2021-2022学年山东省潍坊市部分县市高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年山东省潍坊市部分县市高二下学期期中数学试题 一、单选题 1已知数列 na的通项公式是21nan，则122是该数列的（）A第 9 项 B第 10 项 C第 11 项 D第 12 项【答案】C【分析】解方程122na 即可得【详解】由21122nan 得11n（11舍去）故选：C 2设函数 e cosxfxx，则 fx等于（）Ae cosxx Be sinxx Cecossinxxx Decossinxxx【答案】D【分析】由导数的运算法则计算可得【详解】由已知()(e)cose(cos)e cose sinxxxxf xxxxx，故选：D 3已知离散型随机变量X的分布列如下表：X 0 1 2 3 P 13 112 a 16 若离散型随机变量21YX，则3P Y（）A13 B12 C23 D34【答案】C【分析】根据分布列的性质求出 a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.【详解】由分布列的性质可知：1111,3126a 解得512a ，由21YX，3Y 等价于1X ，由表可知15121121263P X ；故选：C.4若数列111122nannn，则 a5a4 第 2 页 共 14 页 A110 B110 C190 D1990【答案】C【详解】试题分析：由111122nannn 可得5411111111116710568910590aa【解析】数列通项公式 5函数1ln1yxx的大致图象是（）A B C D【答案】A【分析】由特殊的函数值排除错误选项后可得结论【详解】ex时时，11lne10eey ，排除 CD；1ex 时，1lne 1e20ey ，排除 B，故选：A 6在等比数列 na中，3a，15a是方程2680 xx的两个根，则1 179a aa（）A2 2 B2 C1 D2【答案】A【分析】利用根与系数的关系和等比数列的性质求解即可 第 3 页 共 14 页【详解】由题意可得3153 156,8,aaa a 所以21 1793158a aaa a.因为3153 1560,80,aaa a 所以30a，150a，所以90a，所以92 2a，所以1 17982 22 2a aa.故选：A.7在某校的一次科技知识比赛中，全体参赛学生的成绩X近似地服从正态分布80,100N，则以下正确的是（）（参考数据：0.683PX ，220.(4)95PX，330.997PX A()10D X B(70100)0.8185PX C(0)0.5P X D(100)0.046P X 【答案】B【分析】根据正态分布的性质求解【详解】由题意80，10，()100D X，(70100)(7080)(80100)PXPXPX0.6830.9540.818522，(0)1P X，1(100)0.50.9540.0232P X，正确的只有 B 故选：B 二、多选题 8甲、乙两类产品的质量（单位：kg）分别服从正态分布211(,)N，222,N，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量 第 4 页 共 14 页 B乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右 C甲类产品的平均质量为 1kg D乙类产品平均质量的方差为 2【答案】A【分析】根据正态分布的性质以及解析式逐项分析即可.【详解】对于 A，由图可知甲的平均值为0.5,乙的平均值为1，故 A 正确；对于 B，由图可知，甲的方差明显小于乙的方差，所以甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右，故 B 错误；对于 C，由 A 可知，错误；对于 D，正态分布的概率密度解析式为 2221e2xx，当x 时，取得最大值=4，114,24 2，21232，故 D 错误；故选：A.9下列选项中的随机变量X服从两点分布的是（）A抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为X B某运动员罚球命中的概率为 0.8，命中得 1 分，不中得 0 分，X为罚球一次的得分 C从装有大小完全相同的 5 个红球、3 个白球的袋中任取 1 个球，1,0,X取出白球取出红球 D从含有 3 件次品的 100 件产品中随机抽取一件，X为抽到的次品件数【答案】BCD【分析】根据两点分布的定义，即 A事件发生或不发生即可判断.【详解】由两点分布的定义可知：对于 A，X=1，2，3，4，5，6，所以不属于两点分布；对于 B，X=0，1，属于两点分布；对于 C，X=0，1，属于两点分布；对于 D，抽取一次，则或为正品或为次品，故 X=0，1，属于两点分布；故选：BCD.10甲公司从某年起连续 7 年的利润情况如下表所示 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元）2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 第 5 页 共 14 页 根据表中的数据可得回归直线方程为0.52.3yx，则以下正确的是（）A4.8m B相关系数0r C第 8 年的利润预计大约为 8.3 亿元 D 第 6 个样本点的实际值比预测值小 0.1【答案】ABD【分析】根据线性回归方程，逐项分析即可.