(新课标)2022版高考数学二轮复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积学案理新人教.pdf

新课标新课标 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习专题三立体几何第复习专题三立体几何第 1 1讲空间讲空间几何体的三视图、外表积与体积几何体的三视图、外表积与体积学案理新人教学案理新人教 A A 版版第第 1 1 讲讲空间几何体的三视图、外表积与体积空间几何体的三视图、外表积与体积 做真题做真题 题型一题型一三视图与直观图三视图与直观图1 1(202(2022高考全国卷)某圆柱的高为2高考全国卷)某圆柱的高为 2 2，底面周长为底面周长为 1616，其三视图如图圆柱外表上的点，其三视图如图圆柱外表上的点M M在正视图上的对应点为在正视图上的对应点为A A，圆柱外表上的点圆柱外表上的点N N在在左视图上的对应点为左视图上的对应点为B B，那么在此圆柱侧面上，那么在此圆柱侧面上，从从M M到到N N的路径中，最短路径的长度为的路径中，最短路径的长度为()A A2 2 1717B B2 2 5 5C C3 3D D2 2解析：选解析：选 B B由三视图可知，该几何体为如由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为图所示的圆柱，该圆柱的高为 2 2，底面周长为，底面周长为16.16.画出该圆柱的侧面展开图，画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，如图所示，连接连接MNMN，那么那么MSMS2 2，SNSN4 4，那么从那么从M M到到N N的路径中，的路径中，最短路径的长度为最短路径的长度为MSMSSNSN 2 2 4 4 2 2 5.5.应应-2-2-2 22 22 22 2选选 B B2 2(2022高考全国卷)中国古建筑借助榫(2022高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出局部叫榫头，卯将木构件连接起来构件的凸出局部叫榫头，凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木榫头假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是的俯视图可以是()解析：选解析：选 A A由题意知，在咬合时带卯眼的由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选虚线，结合榫头的位置知选 A A3 3(2022高考全国卷)中国有悠久的金石(2022高考全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体官员独孤信的印信形状是“半正多面体(图图-3-3-1)1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体表达了数学的对称围成的多面体半正多面体表达了数学的对称美美图图 2 2 是一个棱数为是一个棱数为 4848 的半正多面体，的半正多面体，它的所它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为的棱长为 1 1，那么该半正多面体共有，那么该半正多面体共有_个个面，其棱长为面，其棱长为_解析：依题意知，题中的半正多面体的上、解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后下、左、右、前、后6 6 个面都在正方体的外表上，个面都在正方体的外表上，且该半正多面体的外表由且该半正多面体的外表由 1818 个正方形，个正方形，8 8 个正三个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有角形组成，因此题中的半正多面体共有2626 个个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x x，那，那2 22 2么么x xx xx x1 1，解得，解得x x 2 21 1，故题中的，故题中的2 22 2半正多面体的棱长为半正多面体的棱长为 2 21.1.