高考数学一轮复习第4章平面向量第2讲平面向量的基本定理及坐标表示学案.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量第章平面向量第 2 2讲平面向量的基本定理及坐标表示学案讲平面向量的基本定理及坐标表示学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使a1e12e2，称 e1，e2 为基底若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底考点 2 平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对任一向量 a，有唯一一对实数 x，y，使得：axiyj，(x，y)叫做向量 a 的直角坐标，记作 a(x，y)，显然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)考点 3 平面向量的坐标运算1设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，a ab b(x1(x1x2x2，y1y1y2)y2)，a(x1，y1)，|a|.2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.考点 4 平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abx1y2x2y10；(2)若 a0，则与 a 平行的单位向量为±.2 / 13必会结论1若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2已知(， 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且 1 常被当作隐含条件运用3平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则12，12.( )(3)在等边三角形 ABC 中，向量与的夹角为 60°.( )(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成.( )答案 (1)× (2) (3)× (4)×22018·郑州一模设向量 a(x,1)，b(4，x)，若 a，b方向相反，则实数 x 的值是( )A0 B±2 C2 D2答案 D解析 由题意可得 ab，所以 x24，解得 x2 或 2，又a，b 方向相反，所以 x2.故选 D.3课本改编已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若3a，则点 B 的坐标为( )A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)答案 D解析 设点 B 的坐标为(x，y)，则(x1，y5)由3a，得解得故选 D.42017·山东高考已知向量 a(2,6)，b(1，)若3 / 13ab，则 _.答案 3解析 ab，26×(1)0，解得 3.52015·江苏高考已知向量 a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_答案 3解析 manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.板块二 典例探究·考向突破考向 平面向量基本定理的应用例 1 2018·许昌联考在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记，分别为 a，b，则( )B.abA.ab DabCab 答案 B解析 如图，设，.DH而bb，.DH因此，b.由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得，.故ab.故选 B.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：4 / 13(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解【变式训练 1】 如图，已知ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是K，L，且e1，e2，试用 e1，e2 表示，.解 设x，y，则x，y.由，得×(2)，得 x2xe12e2，即 x(e12e2)e1e2，e1e2.同理可得 y(2e1e2)，即e1e2.CD考向 平面向量的坐标表示例 2 已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量的坐标解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得Error!(3)设 O 为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)5 / 13触类旁通平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用【变式训练 2】 2018·山东日照一中月考在ABC 中，点 P在 BC 上，点 Q 是 AC 的中点，且2.若(4,3)，(1,5)，则等于( )B(2,7)A(6,21) D(2，7)C(6，21) 答案 A解析 由题知，(1,5)(4,3)(3,2)又因为点 Q 是 AC 的中点，所以.所以(1,5)(3,2)(2,7)因为2，所以33(2,7)(6,21)故选 A.考向 平面向量共线的坐标表示例 3 2018·正定检测已知 a(1,0)，b(2,1)(1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线；(2)若2a3b，amb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值解 (1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a a2b2b(1,0)(1,0)2(2,1)2(2,1)(5,2)(5,2)，kab 与 a2b 共线，2(k2)(1)×50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)(1,0)m(2,1)(2m1，m)BCA，B，C 三点共线，6 / 138m3(2m1)0，m.触类旁通利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【变式训练 3】 平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数 k；(3)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|，求 d 的坐标解 (1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，解得Error!(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得 2×(34k)(5)×(2k)0，解得 k.(3)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)，又 ab(2,4)，|dc|，解得或Error!d 的坐标为(3，1)或(5,3)核心规律1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题7 / 13处理，从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用满分策略1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列 4坐标法求向量中的最值问题2017·全国卷在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若，则 的最大值为( )A3 B2 C. D2解题视点 建立平面直角坐标系，求出 A，B，C，D 的坐标，用三角函数表示出点 P 的坐标，最后转化为三角函数的最值问题解析 分别以 CB，CD 所在的直线为 x 轴、y 轴建立直角坐标系，则 A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，可设 P.则(0，1)，(2,0)，.AP又，sin1，cos1，2sincos2sin()，其中 tan，()max3.8 / 13答案 A答题启示 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.跟踪训练2018·湖南模拟给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求 xy 的最大值解 以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B.设AOC，则 C(cos，sin)，由xy，得Error!所以 xcossin，ysin，所以 xycossin2sin，又 ，所以当 时，xy 取得最大值 2.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标12018·东北三校联考已知 M(3，2)，N(5，1)，且，则 P 点的坐标为( )B.A(8,1) (1，3 2)D(8，1)C. 答案 B解析 设 P(x，y)，则(x3，y2)而(8,1)，解得Error!P.故选 B.9 / 132已知平面向量 a(1，2)，b(2，m)，若 ab，则3a2b( )B(7，14)A(7,2) D(7，8)C(7，4) 答案 B解析 ab，m40，m4，b(2，4)，3a2b3(1，2)2(2，4)(7，14)故选 B.3若 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，(3,5)，(2,4)，则( )B(5,9)A(1，1) D(3,5)C(1,1) 答案 A解析 由题意可得(2,4)(3,5)(1，1)故选A.42018·福建模拟在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是( )Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案 B解析 若 e1(0,0)，e2(1,2)，则 e1e2，故 a 不能由e1，e2 表示，排除 A；若 e1(1,2)，e2(5，2)，因为，所以 e1，e2 不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量 a(3,2)表示出来，C，D 选项中 e1，e2 都为共线向量，故 a 不能由 e1，e2 表示故选 B.52018·广西模拟若向量 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c( )B.abAab 10 / 13DabC.ab 答案 B解析 设 c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以 cab.故选 B.6已知 O 为坐标原点，且点 A(1，)，则与同向的单位向量的坐标为( )B.A. (1 2，32)D.C. (1 2，32)答案 A解析 与同向的单位向量 a，又|2，故 a(1，).故选 A.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( )BkAk2 1 2Dk1Ck1 答案 C解析 若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，AC1×(k1)2k0，解得 k1.故选 C.8若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a 的值为_答案 5 4解析 (a1,3)，(3,4)，据题意知，4(a1)3×(3)，即 4a5，a.11 / 1392018·延安模拟已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_答案 (2,4)解析 因为在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，所以2.设点 D 的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，AB所以(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，所以解得故点 D 的坐标为(2,4)10向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案 4解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23.解得 2，4.B 级 知能提升12018·广东七校联考已知向量 i，j 不共线，且imj，nij，m1，若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 应满足的条件是( )Bmn1Amn1 Dmn1Cmn1 答案 C解析 因为 A，B，D 三点共线，所以，存在非零实数 ，使12 / 13得，即 imj(nij)，所以(1n)i(m)j0，又因为 i 与 j 不共线，所以则 mn1.故选 C.22018·枣庄模拟在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足，则的值为( )A. B. C. D.2 5答案 B解析 由已知得，32，即2()，即2，如图所示，故 C 为 BA 的靠近 A 点的三等分点，因而.选 B.3.在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若，其中 ，R，则 _.答案 4 3解析 选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得即故 .42018·杭州测试如图，以向量a，b 为邻边作OADB，用 a，b 表示， ，.解 ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.5.2018·衡水中学调研如图，已知平面内有三个向量， ， ，其中与的夹角为 120°，与的夹角为 30°，且|1，|2.若(，R)，求 的值解 解法一：如图，作平行四边形 OB1CA1，则，因为与的夹角为 120°，与的夹角为 30°，所以B1OC90°.在 RtOB1C 中，OCB130°，|OC|2，所以|OB1|2，|B1C|4，13 / 13所以|OA1|B1C|4，所以42，所以 4，2，所以 6.解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以 6.