2019高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值作业 苏教版选修1-1.doc

13.3.23.3.2 极大值与极小值极大值与极小值基础达标 1函数f(x)x312x的极大值与极小值之和为_ 解析：函数的定义域为 R R，f(x)3x212，令f(x)0，解得x12 或x22. 列表： x(，2)2(2,2)2(2，) f(x)00 f(x)极大值 16极小值16当x2 时，函数有极大值f(2)16.当x2 时，函数有极小值f(2)16. 极大值与极小值之和为f(2)f(2)0. 答案：02设函数f(x) ln x，则下列结论正确的是_2 xx 为f(x)的极大值点；1 2x 为f(x)的极小值点；1 2 x2 为f(x)的极大值点； x2 为f(x)的极小值点解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x) ，当x2 时，f(x)2 x21 xx2 x2 0 时；当x>2 时，f(x)>0 时，函数f(x)为增函数；当 00)有极大值 9，则m的值是 _解析：由f(x)3x22mxm2(xm)(3xm)0，得xm或xm，1 3 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，m)m(m，1 3m)m1 3(1 3m，) f(x)00 f(x)极大值极小值2从而可知，当xm时，函数f(x)取得极大值 9， 即f(m)m3m3m319， m2. 答案：2 5函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数yf(x)在(a，b)内的图象如图所示，则 函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是_解析：函数在xx0处取得极值必须满足两个条件： x0为f(x)0 的根；导数值在x0左右异号所以，有 3 个极值点 答案：3 6如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间(3， )内单调递增；1 2函数yf(x)在区间( ，3)内单调递减；1 2 函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增； 当x2 时，函数yf(x)有极小值；当x 时，函数yf(x)有极大值1 2 则上述判断正确的是_(填序号) 解析：当x(，2)时，f(x)1 时，f(x)>0，当10，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值 点 当a>0 时，由f(x)0 得x±.a 当x(，)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；a 当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增a 此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点aa 能力提升 1(2014·苏州检测)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取 值范围是_ 解析：由f(x)3x26b0，得x±(b>0)，2b f(x)在(0,1)内有极小值，00 即 ln>01 a(3 a)1 a(3 a) 结合a0； 当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于 0 时，有极小值小于 0， 此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点， 即方程f(x)0 恰好有两个实数根， 所以a20，a2，如图(1)当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0 恰好有两个实数根，所以a20，a2.如图 (2) 综上，当a2 或a2 时方程恰好有两个实数根4(创新题)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 21 且x>0 时，ex>x22ax1. 解：(1)由f(x)ex2x2a，xR R 知 f(x)ex2，xR R. 令f(x)0，得xln 2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，ln 2)ln 2(ln 2，) f(x)0f(x)单调递减 极小值 2(1ln 2a)单调递增 故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)， f(x)在xln 2 处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a) (2)证明：设g(x)exx22ax1，xR R. 于是g(x)ex2x2a，xR R. 由(1)知当a>ln 21 时，g(x)取最小值为g(ln 2) 2(1ln 2a)>0. 于是对任意xR R，都有g(x)>0， 所以g(x)在 R R 内单调递增 于是当a>ln 21 时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0. 即 exx22ax1>0，故 ex>x22ax1.