-4-4-答案：答案：26262 21 1题型二题型二空间几何体的外表积与体积空间几何体的外表积与体积1 1(2022高考全国卷)学生到工厂劳动实(2022高考全国卷)学生到工厂劳动实践，利用践，利用3D3D 打印技术制作模型如图，该模型为打印技术制作模型如图，该模型为长方体长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1挖去四棱锥挖去四棱锥O OEFGHEFGH后所得后所得的几何体，其中的几何体，其中O O为长方体的中心，为长方体的中心，E E，F F，G G，H H分别为所在棱的中点，分别为所在棱的中点，ABABBCBC6 cm6 cm，AAAA1 14 4cm.3Dcm.3D 打印所用原料密度为打印所用原料密度为 0.9 g/cm0.9 g/cm.不考虑打不考虑打印印 损损 耗耗，制制 作作 该该 模模 型型 所所 需需 原原 料料 的的 质质 量量 为为_g._g.3 3解析：由题易得长方体解析：由题易得长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的体积的体积为为 664664144(cm144(cm)，四边形，四边形EFGHEFGH为平行四边为平行四边形，如下图，连接形，如下图，连接GEGE，HFHF，易知四边形，易知四边形EFGHEFGH的的1 1面积为矩形面积为矩形BCCBCC1 1B B1 1面积的一半，即面积的一半，即64642 23 3-5-5-1 112(cm12(cm)，所以所以V V四棱锥四棱锥O O EFGHEFGH 31231212(cm12(cm3 3)，所所3 32 2以该模型的体积为以该模型的体积为 1441441212132(cm132(cm)，所以制作所以制作该模型所需原料的质量为该模型所需原料的质量为 1320.91320.9118.8(g)118.8(g)3 3答案：答案：118.8118.82 2(2022高考全国卷)圆锥的顶点为(2022高考全国卷)圆锥的顶点为S S，7 7母线母线SASA，SBSB所成角的余弦值为所成角的余弦值为，SASA与圆锥底面与圆锥底面8 8所成角为所成角为 45.假设45.假设SABSAB的面积为的面积为 5 5 1515，那么，那么该圆锥的侧面积为该圆锥的侧面积为_解析：如下图，设解析：如下图，设S S在底面的射影为在底面的射影为S S，1 1连接连接ASAS，SSSS.SABSAB的面积为的面积为 SASASBSBsinsin2 21 115152 22 22 2ASBASB SASA1 1coscos ASBASBSASA2 216165 5 1515，所以所以SASA8080，SASA4 4 5.5.因为因为SASA与底面所与底面所成的角为成的角为45，所以45，所以SASSAS45，45，ASAS-6-6-2 22 2SASAcos 45cos 454 4 5 52 2 10.10.所以底面周长所以底面周长2 21 1l l22ASAS4 4 1010，所以圆锥的侧面积为，所以圆锥的侧面积为2 244 5 544 10104040 2 2.答案：答案：4040 2 2题型三题型三与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题1 1(2022高考全国卷)三棱锥(2022高考全国卷)三棱锥P P ABCABC的的四个顶点在球四个顶点在球O O的球面上，的球面上，PAPAPBPBPCPC，ABCABC是边长为是边长为 2 2 的正三角形，的正三角形，E E，F F分别是分别是PAPA，ABAB的的中点，中点，CEFCEF90，那么球90，那么球O O的体积为的体积为()A A8 8 6 6C C2 2 6 6B B4 4 6 6D D 6 6解析：选解析：选 D D因为点因为点E E，F F分别为分别为PAPA，ABAB的的中点，所以中点，所以EFEFPBPB，-7-7-因因为为 CEFCEF9090，所所以以EFEFCECE，所所以以PBPBCECE.取取ACAC的中点的中点D D，连接，连接BDBD，PDPD，易证，易证ACAC平平面面BDPBDP，所以所以PBPBACAC，又，又ACACCECEC C，ACAC，CECE平面平面PACPAC，所以，所以PBPB平面平面PACPAC，所以所以PBPBPAPA，PBPBPCPC，因为，因为PAPAPBPBPCPC，ABCABC为正三角形，为正三角形，所以所以PAPAPCPC，即，即PAPA，PBPB，PCPC两两垂直，将两两垂直，将三棱锥三棱锥P P-ABCABC放在正方体中如下图放在正方体中如下图 因为因为ABAB2 2，所以该正方体的棱长为所以该正方体的棱长为 2 