2019高中数学 第2章 推理与证明章末复习提升练习 苏教版选修1-2.doc

- 1 -第第 2 2 章章 推理与证明推理与证明1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.题型一 归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理” ，其正确性都有待严格证明尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的在解决问题时，- 2 -可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证例 1 观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.答案 123解析 记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN N*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.跟踪演练 1 给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与 sin()类比，则有 sin()sinsin；(ab)2a22abb2与(a ab b)2类比，则有(a ab b)2a a22a a·b bb b2.其中正确结论的个数是_答案 1解析 (ab)nanbn(n1，a·b0)，故错误sin()sinsin不恒成立如30°，60°，sin90°1，sin30°·sin60°，故错误34由向量的运算公式知正确题型二 直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用例 2 已知a>0，求证：a 2.a21 a221 a证明 要证a 2，a21 a221 a只需证2a .a21 a21 a2a>0，故只需证22，(a21 a22)(a1 a 2)即a244a2222，1 a2a21 a21 a22(a1 a)- 3 -从而只需证 2，a21 a22(a1 a)只要证 42，(a21 a2)(a221 a2)即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1 a2跟踪演练 2 如图，在四面体BACD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.证明 (1)要证直线EF平面ACD，只需证EFAD且EF平面ACD.因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是ABD的中位线，所以EFAD，所以直线EF平面ACD.(2)要证平面EFC平面BCD，只需证BD平面EFC，只需证Error!因为Error!所以EFBD.又因为CBCD，F为BD的中点，所以CFBD.所以平面EFC平面BCD.题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题例 3 已知二次函数f(x)ax2bxc(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且 00.(1)证明： 是函数f(x)的一个零点；1 a(2)试用反证法证明 >c.1 a- 4 -证明 (1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0 有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0 的根，又x1x2 ，x2 ( c)，c a1 a1 a 是f(x)0 的一个根1 a即 是函数f(x)的一个零点1 a(2)假设 0，由 00，1 a1 a知f( )>0 与f( )0 矛盾， c，1 a1 a1 a又 c， >c.1 a1 a跟踪演练 3 若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求 2 3 6证：a，b，c中至少有一个大于 0.证明 假设a，b，c都不大于 0，即a0，b0，c0，则abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1) 2 3 62(z1)23.30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，这与abc0 矛盾，因此假设不成立，a，b，c中至少有一个大于 0.1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某属性，结论：dM，d也具有某属性(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a，b，c；结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同)2使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立- 5 -至少有n个至多有n1 个p或qp且q至多有n个n1 个p且qp或q