高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数章三角函数解三角形第解三角形第 7 7 讲解三角形的应用举例学案讲解三角形的应用举例学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)考点 2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图)考点 3 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90°的角叫做方向角，如北偏东 ，南偏西 .特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成 45°角称为西南方向，东北方向等(1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)；(2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似考点 4 坡角与坡度1坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)2坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比必会结论1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2 “方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是2 / 140,2)，方向角大小的范围是.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则， 的关系为 180°.( )(3)若点 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的东偏北 46°.( )(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设 为坡角，那么cos.( )答案 (1) (2)× (3)× (4)×2课本改编两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A在灯塔 B 的( )B北偏西 10°A北偏东 10° D南偏西 10°C南偏东 10° 答案 B解析 由题可知ABC50°，A，B，C 位置如图故选 B.3.2018·沈阳模拟如图，设 A，B 两点在河的两岸，测量者在A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45°，CAB105°，则 A，B 两点的距离为( )B50 mA50 m D. mC25 m 答案 A解析 由正弦定理得AB50(m)4.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60°，30°，则 A 点离地面的高度AB 等于( )3 / 14B.A. 3a2D.C.a 3a3答案 B解析 因为D30°，ACB60°，所以CAD30°，故 CACDa.所以 ABasin60°.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是_m.答案 50解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得(h)2h210022·h·100·cos60°，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.板块二 典例探究·考向突破考向 测量距离问题例 1 如图所示，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在岸边定一基线 CD，现已测出 CDa 和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，试求 AB 的长解 在ACD 中，已知 CDa，ACD60°，ADC60°，所以 ACa.在BCD 中，由正弦定理可得BCa.在ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为ACB30°，所以利用余弦定理可以求得 A，B 两点之间的距离为 ABa.触类旁通4 / 14求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理【变式训练 1】 2014·四川高考如图所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos37°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)答案 60解析 根据已知的图形可得 AB.在ABC 中，BCA30°，BAC37°，由正弦定理，得.所以 BC2××0.6060(m)考向 测量高度问题例 2 2015·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD_m.答案 1006解析 如图所示，由已知得BAC30°，AB600 m，EBC75°，CBD30°，在ABC 中，ACBEBCBAC45°，由，得 BC300(m)在 RtBCD 中，CDBC·tanCBD300×100(m)触类旁通处理高度问题的注意事项5 / 14(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题【变式训练 2】 某人在 C 点测得塔底 O 在南偏西 80°，塔顶A 的仰角为 45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为( )A15 米 B5 米 C10 米 D12 米答案 C解析 如图，设塔高为 h，在 RtAOC 中，ACO45°，则OCOAh.在 RtAOD 中，ADO30°，则 ODh.在OCD 中，OCD120°，CD10，OD2 OC2 CD22OC×CD×cosOCD，即(h)2h21022h×10×cos120°，所以 h25h500，解得 h10 或 h5(舍去)，故选 C.考向 测量角度问题例 3 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45° 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14x，BC10x，ABC120°.6 / 14根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120°，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理，得，解得 sin.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为.触类旁通解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用【变式训练 3】 如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值解 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得，BC2AB2AC22AB·AC·cos120°2800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB 为锐角，则 cosACB.由 ACB30°，得 coscos(ACB30°)cosACBcos30°sinACBsin30°.核心规律利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，7 / 14最后还要检验问题的实际意义满分策略1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列 5函数思想在解三角形中的应用2018·永州模拟某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解题视点 (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间 t 的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意 t 的取值范围解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里，则 s.故当 t时，smin10，v30(海里/小时)即小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在 B 处相遇则v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，8 / 14故 v2900.0<v30，900900，即0，解得 t.又 t时，v30，故 v30 时，t 取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB 中，有 OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30°，航行速度为 30 海里/小时答题启示 解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力.跟踪训练2018·郑州模拟如图所示，一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 km/h 的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车的行驶方向)汽车开动的同时，在距汽车出发点 O 点的距离为 5 km，距离公路线的垂直距离为 3 km 的 M 点，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，并求追上汽车司机时他驾驶摩托车行驶了多少公里？