多少？道题以上的概率是多少？则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，退 出前一页后一页目 录所以所以第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例7 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1，现从中取，现从中取出出15件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率：B=取出的取出的15件产品中恰有件产品中恰有2件次品件次品 C=取出的取出的15件产品中至少有件产品中至少有2件次品件次品 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作件产品，故可近似看作是一是一15重重Bernoulli试验试验解：解：所以，所以，退 出前一页后一页目 录例例8 有有80台同类型设备，各台工作独立台同类型设备，各台工作独立,发生故障的概发生故障的概率为率为0.01,且一台设备的故障可由一人处理且一台设备的故障可由一人处理.考虑两考虑两种配备维修工的方式种配备维修工的方式:(1)配备配备4人人,每人负责每人负责20台台 (2)配备配备3人人,共同负责共同负责80台台.比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率.解解:X表示表示20台设备同时发生故障的台数台设备同时发生故障的台数,Ai(i=1,2,3,4)表示第表示第i人维护的人维护的20台设备发生台设备发生故障不能及时维修故障不能及时维修,则则(1)求求解解:Y表示表示80台设备同时发生故障的台数台设备同时发生故障的台数,(2)所以第二种方法效率更高所以第二种方法效率更高3）Poisson 分布分布如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为 则称随机变量则称随机变量 X 服从服从参数为参数为的的Poisson 分布分布第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录Poisson 分布的应用分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一分布是概率论中重要的分布之一自然界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布分布例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从一定条件下，都是服从Poisson分布的分布的第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录分布律的验证分布律的验证 由于由于可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k，有，有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量 又由幂级数的展开式，可知又由幂级数的展开式，可知所以所以是分布律是分布律退 出前一页后一页目 录0 l l第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为试确定未知常数试确定未知常数c.例例9由由分布率的性质有分布率的性质有解：解：退 出前一页后一页目 录例例 10 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson分布，分布，且已知且已知解：解：随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为由已知由已知第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录得得由此得方程由此得方程得解得解所以，所以，第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录Poisson 定理定理证明：证明：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录对于固定的对于固定的 k，有，有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量所以，所以，退 出前一页后一页目 录PoissonPoisson定理的应用定理的应用由由 Poisson 定理，可知定理，可知第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录例例 11设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击，现射击600次，次，求至少命中求至少命中3次目标的概率（用次目标的概率（用Poisson分布近似计算）分布近似计算）第二章 随机变量及其分布解：解：退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 12 某车间有某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的台车床独立地工作着，发生故障的概率都是概率都是 0.01.在通常情况下，一台车床的故障可由一个在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当车床发问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01？解：解：设需配备设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台人，记同一时刻发生故障的设备台数为数为 X，则则 X b(100，0.01），取值，使得：取值，使得：需要确定最小的需要确定最小的 N 的的退 出前一页后一页目 录查表可知，满足上式的最小的查表可知，满足上式的最小的 N 是是 4,因此至少需配因此至少需配备备 4 个工人。个工人。第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 12（续）（续）退 出前一页后一页目 录4 4）几）几 何何 分分 布布若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录几何分布的概率背景在在Bernoulli试验中，试验中，试验进行到试验进行到 A 首次出现为止首次出现为止第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量即即退 出前一页后一页目 录例例13对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为为0.64，射击进行到击中目标时为止，令，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数所需射击次数 试求随机变量试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行的分布律，并求至少进行2次射击次射击才能击中目标的概率才能击中目标的概率解：解：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录64.036.01.=-n 22=XPP次才命中次才命中至少命中至少命中36.0136.064.0-.=-.=2164.036.0kk36.0=()L,2,1=n5 5）超）超 几几 何何 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录超几何分布的概率背景 一批产品有一批产品有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品，其余件次品，其余 N-M 件为正品现从中取出件为正品现从中取出 n 件件 令令 X：取出取出 n 件产品中的次品数件产品中的次品数 则则 X 的分的分 布律为布律为2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录设有设有 9 件产品，其中有件产品，其中有5 件次品，今从中件次品，今从中不放回不放回地任地任 取取 3 件，问其中恰有件，问其中恰有2 次品次品的概率是多少的概率是多少?第一章 概率论抽样模型抽样模型练习：练习：从从52张扑克中无放回抽取张扑克中无放回抽取13张，用张，用X记其中记其中A的张数，写出的张数，写出X的分布列？的分布列？第一章 概率论作业作业:(4版版)55页页 2,6,8;12,15(3版版)69页页 1,2,6,8;12,13 退 出前一页后一页第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量目 录