高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课堂导学案新人.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.2.2 同角三角函数的基本关系课堂导学三点剖析1.同角三角函数基本关系式【例 1】已知 cos=-53,求 sin、tan.思路分析：先确定 的象限，再求与cos 具有平方关系的sin 的值，然后利用商数关系求出 tan.解：cos=-530,为第二、三象限角.当 为第二象限角时，sin=54)53(1cos122,tan=34cossin.当 为第三象限角时，sin=2cos1=54)53(12,tan=34cossin.温馨提示已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：（1）角所在的象限；（2）用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；（3）用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan=cossin代入 sin、cos 的值即可求得 tan.2同角三角函数基本关系的应用【例 2】已知 cos=m(|m|1),求 sin、tan 的值.思路分析：因 的范围未定，故应分类讨论.解：（1）当 m=0时，的终边落在y 轴上.若 的终边落在y 轴的正半轴时，sin=1,tan 不存在；若 角的终边落在y 轴的负半轴时，sin=-1,tan 不存在.(2)当 m=1 时，的终边落在x 轴上，此时，sin=0,tan =0.(3)当|m|1 且 m 0 时.sin2=1-cos2=1-m2.当 在第一、二象限时，sin =21m,从而 tan=mm21cossin.当 在第三、四象限时，sin =-21m,从而 tan=mm21cossin.温馨提示(1)确定角 的范围是为了确定三角函数值的符号.若要对角的范围进行讨论，终边在坐标小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学轴上的情况要单独讨论.(2)此类型题目可分为三种情况.已知一个角的某个三角函数值，又已知角所在的象限，有一解.已知一个角的某个三角函数值，没告知角所在的象限有两解.已知角的一个三角函数值用字母表示时，分类讨论的根据主要是按所求的那些三角函数来区分象限.3.同角三角函数基本关系式成立的条件【例 3】已知：sin=53mm,cos=524mm,其中2,求 m的值.错解：sin2+cos2=1,22)524()53(mmmm=1.解得 m1=0,m2=8,这就是所求的m的值.错因分析：本题对 还有限制2,因此 sin 和 cos 的正负就有限制，对m的取值必然产生影响.正解：因2,则 sin 0,cos 0.显然，当m=0时不符合条件，故m=8.温馨提示（1）运用商数关系时，注意公式的适用范围;（2）运用平方关系时，注意符号的选择.各个击破类题演练1已知 sin=54,(0,),则 tan 的值等于（）A.34 B.43C.43D.34解析：由 sin=54,(0,),cos=53,tan=34.答案：D 变式提升1已知 3sin-2cos=0,求下列各式的值.(1);sincossincossincossincos(2)sin2-2sin cos+4cos2.(1)解：3sin -2cos =0,tan=32.sincossincossincossincos小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学=526321321321321tan1tan1tan1tan1.(2)sin2-2sin cos+4cos2=2222cossincos4cossin2sin=.1328194434941tan4tan2tan22类题演练2已知 5sin+12cos=0,求sin32cos9sin的值.解：由 5sin+12cos=0,得 tan=512 0，故 角在第二或第四象限.当 在第二象限时，cos=135tan112;当 在第四象限时，cos=135tan11.则原式=1033costan32cos)9(tan或6233.变式提升2已知 sin+cos=51,(0,),求值（1）tan ;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.解：sin+cos=51(0,),平方,得sin cos=2512 0,sin0,cos 0,sin,cos 是方程 x2-15x2512=0 的两根.解方程得：x1=54,x2=-53,sin=54,cos =-53,（1）tan=34,（2）sin-cos=57,（3）sin3+cos3=12537.类题演练3小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学若 为第二象限角，则tan 0,tan=cossin以上命题是真命题吗？解析：同角三角函数基本关系式对定义域内的任意角都成立.在第二象限时，sin 0,cos 0 故 tan=cossin.答案：不是变式提升3已知：tan =2.求证：)5353(log2=lg2-lgcos2.证明：由于tan=2,cossin=2.即 sin2=4cos2,1-cos2=4cos2,cos2=51.lg2-lgcos2=lg2-lg51=lg2+lg5=1.而)5353(log2=log2(5353)2=log2(3+5+3-5-259)=log22=1.原式成立.