概率统计第一章 随机事件与概率.doc

第一章 随机事件与概率第二篇   概率统计前 言概率论和数理统计的起源及研究内容概率论和数理统计起源于赌博：分赌注问题.随着科学技术的不断发展，它的结论和方法已经广泛应用于自然科学的各个方面，甚至一些纯人文的社会学科如政治、社会、语言、历史等也可觅得其踪影正如拉普拉斯（Laplace 1812）的概率的分析基础中写的那样：“值得注意的是，概率论者们起源于机会游戏的科学，终将成为人类知识宝库中最重要的组成部分生活中那些最重要的问题绝大部分正是概率论问题”因此概率论和数理统计已经成为科技工作者必备的一种数学工具.在我们的实际生活和工作中发生的现象是多种多样的，这些现象大致可以分成两类：确定性现象：在一定条件下必定会发生或必定不会发生的现象.随机现象：在一定条件下有多种可能结果，且事先无法预知哪种结果会出现的现象.观察下表中的各种现象：条件结果例1在标准大气压下，纯水加热到100水必然会沸腾确定性现象例2在常温下生铁必定不会熔化确定性现象例3投掷一枚质地均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面随机现象例4从含有5个次品的一批产品中，任意抽取2件次品件数可能是0，1，2随机现象例5投掷一枚质地均匀的出现的点数可能是1，2，3，4，5，6.随机现象对于随机现象，人们事先不能断定它将发生哪一种结果.从表面上看，好象其结果纯粹是偶然性在起支配作用，其实不然.实践证明：随机现象在相同条件下重复进行多次观察，它的结果会呈现出一定的规律性，这种规律性称为统计规律性.概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 第一章 随机事件与概率一、教学要求 1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算 2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算 4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算 5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率本章重点：随机事件的概率计算第一节 样本空间与随机事件一 随机试验与随机事件1随机试验(Random experiment)研究和揭示随机现象的统计规律性，就需要在相同条件下重复地进行多次试验（观察）.这里所说的试验应该具有下列三个特性：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；（可重复进行） (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；（结果明确）(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现（不可预知） 具有上述三个特性的试验称为随机试验（简称试验），通常记为：等. 随机试验的例子：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况：抛一颗骰子，观察出现的点数：记录某交换台在一个小时内接到的电话呼唤次数.：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命（以小时计）【注1】 “试验”是一个很宽泛的术语，包括实验和对自然现象的观察2随机事件（Random event）1）随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、发生与否要等到试验有了结果才能知晓，而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常用大写英文字母表示事件2）必然事件和不可能事件在一定条件下必然要发生的事件，称为必然事件(记作)；在一定条件下必然不发生的事件，称为不可能事件(记作). 把它们看作两种特殊的随机事件3）基本事件：只变包含一个试验结果，不能再分解的最简单的随机事件称为基本事件.4）复合事件：由两个或两个以上的基本事件组成的事件称为复合事件.二 样本空间（Sample space）与样本点（Sample point）1. 样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示.2. 其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作 3.随机事件的集合表示：事件可以看成是试验的样本空间的子集特殊的事件：基本事件、必然事件、不可能事件事件A（在一次试验中）发生 试验中有利于A的样本点出现【注2】 随机试验样本空间样本空间由试验目的所决定确切而恰当地建立样本空间是解决问题的关键，建立样本空间的核心之处在于弄清随机试验的最终的基本结果是什么。