《数学物理方法》第一章.ppt

数学物理方法绪 论 n数学物理方法 既是理论物理学的基础，又是物理学与数学联系的桥梁。n 数学物理方法课程包括复变函数、数学物理方程、积分变换和特殊函数四大部分。n是既具有数学类型又具有物理类型的二重性课程。本课程为后续的物理基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。学习数学物理方法，主要矛盾是如何学习和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数学物理方法的知识解决物理问题的能力。课程性质n数学物理方法与高等数学是分不开的，它涉及一元和多元微积分学、幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、线性代数等。答疑：n要勤于思考，多做练习，“熟能生巧”。当学完数学物理方法以后，你会发现，你的数学分析水平将有大幅提高。学习方法参考书n1.梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社，1998年6月第三版 n2.郭敦仁：数学物理方法，北京：人民教育出版社 1965n3.吴崇试：数学物理方法，北京：北京大学出版社 2003 n4.德顾樵，数学物理方法，科学出版社n 第一章 复数与复变函数n第一节 复数n第二节 复变函数的基本概念n第三节 复球面与无穷远点第一节 复数n复数的概念复数相等复数形如 z=x+i y 的数被称为复数，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当 Rez1=Rez2 且 Imz1=Imz2复数四则运算？复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角复数不能比较大小主幅角 0的幅角呢？（几何表示）n复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=r(cos+isin)指数表示：z=rei注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k欧拉公式n复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2乘法运算乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减共轭复数及其运算共轭复数及其运算复数z=x+iy的共轭复数为 =x-iy共轭复数 是复数z关于实轴的对称点根式函数 称满足方程 的复数 为 的 n 次方根，记作 解：解：则记注意根式函数是多值函数记例如例如举例 复数的发展复数的发展复数的引入复数的引入n 需特别指出：可以证明当有三个不同的实根需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方开方(参考：范德瓦尔登著参考：范德瓦尔登著代数学代数学,丁石孙译丁石孙译,科学出版社，科学出版社，1963年年)。至此，我们明白了这样。至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。n 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。“虚数虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（卡儿（Descartes）正式取定的。）正式取定的。“虚数虚数”代表代表的意思是的意思是“虚假的数虚假的数”，“实际不存在的数实际不存在的数”，后来还有人后来还有人“论证论证”虚数应该被排除在数的世界虚数应该被排除在数的世界之外之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。由此给虚数披上了一层神秘的外衣。十八世纪，瑞士数学家欧拉十八世纪，瑞士数学家欧拉十八世纪，瑞士数学家欧拉十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler(Leonhard Euler，1707-1783 1707-1783)试图进一步解释虚数到底是什么数，试图进一步解释虚数到底是什么数，试图进一步解释虚数到底是什么数，试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为他把虚数称之为他把虚数称之为他把虚数称之为“幻想中的数幻想中的数幻想中的数幻想中的数”或或或或“不可能的数不可能的数不可能的数不可能的数”。他在他在他在他在对代数的完整性介绍对代数的完整性介绍对代数的完整性介绍对代数的完整性介绍(1768(176817691769年在俄年在俄年在俄年在俄国出版，国出版，国出版，国出版，17701770年在德国出版年在德国出版年在德国出版年在德国出版)一书中说：因为所有一书中说：因为所有一书中说：因为所有一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数种新的数，而就其本性来说它是不可能的数种新的数，而就其本性来说它是不可能的数种新的数，而就其本性来说它是不可能的数.