2，所以该正方体的体对，所以该正方体的体对角线长为角线长为 6 6，所以三棱锥，所以三棱锥P P ABCABC的外接球的半径的外接球的半径6 64 44 4 6 6 3 33 3R R，所以球所以球O O的体积的体积V V R R 6 62 23 33 3 2 2，应选，应选 D D-8-8-2 2(2022高考全国卷)设(2022高考全国卷)设A A，B B，C C，D D是是同一个半径为同一个半径为 4 4 的球的球面上四点，的球的球面上四点，ABCABC为等为等边三角形且其面积为边三角形且其面积为 9 9 3 3，那么三棱锥，那么三棱锥D D ABCABC体体积的最大值为积的最大值为()A A1212 3 3C C2424 3 3B B1818 3 3D D5454 3 3解析：选解析：选 B B设等边三角形设等边三角形ABCABC的边长为的边长为x x，1 12 2那么那么x xsinsin 60609 9 3 3，得，得x x6.6.设设ABCABC的外接的外接2 26 6圆半径为圆半径为r r，那么，那么 2 2r r，解得，解得r r2 2 3 3，sin 60sin 60所所 以以 球球 心心 到到 ABCABC所所 在在 平平 面面 的的 距距 离离d d4 4(2(2 3)3)2 2，那么点，那么点D D到平面到平面ABCABC的最大距的最大距离离d d1 1d d4 46 6，所以三棱锥所以三棱锥D D ABCABC体积的最大值体积的最大值1 11 1V VmaxmaxS SABCABC6 6 99 3 3661818 3.3.3 33 33 3(2022高考全国卷)圆柱的高为(2022高考全国卷)圆柱的高为 1 1，它，它的两个底面的圆周在直径为的两个底面的圆周在直径为 2 2 的同一个球的球面的同一个球的球面2 22 2-9-9-上，那么该圆柱的体积为上，那么该圆柱的体积为()A AC C2 233B B4 4D D4 4解析：选解析：选 B B设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为r r，那么，那么 1 1 2 23 33 3r r1 1 ，所以，圆柱的体积，所以，圆柱的体积V V 1 14 44 4 2 2 2 22 233，应选，应选 B B4 4 明考情明考情 1 1“立体几何在高考中一般会以“两小一“立体几何在高考中一般会以“两小一大或“一小一大的命题形式出现，这“两大或“一小一大的命题形式出现，这“两小或“一小主要考查三视图，几何体的外表小或“一小主要考查三视图，几何体的外表积与体积，空间点、线、面的位置关系积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平特别是平行与垂直行与垂直)2 2考查一个小题时，考查一个小题时，此小题一般会出现在第此小题一般会出现在第4 48 8 题的位置上，难度一般；考查两个小题时，题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，-10-10-一般会出现在第一般会出现在第 10101616 题的位置上，题的位置上，此小题虽然此小题虽然难度稍高，主要表达在计算量上，但仍是对根底难度稍高，主要表达在计算量上，但仍是对根底知识、根本公式的考查知识、根本公式的考查空间几何体的三视图空间几何体的三视图 考法全练考法全练 1 1(2022福州市质量检测(2022福州市质量检测)棱长为棱长为 1 1 的正方的正方体木块体木块ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的直观图如下图，的直观图如下图，平面平面过过点点D D且平行于平面且平行于平面ACDACD1 1，那么该木块在平面那么该木块在平面内内的正投影面积是的正投影面积是()3 3A A 3 3B B3 32 2C C 2 2D D1 1解解析析：选选 A A棱棱长长为为 1 1 的的正正方方体体木木块块ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1在平面在平面内的正投影是三个全等的内的正投影是三个全等的-11-11-菱形，如图，正投影可以看成两个边长为菱形，如图，正投影可以看成两个边长为 2 2的等的等边三角形，边三角形，所以木块在平面所以木块在平面内的正投影面积是内的正投影面积是1 13 322 2 2 2 2 3.3.2 22 22 2(2022福州市第一学期抽测(2022福州市第一学期抽测)如图为一圆如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，那么相应的侧视柱切削后的几何体及其正视图，那么相应的侧视图可以是图可以是()解析：选解析：选 B B由题意，根据切削后的几何体由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，应选应选 B B3 3(2022江西省五校协作体试题(2022江西省五校协作体试题)如图如图 1 1，在三棱锥在三棱锥D D ABCABC中，中，ACACBCBCCDCD2 2，CDCD平面平面-12-12-ABCABC，ACBACB9090.