例1. 上述试验的样本空间：H, T； ：1, 2, 3, 4, 5, 6； ：； ：例2. 口袋中有红，黄，蓝色球各一个，不返回地取两次（有返回地取两次），每次取一个球，考察球的颜色，试写出样本空间.解：不返回地取两次（红，黄），（红，蓝），（黄，红），（黄，蓝），（蓝，红），（蓝，黄）有返回地取两次（红，红），（红，黄），（红，蓝），（黄，红），（黄，黄），（黄，蓝），（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，蓝）三 事件间的关系与运算1事件的关系及运算 1) 包含：若事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作(或) 2) 相等：若两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作 3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作；“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和，记作（简记为）4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作(简记为)；“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件，记作（简记为或)5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即，那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件中任意两个事件不能同时发生，即(1i<jn)，那么，称事件 互不相容6) 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即且，那么，称A与B是对立的事件A的对立事件(或逆事件)记作7) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作 (或) 常用等式：如A-B=A-AB 或 A-B=等8）完备事件组：如果个事件，满足 则称构成一个完备事件组.将事件看作集合后，就可以用集合的观点来处理事件集合之间的关系和运算可以不加证明地移植过来事件的关系与运算 记号 概率论含义 图示（略） 示例（掷骰子）包含 若A发生，则B 必发生相等 ，和 A与B至少有一个发生积 (或） A与B同时发生差 A发生但B不发生互斥 A与B互斥 A与B不能同时发生对立 A与B对立 若A不发生，则B一定发生逆 A不发生【注3】 和、积运算可推广到有限个或可列无穷多个：，【注4】 A与B互斥：；A与B对立：且2. 事件的运算规律1) 交换律：对任意两个事件和B有，2) 结合律：对任意事件A，B，C有， 3) 分配律：对任意事件A，B，C有， 4) 德·摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有, .例3.设为三个事件，试用的运算表示下列事件：1）A发生，B与C不发生 2）中至少有一个发生 3）都不发生 4）都发生 5）中不多于一个发生 6）中至少有两个发生 例4. 从一批产品中每次取厂出一个产品进行检验，不返回抽样，用表示事件“第次取到合格品”（ ）.试用表示下列事件：1）三次都取到合格品 2）三次中只有第一次取到合格品 3）三次中只有一次取到合格品 4）三次中至少有一次取到合格品 5）三次都没有取到合格品 6）三次中恰有两次取到合格品 第二节 概率的定义随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，那么能否用一个数来度量随机事件发生的可能性大小呢？为此，首先引进随机事件的频率的概念.一 频率定义 在相同条件下将随机试验独立重复进行了n次, 随机事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数(Frequency)，则比值n称为随机事件A发生的频率(Relative frequency)，记作，即 。 显然有.二. 