高考数学总复习专题03导数分项练习含解析文.doc

1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学总复习专题精选高考数学总复习专题 0303 导数分项练习含解导数分项练习含解析文析文一基础题组1.【2009 天津，文 10】设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x2.下面的不等式在 R 上恒成立的是( )A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)x D.f(x)x【答案】A【解析】特殊值法:由于 2f(x)+xf(x)x2 成立,取特殊值 x0,则有2f(x)0,即 f(x)0.2. 【2015 高考天津，文 11】已知函数 ,其中 a 为实数,为的导函数,若 ,则 a 的值为 ln ,0,f xaxx x fx f x 13f 【答案】3【解析】因为 ,所以. 1 lnfxax 13fa【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.3.【2016 高考天津文数】已知函数为的导函数，则的值为_.( )(2 +1)e ,( )xf xxfx( )f x(0)f 【答案】3【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；2 / 20(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；(4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导4.【2017 天津，文 10】已知，设函数的图象在点（1， ）处的切线为l，则 l 在 y 轴上的截距为 .aR( )lnf xaxx(1)f【答案】 【解析】【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应地，切线方程为注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点. f x0x 0fx yf x00,P xy 000yyfxxxP P二能力题组1.【2005 天津，文 21】已知，设mRP：和是方程的两个实根，不等式对任意实恒成立；1x2x220xax2 1253mmxx 1,1a Q：函数在上有极值324( )()63f xxmxmx(,) 求使正确且正确的的取值范围PQm【答案】(-,1), 65 , 4(2|53| 3mm的解集由此不等式得2533mm 3 / 20或 2533mm不等式的解为05m不等式的解为或1m 6m 因为，对或或时，P 是正确的1m 05m6m ()对函数求导6)34()(23xmmxxxf3423)( '2mmxxxf令，即此一元二次不等式的判别式0)( 'xf034232mmxx若0，则有两个相等的实根，且的符号如下：0)( 'xf0x)( ' xf(,0x)0x(0x,+)+0+因为，不是函数的极值0()f x( )f x综上，使 P 正确且 Q 正确时，实数 m 的取值范围为(-,1), 65 , 4(2.【2006 天津，文 20】已知函数其中为参数，且321( )43cos,32f xxx,xR02 .（I）当时，判断函数是否有极值；cos0( )f x（II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；( )f x（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间4 / 20内都是增函数，求实数的取值范围。( )f x(21, )aa【答案】 （I）无极值， （II） ， （III）325(,0 ,1).8【解析】 （I）解：当时则在内是增函数，故无极值。cos031( )4,32f xx( )f x(,) （II）解：令得2'( )126 cos ,fxxx'( )0,fx 由及（I） ，只需考虑的情况。02cos0或210aaa 21121cos2aaa 由（II） ，参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有(,)3 2 10cos.2121cos2a 121.4a 综上，解得或所以的取值范围是0a 51.8a5(,0 ,1).83.【2007 天津，文 21】设函数（） ，其中2( )()f xx xa xR aR（）当时，求曲线在点处的切线方程； 1a ( )yf x(2(2)f，（）当时，求函数的极大值和极小值；0a ( )f x（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立3a 10k ，22(cos )(cos)f kxf kxxR【答案】 （） ；（）函数在处取得极小值，且580xy( )f x3ax (,0)0cos(0,)2cos 2cos(,)2'( )fx00( )f xA极大值A极小值A5 / 203af34 327afa ；函数在处取得极大值，且 ；（）详见解析( )f xxa( )f a( )0f a 令，解得或( )0fx3ax xa由于，以下分两种情况讨论0a （1）若，当变化时，的正负如下表：0a ( )fx3a，3a 3aa，()a ，( )fx因此，函数在处取得极小值，且( )f x3ax 3af34 327afa ；函数在处取得极大值，且( )f xxa( )f a( )0f a （2）若，当变化时，的正负如下表：0a ( )fxa，3aa，3a 3a，( )fx因此，函数在处取得极小值，且( )f xxa( )f a( )0f a ；函数在处取得极大值，且( )f x3ax 3af6 / 2034 327afa （）证明：由，得，当时，3a 13a10k ，要使式恒成立，必须，即或22kk2k1k所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立10 ，1k 22(cos )(cos)f kxf kxxR4.