(新课标)2022版高考数学二轮复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积学案理新人教.pdf
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1、新课标新课标 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习专题三立体几何第复习专题三立体几何第 1 1讲空间讲空间几何体的三视图、外表积与体积几何体的三视图、外表积与体积学案理新人教学案理新人教 A A 版版第第 1 1 讲讲空间几何体的三视图、外表积与体积空间几何体的三视图、外表积与体积 做真题做真题 题型一题型一三视图与直观图三视图与直观图1 1(202(2022高考全国卷)某圆柱的高为2高考全国卷)某圆柱的高为 2 2,底面周长为底面周长为 1616,其三视图如图圆柱外表上的点,其三视图如图圆柱外表上的点M M在正视图上的对应点为在正视图上的对应点为A A,圆柱外表上的点圆柱外表上
2、的点N N在在左视图上的对应点为左视图上的对应点为B B,那么在此圆柱侧面上,那么在此圆柱侧面上,从从M M到到N N的路径中,最短路径的长度为的路径中,最短路径的长度为()A A2 2 1717B B2 2 5 5C C3 3D D2 2解析:选解析:选 B B由三视图可知,该几何体为如由三视图可知,该几何体为如图所示的圆柱,该圆柱的高为图所示的圆柱,该圆柱的高为 2 2,底面周长为,底面周长为16.16.画出该圆柱的侧面展开图,画出该圆柱的侧面展开图,如图所示,如图所示,连接连接MNMN,那么那么MSMS2 2,SNSN4 4,那么从那么从M M到到N N的路径中,的路径中,最短路径的长度
3、为最短路径的长度为MSMSSNSN 2 2 4 4 2 2 5.5.应应-2-2-2 22 22 22 2选选 B B2 2(2022高考全国卷)中国古建筑借助榫(2022高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出局部叫榫头,卯将木构件连接起来构件的凸出局部叫榫头,凹进局部叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是凹进局部叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木榫头假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,那么咬合时带卯眼的木构件构件咬合成长方体,那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是的俯视图可以是()解析:选解析:选 A A由题意知,在咬合
4、时带卯眼的由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选虚线,结合榫头的位置知选 A A3 3(2022高考全国卷)中国有悠久的金石(2022高考全国卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体官员独孤信的印信形状是“半正多面体(图图-3-3-1)1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面
5、体半正多面体表达了数学的对称围成的多面体半正多面体表达了数学的对称美美图图 2 2 是一个棱数为是一个棱数为 4848 的半正多面体,的半正多面体,它的所它的所有顶点都在同一个正方体的外表上,且此正方体有顶点都在同一个正方体的外表上,且此正方体的棱长为的棱长为 1 1,那么该半正多面体共有,那么该半正多面体共有_个个面,其棱长为面,其棱长为_解析:依题意知,题中的半正多面体的上、解析:依题意知,题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后下、左、右、前、后6 6 个面都在正方体的外表上,个面都在正方体的外表上,且该半正多面体的外表由且该半正多面体的外表由 1818 个正方形,个正方形,8 8 个正
6、三个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有角形组成,因此题中的半正多面体共有2626 个个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x x,那,那2 22 2么么x xx xx x1 1,解得,解得x x 2 21 1,故题中的,故题中的2 22 2半正多面体的棱长为半正多面体的棱长为 2 21.1.-4-4-答案:答案:26262 21 1题型二题型二空间几何体的外表积与体积空间几何体的外表积与体积1 1(2022高考全国卷)学生到工厂劳动实(2022高考全国卷)学生到工厂劳动实践,
