(新课标)2022版高考数学二轮复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积学案文新人教.pdf
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1、新课标新课标 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习专题三立体几何第复习专题三立体几何第 1 1讲空间讲空间几何体的三视图、外表积及体积几何体的三视图、外表积及体积学案文新人教学案文新人教 A A 版版第第 1 1 讲讲空间几何体的三视图、外表积及体积空间几何体的三视图、外表积及体积 做真题做真题 1 1(2022高考全国卷)中国古建筑借助榫(2022高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出局部叫榫头,卯将木构件连接起来构件的凸出局部叫榫头,凹进局部叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是凹进局部叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木榫
2、头假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,那么咬合时带卯眼的木构件构件咬合成长方体,那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是的俯视图可以是()解析:选解析:选 A.A.由题意知,在咬合时带卯眼的木由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选线,结合榫头的位置知选 A.A.2 2(2022高考全国卷)(2022高考全国卷)某圆柱的高为某圆柱的高为 2 2,底面周长为,底面周长为 1616,其三视图,其三视图-2-2-如图圆柱外表上的点如图圆柱外表上的点M M在正视图上的对应点为在正视图上的对应点
3、为A A,圆柱外表上的点,圆柱外表上的点N N在左视图上的对应点为在左视图上的对应点为B B,那么在此圆柱侧面上,从那么在此圆柱侧面上,从M M到到N N的路径中,最短的路径中,最短路径的长度为路径的长度为()A A2 2 1717B B2 2 5 5C C3 3解析:解析:选选B.B.设过点设过点M M的高与圆柱的下底面交于点的高与圆柱的下底面交于点O O,将圆柱沿将圆柱沿MOMO剪开,那么剪开,那么M M,N N的位置如下图,连的位置如下图,连接接MNMN,易知,易知OMOM2 2,ONON4 4,那么从,那么从M M到到N N的最短的最短路径为路径为OMOM2 2ONON2 2 2 22
4、 24 42 22 2 5.5.3 3(2022高考全国卷)圆柱的上、(2022高考全国卷)圆柱的上、下底面下底面的中心分别为的中心分别为O O1 1,O O2 2,过直线过直线O O1 1O O2 2的平面截该圆柱的平面截该圆柱所得的截面是面积为所得的截面是面积为 8 8 的正方形,那么该圆柱的的正方形,那么该圆柱的外表积为外表积为()A A1212 2 2B B1212D D2 2-3-3-C C8 8 2 2D D1010解析:选解析:选 B.B.因为过直线因为过直线O O1 1O O2 2 的平面截该圆的平面截该圆柱所得的截面是面积为柱所得的截面是面积为 8 8 的正方形,所以圆柱的的
5、正方形,所以圆柱的高为高为 2 2 2 2,底面圆的直径为,底面圆的直径为 2 2 2 2,所以该圆柱的,所以该圆柱的外表积为外表积为 22(2)2)2 2 2 22 2 2 21212.4 4(2022高考全国卷)学生到工厂劳动实(2022高考全国卷)学生到工厂劳动实践,利用践,利用3D3D 打印技术制作模型如图,该模型为打印技术制作模型如图,该模型为长方体长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1挖去四棱锥挖去四棱锥O O EFGHEFGH后所得的后所得的几何体,其中几何体,其中O O为长方体的中心,为长方体的中心,E E,F F,G G,H H分分别为所在棱
6、的中点,别为所在棱的中点,ABABBCBC6 6 cmcm,AAAA1 14 4 cm.3Dcm.3D打印所用原料密度为打印所用原料密度为0.90.9 g/cmg/cm3 3.不考虑打印损耗,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为制作该模型所需原料的质量为_g._g.2 2解析:由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱解析:由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,对角线长分别为形,对角线长分别为 6 cm6 cm 和和 4 cm4 cm,-4-4-1 11 1故故V V挖去的四棱锥挖去的四棱锥 46346312(cm12(cm3 3)3 32 2又又V V长方体长方体664664144(cm144(c
