分式运算中的技巧与方法.doc

分式运算中的技巧与方法分式运算中的技巧与方法通分一、 整体通分法 将后两项看作一个整体,则可以整体通分，简捷求解例1化简：a1=-(a+1)= =二、 逐项通分法 -=-=- =0 = = 分组计算技巧 +-=()+(）=+= = 三、 先约分,后通分 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值 + =+=+=2 + =+ =+= = = = =1四、化简：分子分母次数，先化简 -=- =1+1- =-= 裂项相消技巧 利用 =（）+=（-）+(）+(= = = 。= = =求证: 把未知数当成已知数法1、已知3a-4b-c=0，2a+b8c=0，计算： 解：把c当作已知数，用c表示a,b 得，a=3c， b=2c =。2、若 设值代入1、已知，求证：【解析】这道题也可以用字母代入法,可以得到，,代入后分式的分子分母中有分式,化简麻烦。当遇到连等式,可以采用以下三种方式来运用这个条件设 则(1）, （2）设 则x=ak y=bk z=ck （3)设 则 其中则 x=ak y=bk z=ck 代入得 =2、 已知= = ，计算：解：设= = =k，则b+c=ak；a+c=bk;a+b=ck；把这3个等式相加得2(a+b+c)= （a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= c, 又a+c=bk 则k= 1 若a+b+c0，则k=2,=k3所以当k=1时，原式= -1 / 当k=2时，原式= 83、若 K=4,x=4,y=3，z=7 巧用x+：对于含有x+的式子,要注意： 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。解:由x23x+1=0，两边同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）22=322=7 已知a25a+1=0，计算a4+如果，且，求y值 y=3 或y=2 巧用倒数 如果m0，n0，mn，mxn,那么他们的倒数关系，1、已知a23a+1=0，求的值。 解：由已知得a+=3所以=a2+=（a+)22=322=7=2、已知a23a+1=0，求的值。3、设，求s的整数部分. 设 所以1994、解方程组 三式相加A+B+C= 5、已知+=，+=，+=，求的值。 =6、 比较大小：求证巧用因式分解例1已知a+b+c=0,计算+解:a+b+c=0, a=b-c，b=a-c,c=ab 2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a（-b-c)+bc=（ab)(a-c)同理可得2b2+ac=(b-c）（ba)，2c2+ab=(c-a）（c-b）+=+=+=1例2已知+=4，则= 。 解：解法1：通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。 由已知得=4 a+b=4ab = 解法2: 还可以将所求式分子、分母同除以ab得到=然后将已知式代入求值。 整体代入法1、已知+=5求的值解法1:+=5xy0，.所以分子分母同÷xy = 解法2:由+=5得,=5， x+y=5xy =2、若分式的值为，则的值为（ ）解:由已知=得2y2+3y+7=8 2y2+3y=1，4y2+6y=2所以=13、已知 =5x+4由已知得x1,2=代入后 4、已知5、证明：若a+b+c=0，则 用a=b-c代入中的a,得到-2bc 用b=-a-c代入中的b，得到-2ac 原式= 用c=ab代入中的c，得到-2ab 6、已知:xyz0,x+y+z=0,计算+ +=-3.7、已知 b=a+1，c=a+2,d=a+3，求的值.【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替：a=a，b=a+1,c=a+2,d=a+3= = = = =1、先化简代数式÷，然后选取一个合适的值，代入求值.解析：本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”，解题时必须明确“合适"在题中的含义，即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=.由题知,的值不能取2和-2，所以当=0时,原式=4.2、在解题目：“当时，求代数式的值”时,聪聪认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果你认为他说的有理吗？请说明理由解:聪聪说的有理 只要使原式有意义,无论取何值,原式的值都相同，为常数1说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式,然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题。3、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题 若 的值为，求的值 解：=+ += 由= 解得 经检验是方程的根, 4、错在以偏概全 为何值时，分式 有意义？错解当，得.当,原分式有意义.解析上述解法中只考虑分母 ，没有注意整个分母， 犯了以偏概全的错误。正解 ，得，由，得。当且时，原分式有意义.5、错在计算去分母 计算.错解原式=.解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换,不能去分母，。正解原式。6、已知：，求分式的值。【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式,得 ，再将分式稍化简变为,可以发现分子分母中只有(a-b）和ab这两项,所以可以用ab代替b-a 7、已知a+b+c=0，a+2b+3c=0，且abc0，求的值。 这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组 a+b+c=0 b=-2c =a+2b+3c=0 a=c/8、已知：，求的值。【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式 其中 所以=0 =0得再带入原式很容易求出解。 已知求证/9、【解析】已知条件是的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将改写成的形式，使得x、y相互独立，简化已知条件.写出变化后的形式，= 所以=则，得证。/10、已知，且a、b、c互不相等,求证：【解析】已知条件有三个字母，两个方程,若用a表示b、c,能不能求出b、c的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。这道题条件形式不复杂,分为整式和分式,将整式,分式归类：，可以发现分式形式大致消失了,剩下的是加减形式（ab)、(b-c）和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来左边和左边相乘，右边和右边相乘,所以11、 三元平方公式 原式=112、abc=1,求 原式=113、已知 13 ，求