7、利用践,利用3D3D 打印技术制作模型如图,该模型为打印技术制作模型如图,该模型为长方体长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1挖去四棱锥挖去四棱锥O OEFGHEFGH后所得后所得的几何体,其中的几何体,其中O O为长方体的中心,为长方体的中心,E E,F F,G G,H H分别为所在棱的中点,分别为所在棱的中点,ABABBCBC6 cm6 cm,AAAA1 14 4cm.3Dcm.3D 打印所用原料密度为打印所用原料密度为 0.9 g/cm0.9 g/cm.不考虑打不考虑打印印 损损 耗耗,制制 作作 该该 模模 型型 所所 需需 原原 料料 的的 质质 量量
8、 为为_g._g.3 3解析:由题易得长方体解析:由题易得长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的体积的体积为为 664664144(cm144(cm),四边形,四边形EFGHEFGH为平行四边为平行四边形,如下图,连接形,如下图,连接GEGE,HFHF,易知四边形,易知四边形EFGHEFGH的的1 1面积为矩形面积为矩形BCCBCC1 1B B1 1面积的一半,即面积的一半,即64642 23 3-5-5-1 112(cm12(cm),所以所以V V四棱锥四棱锥O O EFGHEFGH 31231212(cm12(cm3 3),所所3 32 2以该模型的体积
9、为以该模型的体积为 1441441212132(cm132(cm),所以制作所以制作该模型所需原料的质量为该模型所需原料的质量为 1320.91320.9118.8(g)118.8(g)3 3答案:答案:118.8118.82 2(2022高考全国卷)圆锥的顶点为(2022高考全国卷)圆锥的顶点为S S,7 7母线母线SASA,SBSB所成角的余弦值为所成角的余弦值为,SASA与圆锥底面与圆锥底面8 8所成角为所成角为 45.假设45.假设SABSAB的面积为的面积为 5 5 1515,那么,那么该圆锥的侧面积为该圆锥的侧面积为_解析:如下图,设解析:如下图,设S S在底面的射影为在底面的射影
10、为S S,1 1连接连接ASAS,SSSS.SABSAB的面积为的面积为 SASASBSBsinsin2 21 115152 22 22 2ASBASB SASA1 1coscos ASBASBSASA2 216165 5 1515,所以所以SASA8080,SASA4 4 5.5.因为因为SASA与底面所与底面所成的角为成的角为45,所以45,所以SASSAS45,45,ASAS-6-6-2 22 2SASAcos 45cos 454 4 5 52 2 10.10.所以底面周长所以底面周长2 21 1l l22ASAS4 4 1010,所以圆锥的侧面积为,所以圆锥的侧面积为2 244 5 5
11、44 10104040 2 2.答案:答案:4040 2 2题型三题型三与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题1 1(2022高考全国卷)三棱锥(2022高考全国卷)三棱锥P P ABCABC的的四个顶点在球四个顶点在球O O的球面上,的球面上,PAPAPBPBPCPC,ABCABC是边长为是边长为 2 2 的正三角形,的正三角形,E E,F F分别是分别是PAPA,ABAB的的中点,中点,CEFCEF90,那么球90,那么球O O的体积为的体积为()A A8 8 6 6C C2 2 6 6B B4 4 6 6D D 6 6解析:选解析:选 D D因为点因为点E E,F F分别为分别为PAP
12、A,ABAB的的中点,所以中点,所以EFEFPBPB,-7-7-因因为为 CEFCEF9090,所所以以EFEFCECE,所所以以PBPBCECE.取取ACAC的中点的中点D D,连接,连接BDBD,PDPD,易证,易证ACAC平平面面BDPBDP,所以所以PBPBACAC,又,又ACACCECEC C,ACAC,CECE平面平面PACPAC,所以,所以PBPB平面平面PACPAC,所以所以PBPBPAPA,PBPBPCPC,因为,因为PAPAPBPBPCPC,ABCABC为正三角形,为正三角形,所以所以PAPAPCPC,即,即PAPA,PBPB,PCPC两两垂直,将两两垂直,将三棱锥三棱锥P