【2008 天津，文 21】设函数，其中432( )2()f xxaxxb xRabR，（）当时，讨论函数的单调性；10 3a ( )f x（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；( )f x0x （）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围2 2a ，( )1f x 11 ，【答案】 （I）在，内是增函数，在，内是减函数 （II） （） ( )f x102，(2)，(0)，122，8 8 3 3，4，【解析】 （）解：322( )434(434)fxxaxxxxax当时，10 3a 2( )(4104)2 (21)(2)fxxxxxxx令，解得， ， ( )0fx10x 21 2x 32x 当变化时， ，的变化情况如下表：( )fx( )f x(0)，102，1 2122，(2)，( )fx( )f x极小值极大值极小值7 / 20所以在，内是增函数，在，内是减函数( )f x102，(2)，(0)，122，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者( )f x11 ，(1)f( 1)f 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当2 2a ，( )1f x 11 ，(1)1 ( 1)1f f， ， 即2 2ba ba ， 在上恒成立2 2a ，所以，因此满足条件的的取值范围是4b4，5.【2009 天津，文 21】设函数(xR),其中 m0.xmxxxf) 1(31)(223(1)当 m1 时,求曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1x2,若对任意的 xx1,x2,f(x)f(1)恒成立,求 m 的取值范围. 本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点与方程的根的关系、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.满分 14 分.【答案】 （）1；（）f(x)在(,1m),(1+m,+)内是减函数,在(1m,1+m)内是增函数.函数 f(x)在 x1m 处取得极小值 f(1m),且.31 32)1 (23mmmf函数 f(x)在 x1+m 处取得极大值 f(1+m),且；（）().31 32)1 (23mmmf33,218 / 20【解析】(1)解:当 m1 时,f(x)x2+2x,故 f(1)1.23 31)(xxxf函数 f(x)在 x1+m 处取得极大值 f(1+m),且.31 32)1 (23mmmf(3)解:由题设,f(x)x(x2+x+m21)x(xx1)(xx2),所以方程x2+x+m210 有两个相异的实根 x1,x2,故 x1+x23,且0.解得m(舍),或 m.31 31 31) 1(3412m2121因为 x1x2,所以 2x2x1+x23,故 x21.236.【2010 天津，文 20】已知函数 f(x)ax3x21(xR)，其中a0.3 2(1)若 a1，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间，上，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围1 21 2【答案】(1) y6x9. (2) 0a5.【解析】解：(1)当 a1 时，f(x)x3x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6.所以曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y36(x2)，3 2即 y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)，令 f(x)0，解得 x0 或 x.1 a以下分两种情况讨论：若 0a2，则，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：1 a1 29 / 20x(1 2，0)0(0，1 2)f(x)0f(x)极大值当 x，时，f(x)0 等价于即1 21 21()0,2 1( )0.2ff 50,8 50.8aa解不等式组得a5 或 a.2 22 2因此 2a5.综合和，可知 a 的取值范围为 0a5. 2三拔高题组1.【2011 天津，文 19】已知函数其中.322( )4361,f xxtxt xtxR tR（）当时,求曲线在点处的切线方程;1t ( )yf x(0,(0)f()当时,求的单调区间;0t ( )f x()证明:对任意,在区间(0,1)内均在零点.(0,)t( )f x【答案】(1) (2) 若,则的单调递增区间是,;的单调递减区间是.)若,则的单调递增区间是,;的单调递减区间是. (3)详见解析.6yx 0t ( )f x(, )2t(,)t ( )f x( ,)2tt0t ( )f x(,) t ( ,)2t( )f x(, )2tt(1)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:0t 2tt '( )fx( )f x(, )2t( ,)2tt(,)t '( )fx+-+( )f x10 / 20所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.( )f x(, )2t(,)t ( )f x( ,)2tt(2)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:0t 2tt '( )fx( )f x所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.( )f x(,) t ( ,)2t( )f x(, )2tt（)证明：由（）可知，当时，在 内单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：0t ( )f x(0, )2t( ,)2t（1）当，即时，在内单调递减，12t2t ( )f x(0,1)所以,对任意,在区间(0,1)内均在零点.(0,2)t( )f x综上, 对任意,在区间(0,1)内均在零点.(0,)t( )f x【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.2.