概率统计第一章 随机事件与概率.doc
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1、第一章 随机事件与概率第二篇 概率统计前 言概率论和数理统计的起源及研究内容概率论和数理统计起源于赌博:分赌注问题.随着科学技术的不断发展,它的结论和方法已经广泛应用于自然科学的各个方面,甚至一些纯人文的社会学科如政治、社会、语言、历史等也可觅得其踪影正如拉普拉斯(Laplace 1812)的概率的分析基础中写的那样:“值得注意的是,概率论者们起源于机会游戏的科学,终将成为人类知识宝库中最重要的组成部分生活中那些最重要的问题绝大部分正是概率论问题”因此概率论和数理统计已经成为科技工作者必备的一种数学工具.在我们的实际生活和工作中发生的现象是多种多样的,这些现象大致可以分成两类:确定性现象:在一
2、定条件下必定会发生或必定不会发生的现象.随机现象:在一定条件下有多种可能结果,且事先无法预知哪种结果会出现的现象.观察下表中的各种现象:条件结果例1在标准大气压下,纯水加热到100水必然会沸腾确定性现象例2在常温下生铁必定不会熔化确定性现象例3投掷一枚质地均匀的硬币可能出现正面,也可能出现反面随机现象例4从含有5个次品的一批产品中,任意抽取2件次品件数可能是0,1,2随机现象例5投掷一枚质地均匀的出现的点数可能是1,2,3,4,5,6.随机现象对于随机现象,人们事先不能断定它将发生哪一种结果.从表面上看,好象其结果纯粹是偶然性在起支配作用,其实不然.实践证明:随机现象在相同条件下重复进行多次观
3、察,它的结果会呈现出一定的规律性,这种规律性称为统计规律性.概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 第一章 随机事件与概率一、教学要求 1理解随机事件的概念,了解随机试验、样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算 2了解概率的各种定义,掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 3理解条件概率的概念,掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,并能运用这些公式进行概率计算 4理解事件的独立性概念,掌握运用事件独立性进行概率计算 5掌握贝努里概型及其计算,能够将实际问题归结为贝努里概型,然后用二项概率计算有关事件的概率本章重点:随机事件的概率计算第一节 样本空间与随机
4、事件一 随机试验与随机事件1随机试验(Random experiment)研究和揭示随机现象的统计规律性,就需要在相同条件下重复地进行多次试验(观察).这里所说的试验应该具有下列三个特性:(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;(可重复进行) (2) 每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有可能的结果;(结果明确)(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现(不可预知) 具有上述三个特性的试验称为随机试验(简称试验),通常记为:等. 随机试验的例子:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况:抛一颗骰子,观察出现的点数:记录某交换台在一个小时内接到的电话呼唤次数.:在一批灯泡中任意抽取
5、一只,测试它的寿命(以小时计)【注1】 “试验”是一个很宽泛的术语,包括实验和对自然现象的观察2随机事件(Random event)1)随机事件 在随机试验中,把一次试验中可能发生也可能不发生、发生与否要等到试验有了结果才能知晓,而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常用大写英文字母表示事件2)必然事件和不可能事件在一定条件下必然要发生的事件,称为必然事件(记作);在一定条件下必然不发生的事件,称为不可能事件(记作). 把它们看作两种特殊的随机事件3)基本事件:只变包含一个试验结果,不能再分解的最简单的随机事件称为基本事件.4)复合事件:由两个或两个以上的基本事件组
6、成的事件称为复合事件.二 样本空间(Sample space)与样本点(Sample point)1. 样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间,用表示.2. 其中的每一个结果用表示,称为样本空间中的样本点,记作 3.随机事件的集合表示:事件可以看成是试验的样本空间的子集特殊的事件:基本事件、必然事件、不可能事件事件A(在一次试验中)发生 试验中有利于A的样本点出现【注2】 随机试验样本空间样本空间由试验目的所决定确切而恰当地建立样本空间是解决问题的关键,建立样本空间的核心之处在于弄清随机试验的最终的基本结果是什么。例1. 上述试验的样本空间:H, T; :1, 2, 3, 4, 5
7、, 6; :; :例2. 口袋中有红,黄,蓝色球各一个,不返回地取两次(有返回地取两次),每次取一个球,考察球的颜色,试写出样本空间.解:不返回地取两次(红,黄),(红,蓝),(黄,红),(黄,蓝),(蓝,红),(蓝,黄)有返回地取两次(红,红),(红,黄),(红,蓝),(黄,红),(黄,黄),(黄,蓝),(蓝,红),(蓝,黄),(蓝,蓝)三 事件间的关系与运算1事件的关系及运算 1) 包含:若事件发生,一定导致事件发生,那么,称事件包含事件,记作(或) 2) 相等:若两事件与相互包含,即且,那么,称事件与相等,记作 3) 和事件:“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件,
8、记作;“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和,记作(简记为)4) 积事件:“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件,记作(简记为);“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件,记作(简记为或)5) 互不相容:若事件A和B不能同时发生,即,那么称事件A与B互不相容(或互斥),若n个事件中任意两个事件不能同时发生,即(1i0,称为事件B发生条件下事件A的条件概率.【注1】 条件概率是概率从而条件概率具有概率的所有性质,如 P(, P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) 2条件概率的计算计算条件概率的方法有两种:1)在缩减的样本空间中直接计算;2)利
9、用公式计算:.此时在原先的样本空间中进行计算.下面举例说明:例1 箱中有6个红球,4个白球,不放回地依次取出两球,已知第一次取到的是白球,求第二次取到红球的概率解法一:设B=“第一次取到的是白球”;A=“第二次取到红球”则第一次取到的是白球后,箱子中变成6个红球,3个白球.所以P(A|B) .解法二:利用公式.这里AB=“第一次取到的是白球且第二次取到红球”P(AB)= ,又,所以.例2 某动物出生后能活到4岁的概率为40%, 能活到6岁的概率为25%,现有一个这样的动物已经4岁了,求它能活到6岁的概率解:设B=“活到4岁”,A=“活到6岁”则P(B)=0.4 ;P(AB)=P(A)=0.25
10、=.二 乘法公式(Multiplication formula)1.乘法公式:对于任意两个事件A与B,当,时,有.【注2】乘法公式可以推广到多个随机事件的情形: , 一般情况下有 P(A1A2A n )=P(A1)P(A2|A1) P(An|A1An-1) ,(P(A1A2An-1)0)例3 有100张定货单,其中5张是订购货物甲的,现从这些定货单中任取3次,每次取1张,问第三次才取得订购货物甲的定货单的概率是多少?解:设 “第次才取到订购货物甲的定货单” .故“第三次才取到订购货物甲的定货单”即为: 所以 .例4. 甲乙两人生产同样的零件共100个,其中有40个是乙生产的,而在这40个零件中
11、有36个是正品,现在从这100个零件中任取一个.(1)求它是乙生产的正品的概率是多少?(2)通过此例说明P(AB)与P(AB)在概念上的差异.解:(1)设A=“取出一个是正品”;B=“取出一个是乙生产的”;因此AB=“取出一个是乙生产的又是正品”P(B)=40/100=0.4 ;P(AB)=36/40=0.9 ;P(AB)=P(B)P(AB)=0.40.9=0.36.(2)由上述的计算可知:P(AB) P(AB),它们在概念上有很大的差异:P(AB)表示:“在取出一个是乙生产的条件下,取出的是正品”这个事件的概率,计算时考虑的是缩小的样本空间,其样本点总数为40.而P(AB)表示:“取出一个是
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