概率的统计定义大量的实验证实（历史上也确实有人做过蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）等，见表1.1），当试验次数很大时，频率具有某种稳定性，即当n很大时，fn(A)以某种极限形式收敛于常数p统计学家通常将其看作事件A发生的概率，这就是概率的统计定义表1.1 历史上抛均匀硬币的若干结果实 验 者nnHfn(H)德 . 摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K 皮尔逊1200060190.5016K 皮尔逊24000120120.5005定义 在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率在一个稳定的值(01)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值为概率，即【注1】概率统计定义的重要性：* 提供了估计概率的方法，实用性强；* 提供了检验理论是否正确的准则（诉诸试验）.【注2】概论与频率的关系* 频率是概率的近似值* 频率是一个随机数* 概率是一个确定数* 概率是频率的稳定值三 概率的古典定义1. 古典概率模型：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(Classical probability model)：1) 有限性： 试验的样本空间是个有限集，不妨记作;2) 等可能性：在每次试验中，每个样本点(）出现的概率相同，即2. 概率的古典定义：在古典概型中，规定事件A的概率为四 几何概型及几何概率 (4)1. 几何概型 (Geometric probability model)指的是具有如下特征的随机试验：1） 样本空间充满空间某区域（记）；2） 样本点落在的子区域中的可能性只与其大小有关，而与其所在的位置无关2. 几何概率的定义： 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为·第三节 概率的计算一. 基本性质1.（非负性）2.（规范性）3.（有限可加性）若与互不相容，则.推广到有限个则有：如果两两互不相容，即，则4.（互补性） 5.（可减性）如果，则6. （单调性）如果，则7. （加法公式）对于任意两个事件A，B，有【注3】 加法公式的推广：三个事件：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)二. 古典概率的计算1. 两个计数原理1）加法原理：完成某项工作有类不同的方法：在第一类方法中有种方法，在第二类方法中有种方法，在第类方法中有种方法，那么完成这件事共有种不同的方法.2）乘法原理：完成某项工作必须经过个步骤，第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，第个步骤有种方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.3）两个计数原理的区别：加法原理：完成一件事情与分类有关.即每一类各自独立完成，此事即可完成.乘法原理：完成一件事情与步骤有关.即依次完成每一步骤，此事才能完成.2. 排列和组合1）排列：从个不同的元素里，任取个元素，按照一定的顺序排成一排，称为从个不同的元素里取出个元素的一个排列，排列总数记为.当时的排列称为全排列，记为. ； ；规定 .2）组合：从个不同的元素里，任取个元素，组成一组，称为从个不同的元素里取出个元素的一个组合，组合总数记为或. ； ；规定.3）排列和组合的关系：4）排列和组合的本质区别：排列与次序有关，而组合与次序无关.3. 概率的计算举例利用概率的古典定义来计算概率的关键是计算与，因此，必须明确考察的样本空间及事件所含有的样本点个数，这就需要用排列和组合来计算.古典概率计算的具体步骤：1）确定基本事件总数 ； 2）确定中包含的基本事件数 ；3）求出 .下面举例说明.例1. 从1到10这十个自然数中任意取一个数.（1） 求随机试验的样本空间（2） 设事件=“任意取一个数是奇数”，求（3） 设事件=“任意取一个数是5的倍数”，求（4） 求解：（1）（2）事件有5个样本点：=1，3，5，7，9 ，所以（3）事件有2个样本点：=5，10 ，所以（4）事件表示：“任意取一个数是奇数或是5的倍数”，即=1，3，5，7，9，10，所以 .例2. 掷两颗均匀的骰子,求出现点数之和为8的概率解：掷两颗均匀的骰子，则共有36种可能结果，：“点数之和为8”， =（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共有5种可能结果.所以 .例3. 口袋中有重量相等大小相同的20个小球，其编号为120.（1） 从口袋中任意取一球，事件=“取到前10个号码的球”，求：（2） 每次从口袋中任意取二球，事件=“取到的两球都是前10个号码的球”，求：（3） 每次从口袋中任意取一球，不返回地取两次，事件=“每次取到的球都是前10个号码的球”，求：（4） 每次从口袋中任意取一球，不返回地取两次，事件=“第二次才取到偶数号码的球”，求：（5） 每次从口袋中任意取一球，不返回地取两次，事件=“第二次取到偶数号码的球”，求：（6） 每次从口袋中任意取一球，有返回地取两次，事件=“第二次才取到偶数号码的球”，求：解：（1） . （2）（3） （4）（5） （6） .