假设其正视图、假设其正视图、俯视图如图俯视图如图 2 2，那么其侧视图的面积为那么其侧视图的面积为()A A 6 6B B2 2C C 3 3D D 2 2解析：选解析：选 D D由题意知侧视图为直角三角形，由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为为 2 2，那么侧视图的高，即一直角边长也为，那么侧视图的高，即一直角边长也为 2.2.因因为俯视图为边长为为俯视图为边长为 2 2 的等腰直角三角形，所以侧的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为视图的另一直角边长为2.2.所以侧视图的面积为所以侧视图的面积为2 2，应选，应选 D D4 4(2022江西八所重点中学联考(2022江西八所重点中学联考)某四面体某四面体的三视图如下图，那么该四面体最长的棱长与最的三视图如下图，那么该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是短的棱长的比值是()-13-13-5 5A A2 23 3 5 5C C5 5B B 2 23 3D D2 2解析：选解析：选 D D在棱长为在棱长为 2 2 的正方体中复原该的正方体中复原该四面体四面体P P ABCABC.如下图，如下图，其中最短的棱为其中最短的棱为ABAB和和BCBC，最长的棱为最长的棱为PCPC.因为正方体的棱长为因为正方体的棱长为 2 2，所以，所以ABABBCBC2 2，PCPC3 3，所以该四面体最长的棱长与最，所以该四面体最长的棱长与最3 3短的棱长的比值为短的棱长的比值为，应选，应选 D D2 25 5(2022湖南省五市十校联考(2022湖南省五市十校联考)某四棱锥的某四棱锥的三视图如下图，其侧视图是等腰直角三角形，俯三视图如下图，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，那么该四棱锥的各侧面视图的轮廓是直角梯形，那么该四棱锥的各侧面-14-14-面积的最大值为面积的最大值为()A A8 8C C8 8 2 2B B4 4 5 5D D1212 2 2解析：选解析：选 D D由三视图可知该几何体是一个由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为底面为直角梯形，高为 4 4 的四棱锥，如图，其中的四棱锥，如图，其中侧棱侧棱PAPA平面平面ABCDABCD，PAPA4 4，ABAB4 4，BCBC4 4，CDCD6 6，所以，所以ADAD2 2 5 5，PDPD6 6，PBPB4 4 2 2，连接，连接ACAC，那么那么ACAC4 4 2 2，所以，所以PCPC4 4 3 3，显然在各侧面面，显然在各侧面面积中积中PCDPCD的面积最大，又的面积最大，又PDPDCDCD6 6，所以，所以PCPC边上的高为边上的高为 4 4 3 3 2 21 1 2 2 6 6，所以，所以S SPCDPCD6 6 2 2 2 2 2 244 3 322 6 61212 2 2，故该四棱锥的各侧面面积，故该四棱锥的各侧面面积的最大值为的最大值为 1212 2 2，应选，应选 D D-15-15-(1)(1)识别三视图的步骤识别三视图的步骤应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置具体形状，明确几何体的摆放位置根据三视图的有关规那么先确定正视图，根据三视图的有关规那么先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图再确定俯视图，最后确定侧视图被遮住的轮廓线应为虚线被遮住的轮廓线应为虚线(2)(2)由三视图复原到直观图的思路由三视图复原到直观图的思路根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