高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第5节抛物线习题理.doc

1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八篇平面解析几精选高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第何第 5 5 节抛物线习题理节抛物线习题理【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用4,5,6,8,10 抛物线的标准方程及应用1,2,3 直线与抛物线的位置关系7,12,14 抛物线的综合应用9,11,13基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016·重庆南开中学月考)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离为( C )(A) (B) (C)2 (D)4解析:焦点到准线的距离 d=p=2.故选 C.2.(2017·四川巴中一诊)若坐标原点到抛物线 y=mx2 的准线的距离为 2,则 m 等于( D )(A)8 (B)±8 (C)± (D)±解析:将其化为标准方程:x2=y,所以|=2m=±,故选 D.3.(2016·陕西西安质检)若抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是C 上一点,|AF|=x0,则 x0 等于( A )2 / 9(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:因为 2p=1,故=,而|AF|=x0+=x0,解之得 x0=1,故选 A.4.(2017·河南百校联盟质检)已知抛物线 C:y2=4x 上一点 A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为 54,且|AF|>2,则 A 点到原点的距离为( B )(A)3 (B)4 (C)4 (D)4解析:设 A(x,y),则=y=4 或 y=1(舍),所以 A(4,4)到原点的距离为 4,选 B.5.(2017·湖北黄石调研)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若 A,B 两点的横坐标之和为,则|AB|等于( D )(A) (B) (C)5 (D)解析:|AB|=|AF|+|BF|=(xA+1)+(xB+1)=(xA+xB)+2=+2=.故选 D.3 / 96.(2016·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线 y=x2 上,且与直线y+3=0 相切,则此圆恒过定点( C )(A)(0,2) (B)(0,-3)(C)(0,3) (D)(0,6)解析:直线 y+3=0 是抛物线 x2=12y 的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线 y=-3 的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3).7.(2017·重庆巴蜀中学月考)已知抛物线 y2=4x 焦点为 F,过焦点 F的直线交抛物线于 A,B,O 为坐标原点,若AOB 的面积为 4,则|AB|等于( D )(A)6 (B)8 (C)12 (D)16解析:设 A(,y1),B(,y2),F(1,0),所以=y1y2=-4,由AOB 的面积为 4 得×|y1-y2|×1=4+=56,因此|AB|=+2=16,选 D.8.(2016·豫南九校联考)已知点 P 是抛物线 x2=4y 上的动点,点 P在 x 轴上的射影是点 Q,点 A 的坐标是(8,7),则|PA|+|PQ|的最小值为( C )(A)7 (B)8 (C)9 (D)104 / 9解析:抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1|AF|-1=-1=10-1=9.当且仅当 A,P,F 三点共线时,等号成立,则|PA|+|PQ|的最小值为 9.故选 C.9.导学号 18702477 已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)到其焦点的距离为 5,双曲线 x2-=1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a= . 解析:抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)到其焦点的距离 d=1+=5,所以 p=8,抛物线方程为 y2=16x,设点 M(1,4),点 A(-1,0),kAM=2,所以-=-,即 a=.答案:5 / 910.(2016·山西忻州模拟)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 . 解析:由题意知,圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),半径为 1,抛物线的焦点为 F(1,0),根据抛物线的定义,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点 F 的距离之和,因此|PQ|+|PF|PC|+|PF|-1|CF|-1=-1.答案:-1能力提升练(时间:15 分钟)11.导学号 18702478 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 R,过抛物线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线,垂足为 Q,若QRF的面积为 2,则点 P 的坐标为( A )(A)(1,2)或(1,-2)(B)(1,4)或(1,-4)(C)(1,2) (D)(1,4)解析:设点 P 的坐标为(x0,y0),因为QRF 的面积为 2,所以×2×|y0|=2,即|y0|=2,所以 x0=×4=1,所以点 P 的坐标为(1,2)或(1,-2).故选 A.12.(2017·湖北襄阳月考)已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:6 / 9y2=4x 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是M,N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( C )(A) (B) (C) (D)2解析:设 B(x,y),直线 y=k(x+1)过定点(-1,0),由|AM|=2|BN|得 A(2x+1,2y),所以解得k=.故选 C.13.(2017·湖南长沙摸底测试)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 x2-y2=1 相交于 A,B 两点,若ABF 为等边三角形,则p= . 解析:抛物线准线为 y=-,代入双曲线得|x|=,焦点 F(0,),故=,解得p=2.答案:214.导学号 18702479 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点.(1)若=3,求直线 AB 的斜率;(2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求7 / 9四边形 OACB 面积的最小值.解:(1)依题意可设直线 AB:x=my+1,联立得 y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得因为=3,所以 y1=-3y2,所以 m2=,所以 AB 的斜率为或-.(2)SOACB=2SAOB=2×|OF|y1-y2|=|y1-y2|=4,当 m=0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值为 4.好题天天练1.导学号 18702480 已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 E 在 C 的准线上,且在 x 轴上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 Q(-1,),与 C 交于点 P,则点 P 的坐标为( D )(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(3,2) (D)(4,4)8 / 9解题关键:设出 E 点坐标,利用|EQ|=|QF|解出 E 点坐标,再利用 kEF与 kQP 的关系写出 QP 方程,联立方程组求解.解析:由题意,得抛物线的准线方程为 x=-1,F(1,0).设 E(-1,y),因为 PQ 为 EF 的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即 y-=,解得 y=4,所以 kEF=-2,kPQ=,所以直线 PQ 的方程为 y-=(x+1),即 x-2y+4=0.由解得即点 P 的坐标为(4,4),故选 D.2.导学号 18702481 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则的最大值为( A )(A) (B)1 (C) (D)2解析:设|AF|=a,|BF|=b,作 AQ,BP 垂直准线于 Q,P,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab,9 / 9所以=,当且仅当 a=b 时等号成立,即的最大值为.故选 A.