【2012 天津，文 20】已知函数 f(x)x3x2axa，xR，其中a01 31 2a(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围；(,) t (, )2tt( ,)2t'( )fx+-+( )f x11 / 20(3)当 a1 时，设函数 f(x)在区间 t，t3上的最大值为 M(t)，最小值为 m(t)，记 g(t)M(t)m(t)，求函数 g(t)在区间3，1上的最小值【答案】 （）单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a) ；（）(0，)；（）1 34 3所以，a 的取值范围是(0，)1 3(3)a1 时，f(x)x3x1由(1)知 f(x)在3，1上单调递增，在1,1上单调递减，在 1,2上单调递增1 3154(2)()333g 当 t2，1时，t31,2 ，且1,1t，t3 下面比较 f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由 f(x)在2，1 ，1,2上单调递增，有12 / 20f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由 f(1)f(2)，f(1)f(2)，从而 M(t)f(1)，m(t)f(1)5 31 31 35 3所以 g(t)M(t)m(t)4 3综上，函数 g(t)在区间3，1上的最小值为4 33.【2013 天津，文 20】设 a2,0，已知函数 33250 30.2xaxx f xaxxaxx ， ，(1)证明 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增；(2)设曲线 yf(x)在点 Pi(xi，f(xi)(i1,2,3)处的切线相互平行，且 x1x2x30.证明 x1x2x3.1 3【答案】 （）详见解析；（）详见解析【解析】证明：(1)设函数 f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)(x0)，323 2axxaxf(x3)不妨设 x10x2x3，由(a5)(a3)x2a(a3)x3a，2 13x2 23x2 33x13 / 20可得(a3)(x2x3)0，解得 x2x3，从而 0x2x3.22 2333xx3 3a3 6a设 g(x)3x2(a3)xa，则g(x2)g(0)a.3 6ag由(a5)g(x2)a，解得x10，2 13x25 3a所以 x1x2x3，253 33aa设 t，则 a，25 3a235 2t 因为 a2,0，所以 t，315,33 故 x1x2x3，即 x1x2x3.2 231111(1)6233ttt 1 34.【2014 天津，文 19】已知函数232( )(0),3f xxax axR（1）求的单调区间和极值；( )f x（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围1(2,)x 2(1,)x 12()()1f xf x【答案】(1) 的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值，当 时， 取极大值 ， (2) ( )f x1(0,)a(,0)1( ,)a0x ( )f x1xa( )f x21 3a3 3 , .4 2【解析】14 / 201|(1,),( )0,( )Bxf xf x 则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于，所以,因此，又，所以，即AB0B0A322aAB(1)0f33. 42a试题解析： 解(1)由已知有令，解得或，列表如下：2( )22(0).fxxaxa( )0fx0x 1xa(,0)1(0,)a1 a1( ,)a( )fx( )f xAA 21 3aA所以的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值，当 时， 取极大值 ，(2)由及（1）知，当时， ，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.( )f x1(0,)a(,0)1( ,)a0x ( )f x1xa( )f x21 3a3(0)()02ffa3(0,)2xa( )0f x 3(,)2xa( )0.f x ( )|(2,),Af xx1|(1,),( )0,( )Bxf xf x 1(2,)x 2(1,)x 12()()1f xf xAB0B考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域5. 【2015 高考天津，文 20】 （本小题满分 14 分）已知函数4( )4,f xxxxR=-Î15 / 20（I）求的单调区间; ( )f x（II）设曲线与轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;( )yf x=( )yg x=( )( )f xg x£（III）若方程有两个正实数根且,求证:.( )= ()f xa a为实数12xx，12xx<1 3 21-43ax x <-+【答案】 （I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;（II）见试题解析;（III）见试题解析. f x,11,【解析】（I）由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;（II）, ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数 x, ,对于任意的正实数,都有;（III）设方程 的根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以 .设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以 .3( )44fxx¢=- f x,11, 00g xfxxx F xf xg x F x0,x0,x 00F xF x( )( )f xg x£ g xa2x1 3 2412ax g x, 222g xf xag x22xx yf x ,yh x h xa1x14ax 4h xx, 111h xaf xh x11,xx1 3 212143axxxx 0F xf xfxxx 则. 0Fxfxfx16 / 20由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,所以当时,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数 x, ,对于任意的正实数,都有.3( )44fxx¢=-, Fx, 00Fx0,xx 0Fx0,xx 0Fx F x0,x0,x 00F xF x( )( )f xg x£（III）由（II）知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有即 .设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以 . 