【详解】由表可知，4x ，25.37my，根据回归直线的性质，样本中心点必须在直线上，25.30.542.37m ，解得 m=4.8，故 A 正确；由表可知，y是随着 x的增加而增加的，即是正相关，故 B 正确；将 x=8 带入回归方程，得0.5 82.36.3y ，故 C 错误；将 x=6 带入回归方程，得0.5 62.35.3y ，由表可知，实际值为 5.2，故 D 正确；故选：ABD.11在数列 na中，若221nnaap（2n，*nN，p为常数），则 na称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A若 na是等方差数列，则 na一定是等差数列 B若 na是等方差数列，则 na可能是等差数列 C 1n是等方差数列 D若 na是等方差数列，则 2na也是等方差数列【答案】BCD【分析】根据数列新定义逐项进行验证判断可得【详解】nan，则2nan，na是等方差数列，但 na不是等差数列，A 错；5na，225na，2210nnaa，2na是等差数列，na也是等差数列，B 正确；(1)nna ，则21na，2na是等差数列，C 正确；若 na是等方差数列，则221nnaad是常数，因此22222222121221212nnnnnnaaaaaaddd是常数，所以22na是等方差数列，D 正第 6 页 共 14 页 确 故选：BCD 12已知有序数对11(,)x y，满足111ln20 xxy，有序数对22(,)xy满足22242ln 20 xy，定义221212Dxxyy，则（）AD的最小值为2 55 BD取最小值时2x的值为125 CD的最小值为45 DD的最大值为 20【答案】BC【分析】由几何意义，11(,)P x y在函数ln2yxx的图象上，22(,)Q xy在直线242ln20 xy上，2DPQ，求出函数ln2yxx的图象的平行于直线242ln20 xy的切线的切点坐标00(,)xy，由点到直线距离公式得距离最小值，可得D的最小值，再利用距离及点在直线上列出关于22,xy的方程组解之可得【详解】由题意11(,)P x y在函数ln2yxx的图象上，22(,)Q xy在直线242ln20 xy上，2DPQ，设函数ln2yxx的图象的平行于直线242ln20 xy的切线的切点坐标为00(,)xy，由11yx 得01112x ，02x，则0ln2y，minPQ等于00(,)xy到直线242ln20 xy的距离为2222ln242ln22512d，所以2min45PQD无最大值 由2222222(2)(ln2)5242ln20 xyxy，解得221254ln25xy，故选：BC 三、填空题 13若 exf xx，则 2f _【答案】2e421e4【分析】求出导函数，代入2x 可得 第 7 页 共 14 页【详解】由已知22ee(1)e()xxxxxfxxx，所以2e(2)4f 故答案为：2e4 14在数列 na中，若121a，前n项和22nSnbn，则nS的最大值为_【答案】66【分析】先求出 b，再根据解析式的性质即可求解.【详解】由题意，2112 11Sab =21，解得23b ，2223nSnn ，属于二次函数，对称轴为235.754，故当 n=5 或 6 时取得最大值，252 523 565S ，26652 623 666,SSS ，nS 的最大值为 66；故答案为：66.15函数 22exf xxbx是 R 上的单调递减函数，则实数b的取值范围是_【答案】,2【分析】由导函数()0fx在 R 上恒成立，分离参数后引入新函数，由导数求得函数的最小值，从而得出结论【详解】由题意()22e0 xfxxb在 R 上恒成立，2e2xbx恒成立，设()2e2xg xx，()2(e1)xg x，()0g x得0 x，0 x 时，()0g x，()g x递减，0 x 时()0g x，()g x递增，所以min()(0)2g xg，所以2b 故答案为：,2 四、双空题 16某超市举行五一节优惠活动，购物满 100 元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中，落入 A袋得奖金 4 元，落入 B袋得奖金 8 元，且小球每次遇到黑色障碍物时，向左或向右下落的概率都为12，则小球落在 A 袋中的概率为_；己知小刚活动当天在该超市购物消费 108 元，按照活动规则要求，此时他得到的奖金的期望值为_元 第 8 页 共 14 页 【答案】340.75 5【分析】先求出小球落入 B 袋的概率 P B，再求出落入 A 袋的概率 1P AP B；根据数学期望的计算方法可求小刚得到的奖金的期望值【详解】记“小球落入A袋中为事件“A，小球落入B袋中为事件B，若要使小球落入B袋中，则小球一直向左落下或一直向右落下，故 33111224P B，则 131144P AP B ；小刚当天在该超市购物消费 108 元，按照活动要求，小刚可以参加一次抽奖活动，设小刚获得奖金的奖金为X，则 X 的可能取值为4、8，则 138444P XP BP XP A，故小刚的活动奖金期望值 1384544E X 故答案为：34；5 五、解答题 17 已知正项等差数列 na前n项和为nS，_，3log0nnab 请从条件514a，540S；条件12a，且1a，21a，3a成等比数列两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题(1)求数列 na的通项公式；(2)记数列 nb的前n项和为nT，证明：326nT 