7、m),所以模型的体积为所以模型的体积为3 3V V长方形长方形V V挖去的四棱锥挖去的四棱锥1441441212132(cm132(cm),所以制作该模型所需原料的质量为所以制作该模型所需原料的质量为1320.91320.9118.8(g)118.8(g)答案:答案:118.8118.8 明考情明考情 1 1“立体几何在高考中一般会以“两小一“立体几何在高考中一般会以“两小一大或“一小一大的命题形式出现,这“两大或“一小一大的命题形式出现,这“两小或“一小主要考查三视图,几何体的外表小或“一小主要考查三视图,几何体的外表积与体积,空间点、线、面的位置关系积与体积,空间点、线、面的位置关系(特别
8、是平特别是平行与垂直行与垂直)2 2考查一个小题时,考查一个小题时,此小题一般会出现在第此小题一般会出现在第4 48 8 题的位置上,难度一般;考查两个小题时,题的位置上,难度一般;考查两个小题时,其中一个小题难度一般,另一个小题难度稍高,其中一个小题难度一般,另一个小题难度稍高,一般会出现在第一般会出现在第 10101616 题的位置上,题的位置上,此小题虽然此小题虽然-5-5-3 3难度稍高,主要表达在计算量上,但仍是对根底难度稍高,主要表达在计算量上,但仍是对根底知识、根本公式的考查知识、根本公式的考查空间几何体的三视图空间几何体的三视图(根底型根底型)知识整合知识整合 一个物体的三视图
9、的排列规那么一个物体的三视图的排列规那么俯视图放在正俯视图放在正(主主)视图的下面,视图的下面,长度与正长度与正(主主)视图的长度一样,侧视图的长度一样,侧(左左)视图放在正视图放在正(主主)视图的视图的右面,高度与正右面,高度与正(主主)视图的高度一样,宽度与俯视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样视图的宽度一样 即“长对正、即“长对正、高平齐、高平齐、宽相等宽相等 考法全练考法全练 1 1 一个简单几何体的正视图、一个简单几何体的正视图、侧视图如下图,侧视图如下图,那么其俯视图可能是那么其俯视图可能是()长、宽不相等的长方形;正方形;圆;长、宽不相等的长方形;正方形;圆;-6-6-椭圆椭圆
10、A AB BC CD D解析:选解析:选 B.B.由题设条件知,正视图中的长与由题设条件知,正视图中的长与侧视图中的长不一致,对于,俯视图是长方形侧视图中的长不一致,对于,俯视图是长方形是可能的,比方此几何体为一个长方体时,满足是可能的,比方此几何体为一个长方体时,满足题意;对于,由于正视图中的长与侧视图中的题意;对于,由于正视图中的长与侧视图中的长不一致,故俯视图不可能是正方形;对于,长不一致,故俯视图不可能是正方形;对于,由于正视图中的长与侧视图中的长不一致,故俯由于正视图中的长与侧视图中的长不一致,故俯视图不可能是圆形;对于,如果此几何体是一视图不可能是圆形;对于,如果此几何体是一个椭圆
11、柱,满足正视图中的长与侧视图中的长不个椭圆柱,满足正视图中的长与侧视图中的长不一致,故俯视图可能是椭圆综上知是可能一致,故俯视图可能是椭圆综上知是可能的图形的图形2 2某多面体的三视图如下图,某多面体的三视图如下图,其中正视图和其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为形的边长为 2 2,俯视图为等腰直角三角形该多,俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有假设干个是梯形,这些梯形的面体的各个面中有假设干个是梯形,这些梯形的面积之和为面积之和为()-7-7-A A1010C C1414B B1212D D1616解析:选解析:选B
12、.B.由三视图可知该多面体是一个组由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为锥,等腰直角三角形的腰长为 2 2,直三棱柱的高,直三棱柱的高为为 2 2,三棱锥的高为三棱锥的高为 2 2,易知该多面体有易知该多面体有 2 2 个面是个面是2 24 422梯形,所以这些梯形的面积之和为梯形,所以这些梯形的面积之和为2 2221212,应选,应选 B.B.3 3如图如图 1 1,在三棱锥,在三棱锥D D ABCABC中,中
13、,ACACBCBCCDCD2 2,CDCD平面平面ABCABC,ACBACB9090.假设其正视图、假设其正视图、俯视图如图俯视图如图2 2 所示,那么其侧视图的面积为所示,那么其侧视图的面积为()-8-8-A.A.6 6C.C.3 3B B2 2D.D.2 2解析:选解析:选 D.D.由题意知侧视图为直角三角形,由题意知侧视图为直角三角形,因为正视图的高即几何体的高,所以正视图的高因为正视图的高即几何体的高,所以正视图的高为为 2 2,那么侧视图的高,即侧视图一直角边长也,那么侧视图的高,即侧视图一直角边长也为为 2.2.因为俯视图为边长为因为俯视图为边长为 2 2 的等腰直角三角形,的等腰