例4（摸球问题）口袋中有4个白球2个红球从中每次任取一球，有返回取两次，求（1）取到的两球都是白球的概率；（2）取到的两球颜色相同的概率；（3）取到的两球中至少有一只是白球的概率.解：设A：“取到的两球都是白球”B：“取到的两球都是红球”C：“取到的两球中至少有一只是白球”则“取到的两球颜色相同”即为而且.（1） （2）； （3）因为，所以 .【注4】一般模型：有N个球,其中有M个红球从中任取 n个，则恰有m（m M）个红球的概率为（称为超几何分布）.例5 (抽签问题) 袋中有a个白球b个黑球,现有a+b个人依次从中取一球,求第k (1 k a+b)个人取到白球的概率若(1) 无放回抽取；(2) 有放回抽取设：“第k (1 k a+b)个人取到白球”解：（1）无放回抽取 ； ；（2）有放回抽取显然有 .【注5】注意到P（A）与无关，即每个人取球的先后次序可以不同，但各人取得白球的概率是一样的.所以在抽签时先抽后抽中签的概率是相同的，用抽签方式来进行分配是公正的.例6 （分球入盒问题） 将n个球随机地放入N (Nn)个盒子中去, 求（1）指定的n个盒子各有一球的概率； （2）恰有n个盒子各有一球的概率. 例7（生日问题）：随机选取n(n365)个人，令A= “n个人中至少有两个人的生日相同”，则=“n个人的生日全部都不相同” 所以 经计算可得下述结果：n 10 20 2330 4050 100P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.890.97 0.9999997 例8 （会面问题） 甲、乙两人相约在0到1（单位：小时）这段时间内在预定地点会面先到的人等候另一个人，经过20分钟后离去设每人在0到1这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连求甲、乙两人能会面的概率解 记A=甲、乙两人能会面设甲、乙两人到达的时刻分别是x、y，则 ， ，故 第四节 条件概率及条件概率三公式一 条件概率（Conditional probability） 1. 条件概率的定义引例 某班有30名学生，其中20名男生，10名女生.身高1.70米以上的有15名，其中12名男生，3名女生.（1）任选1名学生，问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少？（2）任选1名学生，选出来后发现是男生，问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少？解：设B：“是男生”；A：“身高在1.70米以上”（1）P（A）= ；（2）第二个问题是一种新的提法，因为任选1名学生，选出来后发现是男生，这说明B已经发生了，因此它是在B“是男生” 发生的条件下求事件A“身高在1.70米以上”的概率是多少？我们把这种概率称为：在B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A |B).此时样本空间不再是全部的30名学生，而是缩减后的样本空间，即20名男生，所以P(A |B)= 显然，它不同于前面的P（A）= .另外，通过简单的运算可知：P（B）=20/30 ；P（AB）=12/30 ，从而有： .可以证明： 这一关系式具有普遍性(不仅限于古典概型)，由此即得条件概率的定义：定义 设A, B为两个事件，且P(B)>0,称为事件B发生条件下事件A的条件概率.【注1】 条件概率是概率从而条件概率具有概率的所有性质，如 P(, P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) 2条件概率的计算计算条件概率的方法有两种:1）在缩减的样本空间中直接计算；2）利用公式计算：.此时在原先的样本空间中进行计算.下面举例说明：例1 箱中有6个红球，4个白球，不放回地依次取出两球，已知第一次取到的是白球，求第二次取到红球的概率解法一：设B=“第一次取到的是白球”；A=“第二次取到红球”则第一次取到的是白球后，箱子中变成6个红球，3个白球.所以P(A|B) .解法二：利用公式.这里AB=“第一次取到的是白球且第二次取到红球”P（AB）= ，又，所以.例2 某动物出生后能活到4岁的概率为40%, 能活到6岁的概率为25%,现有一个这样的动物已经4岁了,求它能活到6岁的概率解：设B=“活到4岁”，A=“活到6岁”则P（B）=0.4 ；P（AB）=P（A）=0.25=.二 乘法公式(Multiplication formula)1.乘法公式：对于任意两个事件A与B，当,时，有.