【答案】(1)任选一条件，都有31nan(2)证明见解析【分析】（1）选，由等差数列的前n项和性质求得3a，结合5a求得公差d，再得1a，从而得通项公式；选，由等比数列性质列出关于d的方程，求得d后得通项公式；第 9 页 共 14 页（2）求出nb，由等比数列前n项和公式得出和nT后可证得不等式成立【详解】(1)若选，由153535 254022aaaSa，得38a，又因为514a，所以5332aad，则311268aada，解得12a；31nan 若选，设等差数列 na的公差为d，12a，且1a，21a，3a成等比数列，22131aa a，即2212 22dd，解得：3d 或1d（舍），23(1)31nann，31nan(2)3log0nnab，所以311133nannb 11192731311262726127nnnT 18已知函数 2ln(,)f xaxbx a bR的图象在点1,m处的切线方程为670 xy(1)求m的值和函数 f x的解析式；(2)求函数 f x的单调区间和极值【答案】(1)1m，28lnf xxx；(2)单调递减区间是0,2，单调递增区间是2,；极小值为 248ln 2f，无极大值【分析】（1）由切点在切线上求得m值，由切线在函数图象上求得a值，由导数几何意义求得b值；（2）求出导函数()fx，由导函数的正负确定单调区间，确定极值.【详解】(1)函数 f x的定义域为0,，把点1,m代入切线方程为670 xy得：1m，所以切点坐标为（1，1），由题意得：11fa，因为 2bfxaxx，且函数2(lnf xaxbx）的图象在点（1，1）处的切线斜率为6，所以 126fab，第 10 页 共 14 页 由解得：1a，8b ，综上1m，28lnf xxx(2)由（1）知，28lnf xxx，所以 82fxxx，令 0fx，解得：2x；令 0fx，解得：02x，所以函数 f x的单调递减区间是0,2，单调递增区间是2,，当2x 时，函数 f x的极小值为 248ln 2f，无极大值 19北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥会的收看情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奧会时间的频率分布表：收看时间（分钟）0,10 10,20 20,30 30,40 40,50 50,60 频率 0.15 0.15 0.2 0.25 0.15 0.1 如果把日均收看冬奥会节目的时间高于 40 分钟的观众称为“冬奥迷”(1)根据已知条件请完成下面的22列联表，并判断是否有 95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？非冬奥迷 冬奥迷 合计 女 30 男 10 总计 100 (2)将上述调查的 100 人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率 现在从该地区大量的电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽到的 3 名观众中的“冬奥迷”人数为X，且每次抽取的结果是相互独立的求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量X的期望和方差 附22()()()()()n adbcab cdac bd，其中nabcd 2Pk 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第 11 页 共 14 页 【答案】(1)列联表见解析，没有 95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关(2)抽到“冬奥迷”的频率为 0.25；3()4E X，9()16D X.【分析】(1)根据题目所给的条件填表，在根据独立性检验的卡方公式计算即可；(2)根据二项分布公式，直接写出方差和均值即可.【详解】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，有“冬奥迷”25 人，故22列联表如下：非冬奥迷 冬奥迷 合计 女 30 15 45 男 45 10 55 总计 75 25 100 把22列联表中的数据代入公式计算得：222()100(30 1045 15)1003.030()()()()75 25 45 5533n adbcab cdac bd，因为3.0303.841，所以没有 95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关；(2)由频率分布直方图可知抽到“冬奥迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，则从观众中抽到一名“冬奥迷”的概率14p，由题意得，13,4XB，故13()344E Xnp，139()134146D Xnpp ；综上，没有 95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关，34E X ，9()16D X .20已知数列 na的前n项和为nT，且22nTnn(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列2nna的前n项和nS【答案】(1)nan(2)222nnnS【分析】（1）由1(2)nnnaTTn得出na，再由11aT检验是否相符，从而得通项公式；（2）由错位相减法求和nS 