13、 P-ABCABC放在正方体中如下图放在正方体中如下图 因为因为ABAB2 2,所以该正方体的棱长为所以该正方体的棱长为 2 2,所以该正方体的体对,所以该正方体的体对角线长为角线长为 6 6,所以三棱锥,所以三棱锥P P ABCABC的外接球的半径的外接球的半径6 64 44 4 6 6 3 33 3R R,所以球所以球O O的体积的体积V V R R 6 62 23 33 3 2 2,应选,应选 D D-8-8-2 2(2022高考全国卷)设(2022高考全国卷)设A A,B B,C C,D D是是同一个半径为同一个半径为 4 4 的球的球面上四点,的球的球面上四点,ABCABC为等为等边
14、三角形且其面积为边三角形且其面积为 9 9 3 3,那么三棱锥,那么三棱锥D D ABCABC体体积的最大值为积的最大值为()A A1212 3 3C C2424 3 3B B1818 3 3D D5454 3 3解析:选解析:选 B B设等边三角形设等边三角形ABCABC的边长为的边长为x x,1 12 2那么那么x xsinsin 60609 9 3 3,得,得x x6.6.设设ABCABC的外接的外接2 26 6圆半径为圆半径为r r,那么,那么 2 2r r,解得,解得r r2 2 3 3,sin 60sin 60所所 以以 球球 心心 到到 ABCABC所所 在在 平平 面面 的的
15、距距 离离d d4 4(2(2 3)3)2 2,那么点,那么点D D到平面到平面ABCABC的最大距的最大距离离d d1 1d d4 46 6,所以三棱锥所以三棱锥D D ABCABC体积的最大值体积的最大值1 11 1V VmaxmaxS SABCABC6 6 99 3 3661818 3.3.3 33 33 3(2022高考全国卷)圆柱的高为(2022高考全国卷)圆柱的高为 1 1,它,它的两个底面的圆周在直径为的两个底面的圆周在直径为 2 2 的同一个球的球面的同一个球的球面2 22 2-9-9-上,那么该圆柱的体积为上,那么该圆柱的体积为()A AC C2 233B B4 4D D4
16、4解析:选解析:选 B B设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为r r,那么,那么 1 1 2 23 33 3r r1 1 ,所以,圆柱的体积,所以,圆柱的体积V V 1 14 44 4 2 2 2 22 233,应选,应选 B B4 4 明考情明考情 1 1“立体几何在高考中一般会以“两小一“立体几何在高考中一般会以“两小一大或“一小一大的命题形式出现,这“两大或“一小一大的命题形式出现,这“两小或“一小主要考查三视图,几何体的外表小或“一小主要考查三视图,几何体的外表积与体积,空间点、线、面的位置关系积与体积,空间点、线、面的位置关系(特别是平特别是平行与垂直行与垂直)2 2考查一个小题时,
17、考查一个小题时,此小题一般会出现在第此小题一般会出现在第4 48 8 题的位置上,难度一般;考查两个小题时,题的位置上,难度一般;考查两个小题时,其中一个小题难度一般,另一个小题难度稍高,其中一个小题难度一般,另一个小题难度稍高,-10-10-一般会出现在第一般会出现在第 10101616 题的位置上,题的位置上,此小题虽然此小题虽然难度稍高,主要表达在计算量上,但仍是对根底难度稍高,主要表达在计算量上,但仍是对根底知识、根本公式的考查知识、根本公式的考查空间几何体的三视图空间几何体的三视图 考法全练考法全练 1 1(2022福州市质量检测(2022福州市质量检测)棱长为棱长为 1 1 的正方
18、的正方体木块体木块ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的直观图如下图,的直观图如下图,平面平面过过点点D D且平行于平面且平行于平面ACDACD1 1,那么该木块在平面那么该木块在平面内内的正投影面积是的正投影面积是()3 3A A 3 3B B3 32 2C C 2 2D D1 1解解析析:选选 A A棱棱长长为为 1 1 的的正正方方体体木木块块ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1在平面在平面内的正投影是三个全等的内的正投影是三个全等的-11-11-菱形,如图,正投影可以看成两个边长为菱形,如图,正投影可以看成两个边长为 2 2的
19、等的等边三角形,边三角形,所以木块在平面所以木块在平面内的正投影面积是内的正投影面积是1 13 322 2 2 2 2 3.3.2 22 22 2(2022福州市第一学期抽测(2022福州市第一学期抽测)如图为一圆如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图,那么相应的侧视柱切削后的几何体及其正视图,那么相应的侧视图可以是图可以是()解析:选解析:选 B B由题意,根据切削后的几何体由题意,根据切削后的几何体及其正视图,可得相应的侧视图的切口为椭圆,及其正视图,可得相应的侧视图的切口为椭圆,应选应选 B B3 3(2022江西省五校协作体试题(2022江西省五校协作体试题)如图如图 1 1,在三棱锥在
