高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案.doc
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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数章三角函数解三角形第解三角形第 7 7 讲解三角形的应用举例学案讲解三角形的应用举例学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图)考点 2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图)考点 3 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90的角叫做方向角,如北偏东 ,南偏西 .特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成 45角称为西南方向,东北方向等(1)北偏东
2、,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图);(2)北偏西 ,即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向;(3)南偏西等其他方向角类似考点 4 坡角与坡度1坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角 为坡角)2坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i 为坡度)坡度又称为坡比必会结论1仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的2 “方位角”与“方向角”的区别:方位角大小的范围是2 / 140,2),方向角大小的范围是.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(2)从 A 处望
3、 B 处的仰角为 ,从 B 处望 A 处的俯角为 ,则, 的关系为 180.( )(3)若点 P 在 Q 的北偏东 44,则 Q 在 P 的东偏北 46.( )(4)如果在测量中,某渠道斜坡坡比为,设 为坡角,那么cos.( )答案 (1) (2) (3) (4)2课本改编两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40,灯塔 B 在观察站南偏东 60,则灯塔 A在灯塔 B 的( )B北偏西 10A北偏东 10 D南偏西 10C南偏东 10 答案 B解析 由题可知ABC50,A,B,C 位置如图故选 B.3.2018沈阳模拟如图,设 A,B 两点在河的两岸,测
4、量者在A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,ACB45,CAB105,则 A,B 两点的距离为( )B50 mA50 m D. mC25 m 答案 A解析 由正弦定理得AB50(m)4.如图所示,D,C,B 三点在地面的同一直线上,DCa,从C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 60,30,则 A 点离地面的高度AB 等于( )3 / 14B.A. 3a2D.C.a 3a3答案 B解析 因为D30,ACB60,所以CAD30,故 CACDa.所以 ABasin60.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱
5、顶端的仰角为 45,沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30,则水柱的高度是_m.答案 50解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在ABC 中,A60,ACh,AB100,BCh,根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60,即h250h50000,即(h50)(h100)0,即 h50,故水柱的高度是 50 m.板块二 典例探究考向突破考向 测量距离问题例 1 如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在岸边定一基线 CD,现已测出 CDa 和ACD60,BCD30,BDC105,ADC60,试求 AB 的长解 在AC
6、D 中,已知 CDa,ACD60,ADC60,所以 ACa.在BCD 中,由正弦定理可得BCa.在ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为ACB30,所以利用余弦定理可以求得 A,B 两点之间的距离为 ABa.触类旁通4 / 14求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如都可用,就选便于计算的定理【变式训练 1】 2014四川高考如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67,30,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度
7、 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据:sin670.92,cos370.39,sin370.60,cos370.80,1.73)答案 60解析 根据已知的图形可得 AB.在ABC 中,BCA30,BAC37,由正弦定理,得.所以 BC20.6060(m)考向 测量高度问题例 2 2015湖北高考如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD_m.答案 1006解析 如图所示,由已知得BAC30,AB600 m,EBC7
8、5,CBD30,在ABC 中,ACBEBCBAC45,由,得 BC300(m)在 RtBCD 中,CDBCtanCBD300100(m)触类旁通处理高度问题的注意事项5 / 14(1)在处理有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题【变式训练 2】 某人在 C 点测得塔底 O 在南偏西 80,塔顶A 的仰角为 45,此人沿南偏东 40方向前进 10 米到 D 处,测得塔顶 A 的仰角为 30,
9、则塔高为( )A15 米 B5 米 C10 米 D12 米答案 C解析 如图,设塔高为 h,在 RtAOC 中,ACO45,则OCOAh.在 RtAOD 中,ADO30,则 ODh.在OCD 中,OCD120,CD10,OD2 OC2 CD22OCCDcosOCD,即(h)2h21022h10cos120,所以 h25h500,解得 h10 或 h5(舍去),故选 C.考向 测量角度问题例 3 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进,若红方侦察艇以每小时 14
10、 n mile 的速度,沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,则 AC14x,BC10x,ABC120.6 / 14根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120,解得 x2.故 AC28,BC20.根据正弦定理,得,解得 sin.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 的正弦值为.触类旁通解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转
11、化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用【变式训练 3】 如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos 的值解 在ABC 中,AB40,AC20,BAC120,由余弦定理得,BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20.由正弦定理,得sinACBsinBAC.由BAC120,知ACB 为锐角,则 cosACB.由 ACB30,得 coscos(ACB30)cosACB
12、cos30sinACBsin30.核心规律利用解三角形解决实际问题时,(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,7 / 14最后还要检验问题的实际意义满分策略1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.板块三 启智培优破译高考数学思想系列 5函数思想在解三角形中的应用2018永州模拟某港口 O 要将一件重要物品用小艇送
13、到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由解题视点 (1)利用三角形中的余弦定理,将航行距离表示为时间 t 的函数,将原题转化为函数最值问题;(2)注意 t 的取值范围解 (1)设相遇时小
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