2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1.doc

12.12.1 曲线与方程曲线与方程2.1.12.1.1 曲线与方程曲线与方程2.1.22.1.2 求曲线的方程求曲线的方程学习目标：1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程(难点)自 主 预 习·探 新 知1曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，会出现什么情况？举例说明(2)如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示 (1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y表示的曲1x2线是半圆，而非整圆(2)充要条件是f(x0，y0)0.2求曲线方程的步骤基础自测1思考辨析(1)若点P的坐标是方程f(x，y)0 的解，则点P在方程f(x，y)0 的曲线上( )(2)单位圆上的点的坐标是方程x2y21 的解( )2(3)方程y 与方程y (x>0)是同一条曲线的方程( )1 x1 x答案 (1) (2)× (3)×2已知直线l：xy30 及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)( )A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上B B 将点M的坐标代入直线l，曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上3到两坐标轴距离之和为 4 的点M的轨迹方程为( ) 【导学号：46342051】Axy4 Bxy4C|xy|4D|x|y|4D D 点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为|x|和|y|，故选 D.合 作 探 究·攻 重 难曲线与方程的概念(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0 的解”是正确的，下列命题中正确的是 ( )A方程f(x，y)0 的曲线是CB方程f(x，y)0 的曲线不一定是CCf(x，y)0 是曲线C的方程D以方程f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线C上(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2 之间的关系；到两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程xy5 之间的关系；第二、四象限角平分线上的点与方程xy0 之间的关系解析 (1)根据方程的曲线和曲线的方程的定义知 A、C、D 错答案 (1)B(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解，但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此|x|2 不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程到两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此到两坐标轴的距离的积等于 5 的点3的轨迹方程不是xy5.第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足xy0，反之，以方程xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是xy0.规律方法 1.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可2判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程跟踪训练1(1)已知坐标满足方程f(x，y)0 的点都在曲线C上，那么( ) 【导学号：46342052】A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0B凡坐标不适合f(x，y)0 的点都不在曲线C上C不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)0D不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0C C 根据曲线的方程的定义知，选 C(2)已知方程x2(y1)210.判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；2若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值(m 2，m)解 因为 12(21)210，()2(31)2610，2所以点P(1，2)在方程x2(y1)210 表示的曲线上，点Q(，3)不在方程2x2(y1)210 表示的曲线上因为点M在方程x2(y1)210 表示的曲线上，(m 2，m)所以x ，ym适合方程x2(y1)210，m 2即(m1)210.(m 2)2解得m2 或m.18 5故实数m的值为 2 或.18 5用直接法(定义法)求曲线方程探究问题41求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？提示：只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等2在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？提示：根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解” ，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上” ，故应说明在 RtABC中，斜边长是定长 2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程. 【导学号：46342053】思路探究 以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC|2|BC|2|AB|2求解法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上解 法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)由于|AC|2|BC|2|AB|2，所以()2()24a2，整理得x2y2a2.(xa)2y2(xa)2y2由于当x±a时，点C与A或B重合，故x±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2y2a2(x±a)法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一因为ACBC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2y2a2(x±a)母题探究：1.(变条件)若本例题改为“一个动点P到直线x8 的距离是它到点A(2,0)的距离的 2 倍求动点P的轨迹方程如何求解？”解 设P(x，y)，则|8x|2|PA|.则|8x|2，(x2)2(y0)2化简，得 3x24y248，故动点P的轨迹方程为 3x24y248.52(变条件)若本例题改为“已知圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程 ”如何求解？解 如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ，设M为OC的中点，则M的坐标为.(1 2，0)OPC90°，动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，(1 2，0)由圆的方程得2y2 (0<x1)(x1 2)1 4规律方法 1.直接法求曲线方程直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少2定义法求曲线方程如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.代入法求轨迹方程已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程OQOMON解 设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0)因为，OQOMON即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0 .y 2又点M在圆C上，所以xy4，即x24.2 02 0y2 4所以，动点Q的轨迹方程是1.x2 4y2 166规律方法 代入法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程跟踪训练2已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21 上移动，求ABC的重心的轨迹方程解 设ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得Error!Error!代入y13x1，得 3y23(3x2)21.2 1y9x212x3 即为所求轨迹方程当 堂 达 标·固 双 基1若点M(m，m)在曲线xy20 上，则m的值为( )A0 B1 C1 或 0 D0 或 1D D 由题意知mm20，解得m0 或m1，故选 D.2在直角坐标系中，方程|x|·y1 的曲线是( ) 【导学号：46342054】C C 当x0 时，方程为xy1，y0，故在第一象限有一支图象；当x0 时，方程为xy1，y0，故在第二象限有一支图象3已知等腰三角形ABC底边两端点是A(，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是( )33A一条直线B一条直线去掉一点C一个点D两个点B B 由题意知|AC|BC|，则顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(除去线段AB的中点)，故选 B.4已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P满足·4，则点P的轨迹方程为PMPN_7x2y28 设点P的坐标为P(x，y)，由·(2x，y)·(2x，y)PMPNx24y24，得x2y28，则点P的轨迹方程为x2y28.5动点M与距离为 2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于 ，求动点M的轨迹1 2方程. 【导学号：46342055】解 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA，kMB(x±a)y xay xakMA·kMB ，1 2· ，y xay xa1 2化简得：x22y2a2(x±a)点 M 的轨迹方程为 x22y2a2(x±a)