因为因为因为因为它们只存在于想象之中它们只存在于想象之中它们只存在于想象之中它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想因而通常叫做虚数或幻想因而通常叫做虚数或幻想因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是中的数，于是中的数，于是中的数，于是EulerEuler首先引入符号首先引入符号首先引入符号首先引入符号i i作为虚数单位。作为虚数单位。作为虚数单位。作为虚数单位。十十八八世世纪纪末末至至十十九九世世纪纪初初，挪挪威威测测量量学学家家Wessel(威威 塞塞 尔尔)、瑞瑞 士士 的的 工工 程程 师师 阿阿 尔尔 甘甘（Argand）以以及及德德国国的的数数学学家家高高斯斯（Gauss）等等都都对对“虚虚数数”(也也称称为为“复复数数”)给给出出了了几几何何解解释释，并使复数得到了实际应用。并使复数得到了实际应用。特特别别地地,在在十十九九世世纪纪，有有三三位位代代表表性性人人物物，即即柯柯西西（Cauchy，17891857）、维维尔尔斯斯特特拉拉斯斯（Weierstrass，18151897）、黎黎曼曼（Rieman，18261866）。柯柯西西和和维维尔尔斯斯特特拉拉斯斯分分别别应应用用积积分分和和级级数数研研究究复复变变函函数数，黎黎曼曼研研究究复复变变函函数数的的映映像像性性质质，经经过过他他们们的的不不懈懈努努力力，终终于于建建立立了了系系统统的的复变函数论。复变函数论。自从有了复变函数论，实数领域中自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如：的禁区或不能解释的问题，比如：n负数不能开偶数次方；负数不能开偶数次方；n负数没有对数；负数没有对数；n指数函数无周期性；指数函数无周期性；n正弦、余弦函数的绝对值不能超过正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；等已经不复存在。等已经不复存在。第二节 区 域n区域的概念邻域平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域|z-z0|0|z-z0|z0z0去心邻域开集设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。边界设D为复平面上的一个区域，如果点 P 不属于D，但是在 P 的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 P 称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用L来表示。闭区域区域D连同它的边界L一起构成闭区域，记为Dz1z2p闭区域是区域么？x yORx yORx yROrx yR-ROxO y1xO y21n单连通域与复连通域设D为复平面上的一个区域，如果在其中作任一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于D，则称 D 为单连通区域，否则称为复连通区域。DD单连通域复连通域设E是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合E中的每一个复数z，有一个或多个复数w w=u+iv与之对应，那么称复变数w w是复变数z的函数，或复变函数，记为w w=f(z)。说明1如果z的一个值对应着w的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个w的值，那么我们称f(z)是多值函数。复变函数定义说明2复变函数w w=f(z)可以看作是z平面到w平面上的一个映射。复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iyw=f(z)z平面w平面举例求0,0r0，若存在实数0，当D内的z满足 时，有 则称f（z）当z趋于z0时有极限w0，记作：2.几何意义当z在Z平面进入以z0为圆心，为半径的圆C时,相应的就在W平面进入以w0为圆心，为半径的圆C内。注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0。3.性质：要求此时2.连续函数复平面上任意一点复平面上任意一点A与球的北极与球的北极N的联线与球面相交于一的联线与球面相交于一A点。点。这样，复平面上的有限远点与球面上这样，复平面上的有限远点与球面上N以外的点以外的点一一对一一对应应起来。起来。此球称为复数球，球面称为复球面。此球称为复数球，球面称为复球面。2、无穷远点：无穷远点：模为无限大的复数称之为无穷远点。模为无限大的复数称之为无穷远点。球与复平面相切于原点，球与复平面相切于原点，1、复球面（复数球）、复球面（复数球）第三节第三节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点ANA3、全平面与开平面：、全平面与开平面：包含包含点的复平面称为点的复平面称为全平面全平面，或，或闭平面、扩充平面闭平面、扩充平面，它的几何模型就是复数球。它的几何模型就是复数球。开平面指不含开平面指不含点的复平面，通常说的复平面是指开平面。点的复平面，通常说的复平面是指开平面。由于平面上模为无限大的点只对应复数球上点由于平面上模为无限大的点只对应复数球上点N，因此定，因此定义复数平面上义复数平面上点为一个点，即模为无限大，幅角无定义。点为一个点，即模为无限大，幅角无定义。谢谢大家！