高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列教师用书文北师大版.doc

1第三节第三节 等比数列等比数列考纲传真 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN N*，q为非零常数)an1 an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：SnError!3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·qnm(n，mN N*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN N*)，则am·anap·aqa；2k(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，an·bn，1 an2n(0)仍然是等比数列；an bn(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)满足an1qan(nN N*，q为常数)的数列an为等比数列( )(2)G为a，b的等比中项G2ab.( )(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( )(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.( )a1an 1a2答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2(2017·广州综合测试(二)已知等比数列an的公比为 ，则的值是( )1 2a1a3a5 a2a4a6A2 B1 2C. D21 2A A 2.a1a3a5 a2a4a6a1a3a512a1a3a53(2017·东北三省四市一联)等比数列an中，an>0，a1a26，a38，则a6( )【导学号：66482249】A64 B128C256 D512A A 设等比数列的首项为a1，公比为q，则由Error!解得Error!或Error!(舍去)，所以a6a1q564，故选 A.4(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81 设该数列的公比为q，由题意知，2439×q3，q327，q3.插入的两个数分别为 9×327,27×381.5(2015·全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6 a12，an12an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列又Sn126，126，解得n6.212n 12等比数列的基本运算(1)(2017·陕西质检(二)已知等比数列an的前n项和为Sn.若S3a210a1，a59，则a1( )3A. B1 31 3C. D1 91 9(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1 1)C C (2)2n1 (1)设等比数列的公比为q，则由S3a210a1得a1a1q210a1，则q29，又因为a5a1q49，所以a1 .1 9(2)设等比数列的公比为q，则有Error!解得Error!或Error!又an为递增数列，Error!Sn2n1.12n 12规律方法 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练 1 (1)在等比数列an中，a37，前 3 项和S321，则公比q的值为( )【导学号：66482250】A1 B1 2C1 或 D1 或1 21 2(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若 27a3a60，则_.S6 S3【导学号：66482251】(1)C C (2)28 (1)根据已知条件得Error!÷得3.1qq2 q2整理得 2q2q10，解得q1 或q .1 2(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，a11qn 1qa1136 13a1133 13所以·28.S6 S3a1136 1313 a11334等比数列的判定与证明(2016·全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.31 32解 (1)证明：由题意得a1S11a1，2 分故1，a1，故a10. 3 分1 1由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an. 5 分由a10，0 得an0，所以.an1 an 1因此an是首项为，公比为的等比数列，1 1 1于是ann1. 7 分1 1( 1)(2)由(1)得Sn1n. 9 分( 1)由S5得 15，即5. 10 分31 32( 1)31 32( 1)1 32解得1. 12 分规律方法 等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN N*)，则an是等比数列an1 an(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aan·an2(nN N*)，则数列an是等2n1比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn(c，q均是不为 0 的常数，nN N*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练 2 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式5解 (1)证明：anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，即 2an1an1，2(an11)an1，即 2cn1cn. 3 分由a1S11 得a1 ，c1a11 ，1 21 2从而cn0， .cn1 cn1 2数列cn是以 为首项， 为公比的等比数列. 6 分1 21 2(2)由(1)知cn ×n1n，7 分1 2(1 2)(1 2)又cnan1，ancn11n，9 分(1 2)当n2 时，bnanan11nn.(1 2)1(1 2)n1 (1 2)又b1a1 ，适合上式，故bnn. 12 分1 2(1 2)等比数列的性质及应用(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若am1·am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为( )A4 B5C6 D7(2)(2016·天津高考)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0，所以a2<0，所以6q<0.若q<0，可取q1，a11，则a1a2110，不满足对任意的正整数a2 a1n，a2n1a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n<0”的必要而不充分条件故选 C.规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am·anap·aq” ，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练 3 (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列an中，a1 008·a1 009，则 lg a1lg a2lg a2 016( )1 100【导学号：66482252】A2 015 B2 016C2 015 D2 016(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9，积为，则前 481 4项倒数的和为( )【导学号：66482253】A. B3 29 4C1 D2(1 1)D D (2 2)D D (1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008·a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016，故选 D.(1 100)(102)(2)由题意得S49，所以.由a1·a1q·a1q2·a1q3(a q3)2a11q4 1q1q4 1q9 a12 1得a q3 .由等比数列的性质知该数列前 4 项倒数的和为81 42 19 21 a1(11 q4)11qq41 a1q3q1·2，故选 D.1 a1q39 a19 a2 1q3思想与方法71方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)求解2函数的思想通项公式an a1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数，(a1 q)即an中的各项所表示的点(n，an)在曲线yqx上，是一群孤立的点(a1 q)3分类讨论思想当q1 时，an的前n项和Snna1；当q1 时，an的前n项和Sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处a11qn 1qa1anq 1q是常考易错点易错与防范1特别注意q1 时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1 与q1 分类讨论，防止因忽视q1 这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1 且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1 或q1 且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)