14、直角三角形,所以侧视图的另一直角边长为所以侧视图的另一直角边长为2.2.所以侧视图的所以侧视图的面积为面积为 2 2,应选,应选 D.D.空间几何体的外表积与体积空间几何体的外表积与体积(综合型综合型)知识整合知识整合 柱体、锥体、台体的侧面积公式柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)(1)S S柱侧柱侧chch(c c为底面周长,为底面周长,h h为高为高)1 1(2)(2)S S锥侧锥侧chch(c c为底面周长,为底面周长,h h为斜高为斜高)2 2-9-9-1 1(3)(3)S S台侧台侧(c cc c)h h(c c,c c分别为上下分别为上下2 2底面的周长,底面的周长,h h为斜高为
15、斜高)柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式(1)(1)V V柱体柱体ShSh(S S为底面面积,为底面面积,h h为高为高)1 1(2)(2)V V锥体锥体ShSh(S S为底面面积,为底面面积,h h为高为高)3 31 1(3)(3)V V台台(S SSSSSS S)h h(S S,S S分别为分别为3 3上下底面面积,上下底面面积,h h为高为高)()(不要求记忆不要求记忆)典型例题典型例题(1)(2022广州市综合检测(1)(2022广州市综合检测(一一)一个一个几何体的三视图如下图,其中正视图和俯视图中几何体的三视图如下图,其中正视图和俯视图中的四边形是边长为的四边形是
16、边长为 2 2 的正方形,那么该几何体的的正方形,那么该几何体的外表积为外表积为()-10-10-1313A.A.B B772 21515C.C.2 2D D88(2)(2022高考浙江卷(2)(2022高考浙江卷)祖暅是我国南北朝祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,那么时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,那么积不容异称为祖暅原理,利用该原理可以得到积不容异称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式柱体的体积公式V V柱体柱体ShSh,其中,其中S S是柱体的底面是柱体的底面积,积,h h是柱体的高是柱体的高 假设某柱体的三视图如下图假设某柱体的三视图如下图(单单位:位
17、:cm)cm),那么该柱体的体积那么该柱体的体积(单位:单位:cmcm3 3)是是()A.158A.158C.182C.182B.162B.162D.324D.324【解析】【解析】(1)(1)由三视图可知该几何体是一个由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体,那么所圆柱体和一个球体的四分之一的组合体,那么所-11-11-1 1求的几何体的外表积为求的几何体的外表积为441 12 21 12 24 41 1 2 21 12 27 7,选,选 B.B.(2)(2)2 2如图,该柱体是一个直五棱柱,棱柱的高为如图,该柱体是一个直五棱柱,棱柱的高为6 6,底面可以看作由两个直角梯
18、形组合而成,底面可以看作由两个直角梯形组合而成,其中其中一个上底为一个上底为 4 4,下底为,下底为 6 6,高为,高为 3 3,另一个的上底,另一个的上底为为 2 2,下底为,下底为 6 6,高为,高为 3.3.2 26 64 46 6那么底面面积那么底面面积S S33332727,2 22 2因此,因此,该柱体的体积该柱体的体积V V276276162.162.应选应选 B.B.【答案】【答案】(1)B(1)B(2)B(2)B(1)(1)求几何体的外表积的方法求几何体的外表积的方法求外表积问题的根本思路是将立体几何问求外表积问题的根本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题,即空间图形平面化
19、,这题转化为平面几何问题,即空间图形平面化,这-12-12-是解决立体几何的主要出发点是解决立体几何的主要出发点求不规那么几何体的外表积时,通常将所求不规那么几何体的外表积时,通常将所给几何体分割成根本的柱、锥、台体,先求这些给几何体分割成根本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的外表积,再通过求和或作差得此柱、锥、台体的外表积,再通过求和或作差得此几何体的外表积几何体的外表积(2)(2)求空间几何体体积的常用方法求空间几何体体积的常用方法公式法:直接根据相关的体积公式计算公式法:直接根据相关的体积公式计算等积法:根据体积计算公式,通过转换空等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和
