2019年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理优化练习1-2.doc

12.1.12.1.1 合情推理合情推理课时作业A 组 基础巩固1观察下列各式：7249,73343,742401，则 72 015的末两位数字为( )A01 B43C07 D49解析：因为 717,7249,73343,742 401,7516 807，76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T4.又 2 0154×5033，所以 72 015的末两位数字与 73的末两位数字相同，为 43.答案：B2下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°；张军某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分；三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 540°，由此得凸多边形内角和是(n2)·180°.A B C D解析：是类比推理；是归纳推理；是归纳推理所以、是合情推理答案：C3已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为( )Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a92×9 Da1a2a92×9解析：等比数列中积等差数列中的和类比a1a2a92×9.答案：D4定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应 4 个图形：2那么 4 个图表中，可以表示A*D，A*C的分别是( )A(1)，(2) B(1)，(3)C(2)，(4) D(1)，(4)解析：由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4)答案：C5n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从 2 015 到 2 017 箭头的方向依次为( )A BC D解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列，由可知从2 015 到 2 017 为，故应选 D.答案：D6把 1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_解析：观察知第n个三角形数为 123n，nn1 23第 7 个三角形数为28.7 × 71 2答案：287在平面上，若两个正三角形的边长比为 12.则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_解析：· × .V1 V21 3S1h1 1 3S2h2S1 S2h1 h21 41 21 8答案：188设函数f(x)(x>0)，x x2观察：f1(x)f(x)，x x2f2(x)f(f1(x)，x 3x4f3(x)f(f2(x)，x 7x8f4(x)f(f3(x)，x 15x16根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中x的系数为 2n1，故fn(x).x 2n1x2n答案：x 2n1x2n9在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2” ，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直侧面垂直类比直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积” ，因此类比的结论是：“设三棱锥A­BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则SSS2ABC2ACDS” 2ADB2BCD10已知数列an的第 1 项a11，且an1(n1,2，)，试归纳出这个数列的通an 1an项公式解析：当n1 时，a114当n2 时，a2 ；1 111 2当n3 时，a3 ；1 21121 3当n4 时，a4 .1 31131 4观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：an (n1,2，)1 nB 组 能力提升1已知数列an满足an1anan1(n2)，a1a，a2b，设Sna1a2an，则下列结论正确的是( )Aa100a，S1002baBa100b，S1002baC a100b，S100baDa100a，S100ba解析：a1a，a2b，a3ba，a4a，a5b，a6ab.且a7a6a5a，a8b，数列an具有周期性，周期为 6，且S60则a100a4a，S100S42ba.答案：A2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等A BC D解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而违背了这一原则，只有符合答案：B53已知x>0，由不等式x 22，x 33，我们可1 xx·1x4 x2x 2x 24 x23x 2·x 2·4 x2以得出推广结论：xn1(nN*)，则a_.a xn解析：由观察可得：xnx xx n nn 个式子(n1)·(n1)·a xna xnn1x n·x n·x n·a xnn1，则ann.n1a nn答案：nn4已知经过计算和验证有下列正确的不等式：<2，<2，317107.512.510<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条8 212 210件不等式_解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20，不等式的右边都是 2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，nR，则当mn2010时，有<2.mn10答案：若m，nR，则当mn20 时，有<2mn105观察下列等式：sin210°cos240°sin 10°cos 40° ；3 4sin26°cos236°sin 6°cos 36° .3 4由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解析：由知，两角相差 30°，运算结果为 ，3 4猜想：sin2cos2(30°)sin cos(30°) .3 4证明：左边1cos 2 21cos260° 2sin cos(30°)1cos 2 2cos 2cos 60°sin 2sin 60° 2sin (32cos sin 2)1 cos 2 cos 2sin 2sin 2 右边1 21 434341cos 2 43 46故 sin2cos2(30°)sin cos(30°) .3 46已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1 写出具有类似的性质，并加以证明x2 a2y2 b2解析：类似的性质为：若M、N是双曲线1 上关于原点对称的两个点，点P是双曲x2 a2y2 b2线上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)、(x，y)，则N(m，n)点M(m，n)在已知双曲线上，n2m2b2.同理y2x2b2.b2 a2b2 a2则 kPM·kPN··(定值).ynxmynxmy2n2x 2m2b2a2x2m2x2m2b2a2