【注2】乘法公式可以推广到多个随机事件的情形： ， 一般情况下有 P(A1A2A n )=P(A1)P(A2|A1) P(An|A1An-1) ，（P(A1A2An-1)>0）例3 有100张定货单,其中5张是订购货物甲的,现从这些定货单中任取3次，每次取1张，问第三次才取得订购货物甲的定货单的概率是多少？解：设 “第次才取到订购货物甲的定货单” .故“第三次才取到订购货物甲的定货单”即为： 所以 .例4. 甲乙两人生产同样的零件共100个，其中有40个是乙生产的，而在这40个零件中有36个是正品，现在从这100个零件中任取一个.（1）求它是乙生产的正品的概率是多少？（2）通过此例说明P（AB）与P（AB）在概念上的差异.解：（1）设A=“取出一个是正品”；B=“取出一个是乙生产的”；因此AB=“取出一个是乙生产的又是正品”P（B）=40/100=0.4 ；P（AB）=36/40=0.9 ；P（AB）=P（B）·P（AB）=0.4×0.9=0.36.（2）由上述的计算可知：P（AB） P（AB），它们在概念上有很大的差异：P（AB）表示：“在取出一个是乙生产的条件下，取出的是正品”这个事件的概率，计算时考虑的是缩小的样本空间，其样本点总数为40.而P（AB）表示：“取出一个是乙生产的又是正品” 这个事件的概率，计算时样本空间的样本点总数为100.例5. 一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不返回抽样，开箱连续地抽验3件.若3件产品都合格，则准予出厂.求一箱产品准予出厂的概率？解：设 “第件抽到的是正品” ，则“一箱产品准予出厂”可表示为：因为 ，所以例6. 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2；若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10；若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：设 “第次落下时未打破” . 则“透镜落下三次而未打破”为，故 .三 事件的独立性(Mutually independent)1.两个事件的相互独立性条件概率反映了某个事件B对另一个事件A在发生的可能性方面的影响，一般情况下与是不同的.但是在某些情况下，事件B发生或不发生对另一个事件A发生的可能性方面不产生影响，事件A与事件B之间存在某种“独立性”，即有=.定义 如果事件A与B满足，那么，称事件A与B相互独立2. 事件独立性的性质：1) 若P(B)>0,则A与B独立P(A|B)= P(A)；若P(A)>0,则A与B独立P(B|A)= P(B) 2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与相互独立； (iii) 事件与B相互独立； (iv) 事件与相互独立3. 多个事件的独立性定义 对于任意三个事件，如果满足等式：则称事件 相互独立【注3】若三个事件，仅仅满足前面三个等式：，则称为两两独立.所以相互独立一定两两独立反之不然【注4】 要注意“互不相容”与“独立性”的差异：互不相容：是指A，B不可能同时发生，AB=，是事件之间的集合属性，与概率性质无关.独立性：是事件A与B满足，是事件的概率特性.“互不相容”与“独立性”之间没有因果关系.【注5】独立性在多数情况下是根据实际问题判断出来的【注6】 若已知独立，则和事件通常可以转化为积事件的概率：P(A1A2An)=1-P()=1-P()=1-P()P()P()=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(An)例7. 甲，乙两人向同一目标射击，已知甲的命中率为0.72，乙的命中率为0.55，求目标被击中的概率？解：设A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标”，则“目标被击中”可表示为：.由问题的实际意义可知事件A与事件B相互独立，所以得：. 例8三人独立地破译一密码,他们能单独译出的概率分别为, , ，求密码被译出的概率解：设 “第个人单独译出密码” . 则“密码被译出” 可表示为：而“密码被译出”的逆事件为“三个人都没有译出密码”，它可表示为：所以 .第五节 全概率公式与贝叶斯公式一 全概率公式(Total probability formula)1.全概率公式：如果事件B1, B2, Bn 构成一个完备事件组，即：两两互不相容，且，则对任意事件A有： ，其中由加法公式和乘法公式可得：.这就是全概率公式.全概率公式是在对事件A进行互斥分解的基础上，借助加法公式和乘法公式来实现概率的计算.可见，全概率公式的主要作用是化繁为简.例1. 某工厂有三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的45%，35 %，20 %；废品率分别是5 %，2 %，4 %.