面根据正根据正(主主)视图或侧视图或侧(左左)视图确定几何体视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置棱、面的位置确定几何体的直观图形状确定几何体的直观图形状(3)(3)由几何体的局部视图判断剩余的视图的由几何体的局部视图判断剩余的视图的思路思路-16-16-先根据的一局部视图，复原、推测直观图的先根据的一局部视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部视图的可能形可能形式，然后再找其剩下局部视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合看看给出的局部三视图是否符合空间几何体的外表积和体积空间几何体的外表积和体积 典型例题典型例题 命题角度一命题角度一空间几何体的外表积空间几何体的外表积(1)(2022安徽五校联盟第二次质检(1)(2022安徽五校联盟第二次质检)某几何体是一个平面将一正方体截去一局部后所某几何体是一个平面将一正方体截去一局部后所得，该几何体的三视图如下图，那么该几何体的得，该几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为外表积为()A A20202 2 3 3B B18182 2 3 3C C1818 3 3D D2020 3 3-17-17-(2)(2022福建五校第二次联考(2)(2022福建五校第二次联考)某几何体某几何体的三视图如图，那么该几何体的外表积是的三视图如图，那么该几何体的外表积是()3939A A3 3 3 34 42323C C2 24545B B3 3 3 34 44949D D4 4【解析】【解析】(1)(1)如下图，如下图，ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长是棱长为为 2 2 的正方体，根据三视图，复原几何体的直观的正方体，根据三视图，复原几何体的直观图为图中多面体图为图中多面体ABCDABCD A A1 1C C1 1D D1 1，其外表积为其外表积为S S正方形正方形ABCDABCDS S正方形正方形ADDADD1 1A A1 1S S正方形正方形DCCDCC1 1D D1 1S SABAABA1 1S SA A1 1C C1 1D D1 1S SBCCBCC1 1S SA A1 1BCBC1 14 44 44 42 22 23 32 28818182 2 3 3，应选，应选 B B4 4-18-18-1 1(2)(2)由三视图知，该几何体为圆锥挖掉由三视图知，该几何体为圆锥挖掉 圆台圆台4 43 31 11 12 22 2后剩余局部，后剩余局部，其外表积其外表积S S表表 2 2 1 1 4 44 42 2 3 3 1 1 1 1 222 2 4 4 221 1 2 2 2 2 4 4 4 4(1(12)2)3 33939223 3 3.3.应选应选 A A2 24 4【答案】【答案】(1)B(1)B(2)A(2)A求几何体的外表积的方法求几何体的外表积的方法(1)(1)求外表积问题的根本思路是将立体几何求外表积问题的根本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点这是解决立体几何的主要出发点(2)(2)求不规那么几何体的外表积时，求不规那么几何体的外表积时，通常将所通常将所给几何体分割成根本的柱、锥、台体，先求这些给几何体分割成根本的柱、锥、台体，先求这些-19-19-柱、锥、台体的外表积，再通过求和或作差得不柱、锥、台体的外表积，再通过求和或作差得不规那么几何体的外表积规那么几何体的外表积命题角度二命题角度二空间几何体的体积空间几何体的体积(1)(2022武汉市调研测试(1)(2022武汉市调研测试)如图，网格如图，网格纸上小正方形的边长为纸上小正方形的边长为 1 1，粗实线画出的是某几，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为何体的三视图，那么该几何体的体积为()2 2A A 3 3C C2 24 4B B 3 3D D2 2 5 5(2)(2022江西省五校协作体试题(2)(2022江西省五校协作体试题)某几何某几何体的三视图如下图，正视图是一个上底为体的三视图如下图，正视图是一个上底为 2 2，下，下底为底为 4 4 的直角梯形，俯视图是一个边长为的直角梯形，俯视图是一个边长为 4 4 