20、三棱锥D D ABCABC中,中,ACACBCBCCDCD2 2,CDCD平面平面-12-12-ABCABC,ACBACB9090.假设其正视图、假设其正视图、俯视图如图俯视图如图 2 2,那么其侧视图的面积为那么其侧视图的面积为()A A 6 6B B2 2C C 3 3D D 2 2解析:选解析:选 D D由题意知侧视图为直角三角形,由题意知侧视图为直角三角形,因为正视图的高即几何体的高,所以正视图的高因为正视图的高即几何体的高,所以正视图的高为为 2 2,那么侧视图的高,即一直角边长也为,那么侧视图的高,即一直角边长也为 2.2.因因为俯视图为边长为为俯视图为边长为 2 2 的等腰直角三
21、角形,所以侧的等腰直角三角形,所以侧视图的另一直角边长为视图的另一直角边长为2.2.所以侧视图的面积为所以侧视图的面积为2 2,应选,应选 D D4 4(2022江西八所重点中学联考(2022江西八所重点中学联考)某四面体某四面体的三视图如下图,那么该四面体最长的棱长与最的三视图如下图,那么该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是短的棱长的比值是()-13-13-5 5A A2 23 3 5 5C C5 5B B 2 23 3D D2 2解析:选解析:选 D D在棱长为在棱长为 2 2 的正方体中复原该的正方体中复原该四面体四面体P P ABCABC.如下图,如下图,其中最短的棱为其中最短的棱为
22、ABAB和和BCBC,最长的棱为最长的棱为PCPC.因为正方体的棱长为因为正方体的棱长为 2 2,所以,所以ABABBCBC2 2,PCPC3 3,所以该四面体最长的棱长与最,所以该四面体最长的棱长与最3 3短的棱长的比值为短的棱长的比值为,应选,应选 D D2 25 5(2022湖南省五市十校联考(2022湖南省五市十校联考)某四棱锥的某四棱锥的三视图如下图,其侧视图是等腰直角三角形,俯三视图如下图,其侧视图是等腰直角三角形,俯视图的轮廓是直角梯形,那么该四棱锥的各侧面视图的轮廓是直角梯形,那么该四棱锥的各侧面-14-14-面积的最大值为面积的最大值为()A A8 8C C8 8 2 2B
23、B4 4 5 5D D1212 2 2解析:选解析:选 D D由三视图可知该几何体是一个由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形,高为底面为直角梯形,高为 4 4 的四棱锥,如图,其中的四棱锥,如图,其中侧棱侧棱PAPA平面平面ABCDABCD,PAPA4 4,ABAB4 4,BCBC4 4,CDCD6 6,所以,所以ADAD2 2 5 5,PDPD6 6,PBPB4 4 2 2,连接,连接ACAC,那么那么ACAC4 4 2 2,所以,所以PCPC4 4 3 3,显然在各侧面面,显然在各侧面面积中积中PCDPCD的面积最大,又的面积最大,又PDPDCDCD6 6,所以,所以PCPC边上的高为
24、边上的高为 4 4 3 3 2 21 1 2 2 6 6,所以,所以S SPCDPCD6 6 2 2 2 2 2 244 3 322 6 61212 2 2,故该四棱锥的各侧面面积,故该四棱锥的各侧面面积的最大值为的最大值为 1212 2 2,应选,应选 D D-15-15-(1)(1)识别三视图的步骤识别三视图的步骤应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状,明确几何体的摆放位置具体形状,明确几何体的摆放位置根据三视图的有关规那么先确定正视图,根据三视图的有关规那么先确定正视图,再确定俯视图,最后确定侧视图再确定俯视图,最后确定侧视图被遮住的轮廓线应为虚
25、线被遮住的轮廓线应为虚线(2)(2)由三视图复原到直观图的思路由三视图复原到直观图的思路根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面根据正根据正(主主)视图或侧视图或侧(左左)视图确定几何体视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置棱、面的位置确定几何体的直观图形状确定几何体的直观图形状(3)(3)由几何体的局部视图判断剩余的视图的由几何体的局部视图判断剩余的视图的思路思路-16-16-先根据的一局部视图,复原、推测直观图的先根据的一局部视图,复原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下局部视图的可能形可能形式,然后再找
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