从全部产品中任抽1件，求：抽到废品的概率？解：设“产品是第个车间生产的” . A=“抽到废品”则：构成一个完备事件组，且有；.故：.例2. 三个箱子中，第一箱装有4个黑球4个白球，第二箱装有5个黑球3个白球, 第三箱装有3个黑球5个白球现从三箱中任取一箱，再从该箱中任取一球，求取出的球是白球的概率解：设“任取一箱是第箱” . A=“从该箱中任取一球取出的球是白球”则：构成一个完备事件组，且有 ； . 故： .例3. 设有3门炮向飞机各射击一次，它们击中飞机的概率分别为0.4, 0.5,0.7,飞机被一弹击中时，被击落的概率为0.2，被两弹击中时，被击落的概率为0.6，被三弹击中时，飞机必定击落,求飞机被击落的概率解：设“飞机被弹击中” . A=“飞机被击落” 则：构成一个完备事件组，且有： ；下面求 故：. 二 贝叶斯公式（Bayes formula）贝叶斯公式在概率论中具有重要的地位。在与全概率公式相同的条件下，如果事件B1, B2, Bn 构成一个完备事件组，即：两两互不相容，且，则由乘法公式可得：，从而 这就是贝叶斯公式.例4. 在例1的假设下，已知取出的是次品，求该次品可能是一，二，三车间生产的概解：例5. 已知在人群中肝癌患者占0.4%，用甲胎蛋白试验法进行普查，肝癌患者显示阳性反应的概率为95%，非肝癌患者显示阳性反应的概率为4%现有一人用甲胎蛋白试验法检查,检查出是阳性，求他是肝癌患者的概率解：设B=“肝癌患者”，=“不是肝癌患者”； A=“显示阳性反应” 则 ；.【注1】 贝叶斯公式的意义在于已知试验中事件A发生了，来探讨事件A发生的原因.因此，全概率公式的主导思想是由“因”导“果”，“ 全”字的意义就是要把造成A发生的原因无一遗漏地加以考察；而贝叶斯公式的主导思想是执“果”索“因”，这正是常常把贝叶斯公式又称为“逆”概率公式的意义所在。在实际应用中，往往求使得为最大的，因为若 ，则表示引起现象A的最可能的原因.【注2】 “先验概率”（Prior probability）与“后验概率”（Posterior probability）贝叶斯公式是利用“先验概率”来计算“后验概率”的公式，称为“先验概率”，即试验前我们对事件出现“概率”的了解；而称为“后验概率”，即我们通过试验得知事件A发生，使得对事件出现“概率”有了进一步的了解，是对“先验概率”的一种修正，所以称为“后验概率”.【注3】 在实际问题中要严格把与区别开来，否则可能会造成严重的不良后果。（参看例5）.第六节 贝努里概型一. 贝努里概型1. n重贝努里试验 设是随机试验，在相同的条件下将试验重复进行次，若1）各次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件和；3）每次试验的结果发生的概率相同：则称该试验序列为n重贝努里试验，简称为贝努里试验贝努里概型.2. 定理 设在n重贝努里试验中，随机事件发生的概率，则在n次重复独立试验中，事件恰好发生次的概率为，容易验证： ，因此又称这组概率为二项概率3. 应用举例例1.某篮球运动员进行投篮练习，设每次投篮的命中率为0.8，独立投篮5次，求：1） 恰好有4次命中的概率；2） 至少有4次命中的概率；3） 至多有4次命中的概率.解：把每次投篮看作一次试验，则每次投篮只有两种结果： “命中” ， “不中”.因此可以将它看成贝努里试验：设：A=“恰好有4次命中”， B=“至少有4次命中” ，C=“至多有4次命中”.1）；2）；3）.例2.对一个工厂的产品进行重复抽样检查，共取200件样品，结果发现其中有四件废品，问我们能否相信该工厂出废品的概率不超过0.005 ？解：假设该工厂出废品的概率为0.005，那么在200件产品中出现4件废品的概率大约为：. 这是一个概率很小的事件，“小概率事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的（称之为实际推断原理）”.现在在一次试验中竟然发生了这样的小概率事件，因此有理由怀疑原来的假设该工厂出废品的概率为0.005的正确性，即工厂出废品的概率不超过0.005是不可信的.三、思考题一个人在口袋里放2盒火柴，每盒支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了问：“这时另一盒中恰好有支火柴”的概率是多少？设一个居民区有个人，设有一个邮局，开个窗口，设每个窗口都办理所有业务太小，经常排长队；太大又不经济现设在每一指定时刻，这个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过”这个事件的概率要不小于（例如，），问至少须设多少窗口？设机器正常时，生产合格品的概率为，当机器有故障时，生产合格品的概率为，而机器无故障的概率为某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？