1 3124g xx g xa2x1 3 2412ax g x, 222g xf xag x22xx yf x ,yh x 4h xx,x 40f xh xx f xh x h xa1x14ax 4h xx, 111h xaf xh x11,xx1 3 212143axxxx 【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力6.【2016 高考天津文数】 （本小题满分 14 分）设函数， ，其中.baxxxf3)(xR, a bR（）求的单调区间；)(xf（）若存在极值点，且，其中，求证：；)(xf0x)()(01xfxf01xx 0201 xx（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.0a| )(|)(xfxg)(xg 1 , 141【答案】 （）递减区间为，递增区间为， ；（）详见解析；（）详见解析.33(,)33aa3(,)3a 3(,)3a17 / 20【解析】2 32 31133aa .试题解析：（I）解：由，可得，下面分两种情况讨论：3( )f xxaxb2( )3fxxa（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.0a 2( )30fxxa( )f x(,) （2）当时，令，解得或.0a ( )0fx3 3ax 3 3ax 当变化时， ，的变化情况如下表：( )fx( )f x3(,)3a 3 3a33(,)33aa3 3a3(,)3a( )fx0( )f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.( )f x33(,)33aa3(,)3a 3(,)3a（III）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：( )g x 1,1Mmax , x yy18 / 20（1）当时， ，由（I） 知，在区间上单调递减，3a 331 133aa ( )f x 1,1所以在区间上的取值范围为，因此，( )f x 1,1 (1),( 1)ff 1+ ,0, 1,0,ab b ab b 所以.1 | 2Mab （2）当时， ，334a2 3332 3113333aaaa 由（I）和（II） 知， ，2 33( 1)()()33aafff2 33(1)()()33aafff所以在区间上的取值范围为，( )f x 1,133 (),()33aaff 因此 M=3322max|()|,|()|max|3|,|3|3399aaaaffabab2222331max|3|,|3|3|39999444aaaababab.（3）当时， ，由（I）和（II）知，304a2 32 31133aa 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.0a ( )g x 1,11 4【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数；( )fx(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式或的解集( )0fx( )0fx(4)由()的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间( )0fx( )0fx19 / 202.由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 (或)恒成立问题，要注意“”是否可以取到( )0fx( )0fx7.【2016 高考天津文数】（本小题满分 14 分）设，已知函数，, a bR| 1a 32( )63 (4)f xxxa axb( )e( )xg xf x（）求的单调区间； ( )f x（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，( )yg xexy （i）求证：在处的导数等于 0；( )f x0xx（ii）若关于 x 的不等式在区间上恒成立，求 b 的取值范围( )exg x 001,1xx【答案 】（）递增区间为，递减区间为；（）（ ）见解析，（ ）(, )a(4,)a(),4aa 7 ,1【解析】试题分析：（）先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，进而可得函数的单调区间；（）（）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，可求得；（ii）将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，由（）知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，可得，构造函数，根据单调性可求函数的值域，即得 b 的取值范围( )f x1a ( )f x( )g xex0()0fx( )1f x 0x0xa( )f x(, )1aa(),1a a 1f xf a1,1aa32261baa11a （）（i）因为，由题意知，( )e ( ( )( )xxxg'ff ' x0000()e()exxxxgg'所以，解得0000 000()eee ( ()()exxxxfffx'xx00()1()0f'xxf 所以，在处的导数等于 0( )f x0xx20 / 20（ii）因为，由，可得( )exg x 0011,xxxe0x( )1f x 又因为，故为的极大值点，由（）知0()1f x0()0f' x0x( )f x0xa另一方面，由于，故，| 1a 14aa 由（）知在内单调递增，在内单调递减，( )f x(, )1aa(),1a a故当时，在上恒成立，从而在上恒成立0xa( )( )1ffxa1,1aa( )exg x 00,11xx由，得，32( )63 ()14aafaaaab32261baa11a 令，所以，32( )261t xxx 1,1x 2( )612t' xxx令，解得（舍去），或( )0t' x 2x 0x 因为，故的值域为( 1)7t (1)3t (0)1t( )t x 7 ,1所以，的取值范围是 7 ,1【考点】导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间、导数的综合应用【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求的取值范围的关键是得出，然后构造函数进行求解0xa