（江苏专用）2018-2019学年高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 苏教版选修1-1.doc

1章末综合测评章末综合测评( (二二) ) 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程(时间 120 分钟，满分 160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在题中横线上)1双曲线1 的两条渐近线的方程为_x2 16y2 9【解析】 由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为y±x.3 4【答案】 y±x3 42若双曲线x21 的离心率为，则实数m_. y2 m3【导学号：95902166】【解析】 a21，b2m，c21m，e ，求得m2.c a1m13【答案】 23若方程1 表示椭圆，则k的取值范围为_x2 5ky2 k3【解析】 由题意可知Error!解得 3k5 且k4.【答案】 (3,4)(4,5)4以y3 为准线的抛物线的标准方程为_【解析】 设抛物线的标准方程为x22py(p0)，则 3，p6，则抛物线方p 2程为x212y.【答案】 x212y5抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1，则p_. 【导学号：95902167】【解析】 依题意，点Q为坐标原点，所以 1，即p2.p 2【答案】 26椭圆1 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则x2 9y2 2PF2_，F1PF2的大小为_【解析】 由椭圆的定义知PF1PF22a2×36，因为PF14，所以PF22.在PF1F2中，cosF1PF2 ，F1PF2120°.PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1PF21 2【答案】 2 120°27已知A(0，1)、B(0,1)两点，ABC的周长为 6，则ABC的顶点C的轨迹方程是_【解析】 2cAB2，c1，CACB6242a，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)因此，顶点C的轨迹方程1(y±2)y2 4x2 3【答案】 1(y±2)y2 4x2 38已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆x2 a2y2 b2(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_【解析】 由双曲线的渐近线bxay0 与圆(x2)2y23 相切得，2ba2b23由c2，解得a1，b.a2b23【答案】 x21y2 39在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y28x的焦点恰好是双曲线1 的x2 a2y2 3右焦点，则双曲线的离心率为_. 【导学号：95902168】【解析】 抛物线y28x的焦点为(2,0)，则双曲线1 的右焦点为(2,0)，即x2 a2y2 3有c2，则a1，故双曲线的离心率为e 2.a23c a【答案】 210已知抛物线C：x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共1 2点，则实数t的取值范围是_【解析】 显然t0，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程得4 t2tx24xt0.由题意168t2.22【答案】 (，)(，)2211若点O和点F分别为椭圆1 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，x2 4y2 3则·的最大值为_OPFP【解析】 椭圆的左焦点F为(1,0)，设P(x，y)，3·(x，y)·(x1，y)x(x1)y2x2x3 (x2)22OPFP1 41 42x2，当x2 时，·有最大值 6.OPFP【答案】 612一动圆与两圆：x2y21 和x2y26x50 都外切，则动圆圆心的轨迹为_. 【导学号：95902169】【解析】 x2y21 是以原点为圆心，半径为 1 的圆，x2y26x50 化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为 2 的圆设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则Error!PAPO1AO3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支【答案】 双曲线的一支13.如图 1，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，直线x2 a2y2 b2y 与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是 _. b 2【导学号：95902170】图 1【解析】 将y 代入椭圆的标准方程，得1，b 2x2 a2b2 4 b2所以x±a，故B，C.32(32a，b2)(32a，b2)又因为F(c,0)，所以，.BF(c32a，b2)CF(c32a，b2)因为BFC90°，所以·0，BFCF4所以0，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，(c32a)(c32a)(b 2)23 41 4得a2c2，所以e2 ，所以e(负值舍去)3 2c2 a22 363【答案】 6314已知直线yk(x2)(k>0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA2FB，则k_.【解析】 过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF，又2FBFA，AA12BB1，即B为AC的中点从而yA2yB，联立方程组Error!消去x得y2y160，8 kError!Error!，消去yB得k.2 23【答案】 2 23二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：1(a>0，b>0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M.x2 a2y2 b2(2 3，2 63)(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；(2)求双曲线C2的方程及离心率e. 【导学号：95902171】【解】 设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为图象过点M，(2 3，2 63)则有2p× ，所以p2，则抛物线C1的方程为y24x，焦点F的坐标为(2 63)22 3(1,0)(2)由双曲线C2过点M以及焦点为(1,0)和(1,0)，由双曲线的定义可知(2 3，2 63)2a ，所以a ，b2 ，2 31 38 95所以双曲线C2的方程为 9x2y21，离心率e3.9 816(本小题满分 14 分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 2.一双曲线13和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的方程【解】 焦点在x轴上，椭圆为1(a>b>0)，且c.x2 a2y2 b213设双曲线为 1(m>0，n>0)，ma4.因为 ，所以 ，解得x2 m2y2 n2e双 e椭7 3a m7 3a7，m3.因为椭圆和双曲线的焦半距为，所以b236，n24.13所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.x2 49y2 36x2 9y2 4焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.x2 36y2 49y2 9x2 417(本小题满分 14 分)如图 2 所示，已知斜率为 1 的直线l过椭圆y21 的右焦x2 4点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. 【导学号：95902172】图 2【解】 设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，33化简整理，得 5x28x80.所以x1x2，x1x2 .38 358 5所以AB|x1x2| ·×1k21k2x1x224x1x22 .8 324 × 5 × 858 518(本小题满分 16 分)如图 3，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭x2 a2y2 b222圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为 4(1)，一等轴双曲线的2顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.6图 3(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知， ，2a2c4(1)，所以a2c a222，c2.2又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.x2 8y2 4由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的x2 m2y2 m2焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.x2 4y2 4(2)证明：设P(x0，y0)，则k1，k2.y0 x02y0 x02因为点P在双曲线x2y24 上，所以xy4.2 02 0因此k1k2·1，即k1k21.y0 x02y0 x02y2 0 x2 0419(本小题满分 16 分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21 上，过M作xx2 2轴的垂线，垂足为N，点P满足.NP2NM(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3 上，且·1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的OPPQ左焦点F. 【导学号：95902173】【解】 (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)NPNM由得x0x，y0y.NP2NM22因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以1.x2 2y2 2因此点P的轨迹方程为x2y22.7(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，OQ(1m，n)，PF·33mtn，OQPF(m，n)，(3m，tn)OPPQ由·1 得3mm2tnn21，OPPQ又由(1)知m2n22，故 33mtn0.所以·0，即.OQPFOQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20(本小题满分 16 分)设椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点x2 a2y2 b2为A，上顶点为B.已知ABF1F2.32(1)求椭圆的离心率(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF22.求椭圆的方程2【解】 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由ABF1F2，可得a2b23c2，32又b2a2c2，则 .所以椭圆的离心率e.c2 a21 222(2)由(1)知a22c2，b2c2，故椭圆方程为1.x2 2c2y2 c2设P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)，F1PF1B由已知，有·0，即(x0c)cy0c0.F1PF1B又c0，故有x0y0c0. 因为点P在椭圆上，故1. x2 0 2c2y2 0 c2由和可得 3x4cx00，而点P不是椭圆的顶点，故x0，代入得2 04c 3y0 ，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c 3(4c 3，c3)4c3022 3c，c 3c 22 38进而圆的半径rc.由已知，有TFMFr2，又x102y1c2532 22 2MF22，2故有8 c2.解得 c23.所以所求椭圆的方程为1.(c2c3)2(02c3)259x26y23