的等的等边三角形，那么该几何体的体积为边三角形，那么该几何体的体积为_-20-20-【解析】【解析】(1)(1)由三视图知，由三视图知，该几何体是由两该几何体是由两个底面半径为个底面半径为 1 1，高为，高为 2 2 的圆锥组成的，所以该的圆锥组成的，所以该1 1442 2几何体的体积几何体的体积V V22 1 1 2 2，应选应选 B B3 33 3(2)(2)把三视图复原成几何体把三视图复原成几何体ABCABC DEFDEF，如下图，如下图，在在ADAD上取点上取点G G，使得，使得AGAG2 2，连接，连接GEGE，GFGF，那么，那么把几何体把几何体ABCABC DEFDEF分割成三棱柱分割成三棱柱ABCABC GEFGEF和三棱和三棱1 1锥锥D D GEFGEF，所以，所以V VABCABC-DEFDEFV VABCABC-GEFGEFV VD D-GEFGEF4 4 3 3223 33232 3 344 3 322.3 33232 3 3【答案】【答案】(1)B(1)B(2)(2)3 3求空间几何体体积的常用方法求空间几何体体积的常用方法-21-21-(1)(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)(2)等积法：等积法：根据体积计算公式，根据体积计算公式，通过转换空通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等求出一些体积比等(3)(3)割补法：割补法：把不能直接计算体积的空间几何把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体何体 对点训练对点训练 1 1(2022唐山市摸底考试(2022唐山市摸底考试)某几何体的三视某几何体的三视图如下图图如下图(俯视图中曲线为四分之一圆弧俯视图中曲线为四分之一圆弧)，那么，那么该几何体的外表积为该几何体的外表积为()A A1 14 4C C2 24 4B B3 32 2D D4 4-22-22-解析：选解析：选D D由题设知，该几何体是棱长为由题设知，该几何体是棱长为1 11 1的正方体被截去底面半径为的正方体被截去底面半径为 1 1 的的 圆柱后得到的，圆柱后得到的，4 4 1 12 2如下图，所以外表积如下图，所以外表积S S22 1111 1 1 4 4 1 12(11)2(11)221 11 14.4.应选应选 D D4 42 2(2022长春市质量监测(2022长春市质量监测(一一)一所有棱长一所有棱长都都是是2 2的的三三棱棱锥锥，那那么么该该三三棱棱锥锥的的体体积积为为_解析：解析：记所有棱长都是记所有棱长都是 2 2的三棱锥为的三棱锥为P P ABCABC，如下图，如下图，取取BCBC的中点的中点D D，连接连接ADAD，PDPD，作作POPOADAD6 6于点于点O O，那么，那么POPO平面平面ABCABC，且，且OPOP 2 23 3-23-23-2 2 3 31 11 13 3，故三棱锥故三棱锥P P ABCABC的体积的体积V VS SABCABCOPOP 3 33 33 34 42 2 3 31 1(2)2).3 33 32 21 1答案：答案：3 3与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题 典型例题典型例题 命题角度一命题角度一外接球外接球(2022石家庄市质量检测(2022石家庄市质量检测)如图，在四如图，在四棱锥棱锥P P ABCDABCD中，中，底面底面ABCDABCD为菱形，为菱形，PBPB底面底面ABCDABCD，O O为对角线为对角线ACAC与与BDBD的交点，假设的交点，假设PBPB1 1，APBAPBBADBAD，那么三棱锥那么三棱锥P P AOBAOB的外接球的体积的外接球的体积3 3是是_-24-24-【解析】【解析】因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形，所以是菱形，所以ACACBDBD，即，即OAOAOBOB，因为，因为PBPB平面平面ABCDABCD，所以，所以PBPBAOAO，又，又OBOBPBPBB B，所以，所以AOAO平面平面PBOPBO，所，所以以AOAOPOPO，即即PAOPAO是以是以PAPA为斜边的直角三角形，为斜边的直角三角形，因为因为PBPBABAB，所以所以PABPAB是以是以PAPA为斜边的直角三为斜边的直角三角形，所以三棱锥角形，所以三棱锥P P AOBAOB的外接球的直径为的外接球的直径为PAPA，因为因为PBPB1 