高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文北师大版.doc

1第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值考纲传真 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质1函数的单调性(1)增、减函数增函数减函数定义在函数yf (x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A当x1x2时，都有f (x1)f (x2)，那么，就称函数yf (x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf (x)在区间A上是递增的当x1x2时，都有f (x1)f (x2)，那么，就称函数yf (x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf (x)在区间A上是递减的(2)单调区间和函数的单调性如果函数yf (x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间如果函数yf (x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf (x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数如果函数yf (x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数2函数的最值前提函数yf (x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f (x0)M；(2)对于任意xD，都有f (x)M(1)存在x0D，使得f (x0)M；(2)对于任意xD，都有f (x)M结论M为最大值M为最小值21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)函数y 在其定义域上递减( )1 x(2)函数yx在其定义域上递增( )|x| x(3)对于函数f (x)，xD，若x1，x2D且0，则函数f (x)在f x2f x1 x2x1D上是增加的( )(4)若函数f (x)的最大值是M，最小值是m，则函数f (x)的值域一定是m，M( )答案 (1)× (2) (3) (4)×2(2016·北京高考)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( )【导学号：66482027】Ay Bycosx1 1xCyln(x1) Dy2xD D 选项 A 中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)1 1x1 1x上为增函数；选项 B 中，ycosx在(1,1)上先增后减；选项 C 中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项 D 中，y2xx在 R R 上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数(1 2)3(教材改编)已知函数f (x)，x2,6，则f (x)的最大值为_，最2 x1小值为_2 可判断函数f (x)在2,6上为减少的，所以f (x)maxf (2)2，f (x)2 52 x1minf (6) .2 54函数y(2k1)xb在 R R 上是减函数，则k的取值范围是_.【导学号：66482028】由题意知 2k10，得k .(，1 2)1 25f (x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f (x)max_.31,3 8 f (x)(x1)21，故f (x)的单调增区间为1,3，f (x)maxf (2)8.函数单调性的判断(1)函数f (x)log2(x21)的递减区间为_(2)试讨论函数f (x)x (k0)的单调性k x(1 1)(，1 1) 由x210 得x1 或x1，即函数f (x)的定义域为(，1)(1，)令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21 在x(，1)上是减函数，所以函数f (x)log2(x21)的递减区间为(，1)(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令 0x1x2，那么f (x2)f (x1)(x2x1)(x2k x2) (x1k x1)k(x2x1). 2 分(1 x21 x1)x1x2k x1x2因为 0x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f (x1)f (x2)，k即函数在(，)上递增. 6 分k当x1，x2(0，)时，f (x1)f (x2)，k即函数在(0，)上递减k考虑到函数f (x)x (k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调k x性，故在(，)上递增，在(，0)上递减kk综上，函数f (x)在(，)和(，)上递增，在(，0)和(0，)上递kkkk减. 12 分法二：f (x)1. 2 分k x2令f (x)0 得x2k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区kk间为(，)和(，). 6 分kk令f (x)0 得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(kk4，0)和(0，). 10 分kk故函数f (x)在(，)和(，)上递增，在(，0)和(0，)上递减. kkkk12 分规律方法 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练 1 (1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )Ayx3 ByxCy Dyx1 x(1 2)(2)函数f (x)log (x24)的递增区间是( )1 2A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)(1)C C (2 2)D D (1)选项 A，B 中函数在定义域内均为递增函数，选项 D 为在定义域内为递减函数，选项 C 中，设x1x2(x1，x20)，则y2y1，因为1 x21 x1x1x2 x1x2x1x20，当x1，x2同号时x1x20，0，当x1，x2异号时x1x20，0，1 x21 x11 x21 x1所以函数y 在定义域上不是单调函数，故选 C.1 x(2)由x240 得x2 或x2，所以函数f (x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的递增区间，即求函数1 2tx24 的递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知f (x)，x1，)，且a1.x22xa x(1)当a 时，求函数f (x)的最小值；1 2(2)若对任意x1，)，f (x)0 恒成立，试求实数a的取值范围.【导学号：66482029】思路点拨 (1)先判断函数f (x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x)min0 求a的范围，而求f (x)min应对a分类讨论5解 (1)当a 时，f (x)x2，f (x)10，x1，)，1 21 2x1 2x2即f (x)在1，)上是增函数，f (x)minf (1)12 . 4 分1 2 × 17 2(2)f (x)x 2，x1，)a x法一：当a0 时，f (x)在1，)内为增函数f (x)minf (1)a3.要使f (x)0 在x1，)上恒成立，只需a30，3a0. 7 分当 0a1 时，f (x)在1，)内为增函数，f (x)minf (1)a3，a30，a3，0a1.综上所述，f (x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1. 10 分法二：f (x)x 20，x1，x22xa0，8 分a xa(x22x)，而(x22x)在x1 时取得最大值3，3a1，即a的取值范围为(3,1. 12 分规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x)在闭区间a，b上是增函数，则f (x)在a，b上的最大值为f (b)，最小值为f (a)请思考，若函数f (x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练 2 (2016·北京高考)函数f (x)(x2)的最大值为_x x12 法一：f (x)，x2 时，f (x)0 恒成立，1 x12f (x)在2，)上递减，f (x)在2，)上的最大值为f (2)2.法二：f (x)1，x x1x11 x11 x1f (x)的图像是将y 的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到1 x的y 在2，)上递减，f (x)在2，)上递减，故f (x)在2，)上的1 x最大值为f (2)2.法三：由题意可得f (x)1.1 x1x2，x11，01，1 x16112，即 12.1 x1x x1故f (x)在2，)上的最大值为 2.函数单调性的应用角度 1 比较大小(2015·山东高考)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )Aa0.60.6>0.61.5，即b10.61，即c>1.综上，b<a<c.角度 2 解不等式已知函数f (x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上递增，则不等式f (2x1)f 的x的解集是_(1 3)由题意知Error!即Error!1 2，2 3)所以 x .1 22 3角度 3 求参数的取值范围(1)如果函数f (x)ax22x3 在区间(，4)上是递增的，则实数a的取值范围是( )A. B(1 4，)1 4，)C. D1 4，0)1 4，0(2)已知函数f (x)Error!若f (x)在(，)上递增，则实数a的取值范围为_【导学号：66482030】(1)D D (2)(2,3 (1)当a0 时，f (x)2x3，在定义域 R R 上是递增的，故在(，4)上递增；当a0 时，二次函数f (x)的对称轴为x ，1 a因为f (x)在(，4)上递增，7所以a0，且 4，解得 a0.1 a1 4综上所述，实数a的取值范围是.1 4，0(2)要使函数f (x)在 R R 上递增，则有Error!即Error!解得 2a3，即实数a的取值范围是(2,3规律方法 1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值思想与方法1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图像法：如果f (x)是以图像形式给出的，或者f (x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值易错与防范1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点83函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“， ”隔开，不能用“”连接