解 作 MI 垂直公路所在的直线于点 I，则 MI3, OM5，OI4，cosMOI.设骑摩托车的人的速度为 v km/h，追上汽车的时间为 t h，由余弦定理得(vt)252(50t)22×5×50t×，v22500252900900，当 t时，v 的最小值为 30 km/h，其行驶距离为 vt km.故骑摩托车的人至少以 30 km/h 的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了 km.9 / 14板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标1已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120°，则 A，C 两地间的距离为( )B10 kmA10 km D10 kmC10 km 答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得：AC21004002×10×20×cos120°700，AC10(km)22018·武汉模拟海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60°视角，从 B 望 C 和 A 成 75°视角，则BC( )B. n mileA10 n mile D5 n mileC5 n mile 答案 D解析 由题意可知，CAB60°，CBA75°，所以C45°，由正弦定理得，所以 BC5.3.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )B.a kmAa km D2a kmC.a km 答案 B解析 在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cosACBa2a22a2cos120°3a2，故|AB|a.42018·临沂质检在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30°、60°，则塔高为( )10 / 14B. mA. m D. mC. m 答案 A解析 如图，由已知可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30°，ADC120°，又 AB200，AC.在ACD 中，由正弦定理，得，即 DC(m)AC sin120°5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )B6 km/hA8 km/h D10 km/hC2 km/h 答案 B解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin，从而 cos，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得 v6.6.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75°的斜坡改造成倾斜角为 30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.答案 1002解析 设坡底需加长 x m，由正弦定理得，解得 x100.7.如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B 与D 互补，则 AC 的长为_km.答案 7解析 82522×8×5×cos(D)11 / 1432522×3×5×cosD，cosD.AC7(km)8.2018·河南调研如图，在山底 A 点处测得山顶仰角CAB45°，沿倾斜角为 30°的斜坡走 1000 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75°，则山高 BC 为_米答案 1000解析 由题图知BAS45°30°15°，ABS45°(90°DSB)30°，ASB135°，在ABS 中，由正弦定理可得，AB1000，BC1000(米)9.2018·山西监测如图，点 A，B，C 在同一水平面上，AC4，CB6.现要在点 C 处搭建一个观测站 CD，点 D 在顶端(1)原计划 CD 为铅垂线方向，45°，求 CD 的长；(2)搭建完成后，发现 CD 与铅垂线方向有偏差，并测得30°，53°，求 CD2.(结果精确到 1)(本题参考数据：sin97°1，cos53°0.6)解 (1)CD 为铅垂线方向，点 D 在顶端，CDAB.又45°，CDAC4.(2)在ABD 中，53°30°83°，ABACCB4610，ADB180°83°97°，由得 AD5.在ACD 中，CD2AD2AC22AD·ACcos52422×5×4×cos53°17.10.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处(1)海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD 10t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，有12 / 14BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222(1)×2×cos120°6，解得 BC.又，sinABC，ABC45°，故 B 点在 C 点的正东方向上，CBD90°30°120°，在BCD 中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30°，缉私船沿北偏东 60°的方向行驶又在BCD 中，CBD 120°，BCD30°，D30°，BDBC，即 10t，解得 t小时15 分钟缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟B 级 知能提升12018·天津模拟一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( )B10 海里A10 海里 D20 海里C20 海里 答案 A解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得 BC10(海里)2.某观察站 B 在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 出发的一条公路的走向是南偏东 25°.现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C处有一人正沿此公路骑车以 40 km/h 的速度向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达 D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为 8 km，则此人到达13 / 14A 城还需要( )A40 min B42 min C48 min D60 min答案 C解析 由题意可知，CD40×10.cosBDC，cosADBcos(BDC)，sinABDsin(ADBBAD).在ABD 中，由正弦定理得，AD32，所需时间 t0.8 h，此人还需要 0.8 h 即 48 min 到达 A 城3.2014·全国卷如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60°，C 点的仰角CAB45°以及MAC75°；从 C 点测得MCA60°，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.答案 150解析 在 RtABC 中，AC100 m，在MAC 中，由正弦定理得，解得 MA100 m，在 RtMNA 中，MNMA·sin60°150 m.即山高 MN 为 150 m.4.如图所示，A，C 两岛之间有一片暗礁一艘小船于某日上午8 时从 A 岛出发，以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75°方向直线航行，下午 1 时到达 B 处然后以同样的速度沿北偏东 15°方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛(1)求 A，C 两岛之间的距离；(2)求BAC 的正弦值解 (1)在ABC 中，由已知，得 AB10×550(海里)，BC10×330(海里)，ABC180°75°15°120°，由余弦定理，得 AC25023022×50×30cos120°4900，所以 AC70(海里)14 / 14故 A，C 两岛之间的距离是 70 海里(2)在ABC 中，由正弦定理，得，sinBAC.故BAC 的正弦值是.5某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.(sin21.8° 3 314)解 如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos120°，所以212t210281t22×10×9t×，即 360t290t1000，解得t或 t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时 AB14，BC6.在ABC 中，根据正弦定理，得，所以 sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为 45°21.8°66.8°.所以舰艇以 66.8°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