1，APBAPB，所以，所以PAPA2 2，所以三棱，所以三棱3 3锥锥P P AOBAOB的外接球的半径为的外接球的半径为 1 1，所以三棱锥所以三棱锥P P AOBAOB44的外接球的体积为的外接球的体积为.3 344【答案】【答案】3 3解决多面体的外接球问题，关键是确定球心解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，-25-25-那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置补成正方体或长方体的方法找到球心位置命题角度二命题角度二内切球内切球(2022(2022 广广东东省省七七校校联联考考)在在四四棱棱锥锥P P ABCDABCD中，四边形中，四边形ABCDABCD是边长为是边长为 2 2a a的正方形，的正方形，PDPD底面底面ABCDABCD，且且PDPD2 2a a，假设在这个四棱锥内假设在这个四棱锥内放一个球，那么该球半径的最大值为放一个球，那么该球半径的最大值为_【解析】【解析】通解：由题意知，球内切于四棱通解：由题意知，球内切于四棱锥锥P P ABCDABCD时半径最大，时半径最大，设该四棱锥的内切球的球设该四棱锥的内切球的球心为心为O O，半径为，半径为r r，连接，连接OAOA，OBOB，OCOC，ODOD，OPOP，1 1那么那么V VP P-ABCDABCDV VO O-ABCDABCDV VO O-PADPADV VO O-PABPABV VO O-PBCPBCV VO O-PCDPCD，即，即3 322a a22a a22a a1 13 3 2 2 1 11 1 4 4a a2 2 22a a22a a22 22a a2 2 2 2a a r r，2 22 2 解得解得r r(2(2 2)2)a a.优解：易知当球内切于四棱锥优解：易知当球内切于四棱锥P P ABCDABCD，即与，即与-26-26-四棱锥四棱锥P P ABCDABCD各个面均相切时，球的半径最大，各个面均相切时，球的半径最大，作出相切时的侧视图如下图，作出相切时的侧视图如下图，设四棱锥设四棱锥P P ABCDABCD内内1 11 1切球的半径为切球的半径为r r，那么，那么 22a a22a a(2(2a a2 2a a2 22 22 2 2 2a a)r r，解得，解得r r(2(2 2)2)a a.【答案】【答案】(2(2 2)2)a a求解多面体的内切球的问题，一般是将多面求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径求内切球的半径命题角度三命题角度三与球有关的最值问题与球有关的最值问题(2022昆明市质量检测(2022昆明市质量检测)三棱锥三棱锥P P ABCABC的所有顶点都在半径为的所有顶点都在半径为 2 2 的球的球O O的球面上假设的球面上假设PACPAC是等边三角形，平面是等边三角形，平面PACPAC平面平面ABCABC，ABABBCBC，那么三棱锥，那么三棱锥P P ABCABC体积的最大值为体积的最大值为()-27-27-A A2 2B B3 3C C2 2 3 3D D3 3 3 3【解析】【解析】根据根据ABABBCBC可知可知ACAC为三角形为三角形ABCABC所在截面圆所在截面圆O O1 1的直径，又平面的直径，又平面PACPAC平面平面ABCABC，APCAPC为等边三角形，所以为等边三角形，所以P P在在OOOO1 1上，如下图，上，如下图，1 13 33 3设设PAPAx x，那么那么AOAO1 1x x，POPO1 1x x，所以所以POPO1 12 22 22 2x xOOOO1 12 2 3 3 2 2 1 1 2 24 4 x x 2 2 x x2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 2 21 12 2 x x x x2 2 3 3x x0 0 x x2 2 3 3，所以所以AOAO1 1 22 3 32 2 2 2 3 3 3 3，POPO1 12 2 3 33 3，当底面三角形，当底面三角形ABCABC的的2 2面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥1 11 1P P ABCABC的的体体积积最最大大，此此时时V VS SABCABCPOPO1 13 33 3 1 1 2 2 3 3 3 3 333.3.2 2-28-28-【答案】【答案】B