20、高使得体积计算更容易,或是间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等求出一些体积比等割补法:把不能直接计算体积的空间几何割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形,转化为易计算体积的几体进行适当分割或补形,转化为易计算体积的几何体何体 对点训练对点训练 1 1(2022唐山市摸底考试(2022唐山市摸底考试)某几何体的三视某几何体的三视图如下图图如下图(俯视图中曲线为四分之一圆弧俯视图中曲线为四分之一圆弧),那么,那么该几何体的外表积为该几何体的外表积为()-13-13-A A1 14 4C C2 24 4解析:解析:B B3 32 2D D4 4选选 D.D.由
21、题设知,该几何体是棱长为由题设知,该几何体是棱长为1 1 的正方的正方1 1体被截去底面半径为体被截去底面半径为 1 1 的的 圆柱后得到的,如下圆柱后得到的,如下4 41 12 2图,所以外表积图,所以外表积S S2(112(11 1 1)4 41 12(11)2(11)2112114.4.应选应选 D.D.4 42 2(2022长春市质量监测(2022长春市质量监测(二二)一个几何体一个几何体-14-14-的三视图如图中粗线所示,每个小方格都是边长的三视图如图中粗线所示,每个小方格都是边长为为 1 1 的正方形,那么这个几何体的体积为的正方形,那么这个几何体的体积为()A A3232323
22、2C.C.3 36464B.B.3 3D D8 8解析:选解析:选 B.B.如下图四棱锥如下图四棱锥P P ABCDABCD为该几何为该几何体的直观图,体的直观图,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为 4 4 的正方形的正方形取取CDCD的中点为的中点为E E,连接,连接PEPE,那么,那么PEPE平面平面ABCDABCD,1 1且且PEPE4.4.所以这个几何体的体积所以这个几何体的体积V V 4444443 36464,应选,应选 B.B.3 33 3(2022长春市质量监测(2022长春市质量监测(一一)一所有棱长一所有棱长-15-15-都都是是2 2的的三三棱棱锥锥,那那么么该该三
23、三棱棱锥锥的的体体积积为为_解析:解析:记所有棱长都是记所有棱长都是 2 2的三棱锥为的三棱锥为P P ABCABC,如下图,如下图,取取BCBC的中点的中点D D,连接连接ADAD,PDPD,作作POPOADAD6 6于点于点O O,那么,那么POPO平面平面ABCABC,且,且OPOP 2 23 32 2 3 31 11 13 3,故三棱锥故三棱锥P P ABCABC的体积的体积V VS SABCABCOPOP 3 33 33 34 42 2 3 31 1(2)2).3 33 32 21 1答案:答案:3 3与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题(综合型综合型)典型例题典型例题 (1)(
24、1)圆柱的高为圆柱的高为 2 2,底面半径为,底面半径为 3 3,假设,假设-16-16-该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,那该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,那么这个球的外表积等于么这个球的外表积等于()1616A A4 4B.B.3 33232C.C.3 3D D1616(2)(2022洛阳尖子生第二次联考(2)(2022洛阳尖子生第二次联考)四棱锥四棱锥S S ABCDABCD的所有顶点都在同一个球面上,的所有顶点都在同一个球面上,底面底面ABCDABCD是正方形且和球心是正方形且和球心O O在同一平面内,当此四棱锥在同一平面内,当此四棱锥的体积取得最大值时,的体积取得最大值
25、时,其外表积等于其外表积等于 8 88 8 3 3,那那么球么球O O的体积等于的体积等于()3232A.A.3 3C C1616【解析】【解析】3232 2 2B.B.3 31616 2 2D.D.3 3(1)(1)如图,如图,由题意知圆柱的中心由题意知圆柱的中心O O为这个球的为这个球的-17-17-球球心心,于于是是,球球的的半半径径r rOBOBOAOAABAB1 1 3 3 2.2.故这个球的外表积故这个球的外表积S S4 4r r1616.应选应选 D.D.(2)(2)由题意得,由题意得,当此四棱锥的体积取得最大值当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥如图,连接时,四棱锥为
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