第 12 页 共 14 页【详解】(1)由题意，22nTnn，所以212nTnn，2n时，2112nTnn，两式相减得，2211122nnnaTTnnnnn，1n 时，111aT，也适合上式，所以 na的通项公式为nan(2)由题意知：231232222nnnS，2341112322222nnnS，两式相减得2341111111112222222221nnnnnnnS，所以222nnnS 21因疫情灾害影响，某企业生产严重受损，为此该厂家提出两种恢复生产的方案，每种方案都需分两年实施已知企业在灾害影响前的年产量为0a a 实施方案 1：预计第一年可以使产量达到a和0.9a的概率都是 0.5；第二年可以使产量为第一年产量的 1.2 倍和 1.0 倍的概率分别是 0.4 和 0.6 实施方案 2：预计第一年可以使产量达到1.2a和0.9a的概率分别是 0.3 和 0.7；第二年可以使产量为第一年产量的 1.4 倍和 1.0 倍的概率分别是 0.2 和 0.8 实施每种方案第一年与第二年相互独立，令1,2iX i 表示方案i实施两年后的产量(1)写出1X，2X的分布列；(2)实施哪种方案，两年后企业的年产量超过疫情灾害影响前的概率更大？请说明理由 (3)不管哪种方案，如果实施两年后产量达不到、恰好达到和超过疫情灾害前产量，预计利润分别为 10 万元、15 万元和 30 万元如果你是企业决策者，你将选择哪种方案？请说明理由【答案】(1)答案见解析(2)实施方案 2 时，两年后该企业的年产量超过疫情灾害影响前的概率更大(3)答案见解析【分析】1，依题意，将方案 1 和方案 2 的预期以及相应的概率全部算出即可；2，根据所给的数据分别算出方案 1 和方案 2 超过灾前产量的概率即可；3，求出方案 1 和方案 2 的数学期望，统筹考虑即可.【详解】(1)实施方案 1 两年后的产量可能为1.2a，1.08a，a，0.9a，实施方案 2 两年后的产量可能为0.9a，1.2a，1.26a，1.68a，1X的分布列为：1X 0.9a a 1.08a 1.2a 第 13 页 共 14 页 1P 0.3 0.3 0.2 0.2 2X的分布列为：2X 0.9a 1.2a 1.26a 1.68a 2P 0.56 0.24 0.14 0.06 (2)由题意知，实施方案 1 时两年后产量超过灾前产量的概率为0.20.20.4，实施方案 2 时两年后产量超过灾前产量的概率为0.240.140.060.44，因为0.440.4，所以实施方案 2 时，两年后该企业的年产量超过疫情灾害影响前的概率更大；(3)由题意知，实施方案 1 时两年后产量达不到灾前产量的概率为 0.3，恰好达到灾前产量的概率为 0.3，超过灾前产量的概率为 0.4，此时方案 1 的预计利润为：0.3 100.3 150.4 3019.5（万元）实施方案 2 时两年后产量达不到灾前产量的概率为 0.56，恰好达到灾前产量的概率为 0，超过灾前产量的概率为 0.44，此时 方案 1 的预计利润为：0.56 100.443018.8（万元）选择方案 1 理由：因为方案 1 的预计平均利润大于方案 2 的预计平均利润，所以选择方案 1 选择方案 2 理由：实施方案 2 时两年后产量超过灾前产量的概率高于方案 1，虽然方案 1 的预计平均利润大于方案 2 的预计平均利润，但差距不大，方案 2 更利于企业发展，所以选方案2；综上，实施方案 2 时，两年后该企业的年产量超过疫情灾害影响前的概率更大.22已知函数 1 e1xf xxax，exg xxa（其中aR）(1)当0a 时，证明函数 g x的图象与x轴正半轴只有一个交点；(2)若存在xR，使不等式 e 1f x 成立，求a的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)|0a a 或ea 第 14 页 共 14 页【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性，结合零点存在定理证明结论成立；（2）分类讨论，0a 时，由（1）得存在0 x使 00fx，即00exax，0 x是极小值点，由0()f x，需引入新函数，确定函数的单调性，得出a的范围，0a 及0a 时同样由单调性证明求解【详解】(1)证明：exg xxa，1 e0 xgxx，exg xxa在0,上为增函数，又0a，00ga ，e0ag aaa，所以，函数 g x的图象与x轴正半轴只有一个交点(2)解：当0a 时，exfxxa，由（1）可知，存在0 x使 00fx，即00exax，当0 xx时，0fx，f x在0,x上为减函数；当0 xx时，0fx，f x在0,x 上为增函数，000022min0000000()1 e11 ee11 e1xxxxf xf xxaxxxxx ，由00exax，知00 x，设2()1 e1(0)xh xxxx，则2()e0(0)xh xxxx，h x在0,上为减函数，又 1e 1h ，当001x时，0e 1f x ；当01x 时，0e 1f x ，存在0 x R，使不等式 0e 1f x 成立，此时00eexax；当0a 时，由（1）知，f x在,0上为减函数，f x在0,上为增函数，所以 02e 1f xf ，所以不存在xR，使不等式 e 1f x 成立，当0a 时，取e 10 xa，即e 1ax ，所以1 e1e 1xxax ，所以存在xR，使不等式 e 1f x 成立，综上所述，a的取值范围是|0a a 或ea