B多面体与球有关的最值问题，主要有三种：多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题题 对点训练对点训练 1 1圆锥的高为圆锥的高为3 3，底面半径为，底面半径为 3 3，假设该圆，假设该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，那么锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，那么这个球的体积等于这个球的体积等于()8 8A A 3 3C C16163232B B3 3D D3232解析：选解析：选 B B设该圆锥的外接球的半径为设该圆锥的外接球的半径为R R，-29-29-依题意得，依题意得，R R(3(3R R)(3)3)，解得，解得R R2 2，所，所4 44 432323 33 3以所求球的体积以所求球的体积V V R R 2 2，应选，应选3 33 33 3B B2 2(2022福州市质量检测(2022福州市质量检测)如图，如图，以棱长为以棱长为1 1 的正方体的顶点的正方体的顶点A A为球心，以为球心，以 2 2为半径作一个为半径作一个球面，那么该正方体的外表被球面所截得的所有球面，那么该正方体的外表被球面所截得的所有弧长之和为弧长之和为()2 22 22 233A A4 433C C2 2B B 2 299D D4 4解析：选解析：选 C C正方体的外表被该球面所截得正方体的外表被该球面所截得的弧长是相等的三局部，如图，上底面被球面截的弧长是相等的三局部，如图，上底面被球面截1 1得的弧长是以得的弧长是以A A1 1为圆心，为圆心，1 1 为半径的圆周长的为半径的圆周长的，4 4-30-30-2233所以所有弧长之和为所以所有弧长之和为 33.应选应选 C C4 42 2一、选择题一、选择题1.1.如图是一个正方体，如图是一个正方体，A A，B B，C C为三个顶点，为三个顶点，D D是棱的中点，那么三棱锥是棱的中点，那么三棱锥A A BCDBCD的正视图和俯的正视图和俯视图是视图是(注：注：选项中的上图为正视图，选项中的上图为正视图，下列图为俯下列图为俯视图视图)()()解析：选解析：选 A A正视图和俯视图中棱正视图和俯视图中棱ADAD和和BDBD均看不见，故为虚线，易知选均看不见，故为虚线，易知选 A A2 2(2022武汉市调研测试(2022武汉市调研测试)如图，如图，在棱长为在棱长为1 1 的正方体的正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M为为CDCD的中点，那的中点，那-31-31-么三棱锥么三棱锥A A BCBC1 1M M的体积的体积VAVA BCBC1 1M M()1 11 1A A B B2 24 41 1C C6 61 1D D12121 1解析：选解析：选 C CV VA A-BCBC1 1M MV VC C1 1-ABMABMS SABMABMC C1 1C C3 31 11 11 1 ABABADADC C1 1C C.应选应选 C C3 32 26 63 3(2022昆明市质量检测(2022昆明市质量检测)一个三棱柱的三一个三棱柱的三视图如下图，那么该三棱柱的侧面积为视图如下图，那么该三棱柱的侧面积为()A A1212 3 3C C1212 3 3B B2424D D24242 2 3 3-32-32-解析：选解析：选 B B根据三视图可知该三棱柱的直根据三视图可知该三棱柱的直观观图图如如下下图图，所所以以该该三三棱棱柱柱的的侧侧面面积积S S22(3)3)1 1 24(222)424(222)424.24.4 4(2022蓉城名校第一次联考(2022蓉城名校第一次联考)一个几何体一个几何体的正视图和侧视图如图的正视图和侧视图如图 1 1 所示，其俯视图用斜二所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为长为 1 1 的等腰直角三角形的等腰直角三角形(如图如图 2 2 所示所示)，那么此，那么此几何体的体积为几何体的体积为()2 22 2A A1 1C C2 2B B 2 2D D2 2 2 2解析：选解析：选 B B根据直观图可得该几何体的俯根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是视图是一个直角边长分别是 2 2 和和 2 2的直角三角形的直角三角形(如下图如下图)，根据三视图可知该几何体是一个三棱，根据三视图可知