高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-2导数的应用第1课时导数与函数的单调性理.doc

1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-23-2 导数的应用第导数的应用第 1 1 课时导数与函数的单调性理课时导数与函数的单调性理1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f(x)>0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；考察 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)2 / 17为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【知识拓展】1.在某区间内 f(x)>0(f(x)0.( × )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性( )(3)函数的极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件( × )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )3 / 17(6)三次函数在 R 上必有极大值和极小值( × )1(教材改编)f(x)x36x2 的单调递减区间为( )A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)答案 A解析 f(x)3x212x3x(x4)，由 f(x)1，故选 A.4函数 f(x)x23x4 在0,2上的最小值是_答案 17 3解析 f(x)x22x3，令 f(x)0，得 x1(x3 舍去)，又 f(0)4，f(1)，f(2)，故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1).5设 aR，若函数 yexax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是_答案 (，1)解析 yexax，yexa.函数 yexax 有大于零的极值点，则方程 yexa0 有大于零的解，x>0 时，ex0)令 y0，则其在区间(，)上的解集为和，即 f(x)的单调递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f(x)；(3)解不等式 f(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f(x)0，即 8x>0，解得 x>，函数 y4x2的单调增区间为.故选 B.(2)因为函数 f(x)xln x，定义域为(0，)，所以 f(x)ln 6 / 17x1(x>0)，当 f(x)>0 时，解得 x>，即函数的单调递增区间为(，)；当 f(x)0)(1)若函数 yf(x)的导函数是奇函数，求 a 的值；(2)求函数 yf(x)的单调区间解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.由已知得 f(x)a.函数 yf(x)的导函数是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得 a.(2)由(1)知 f(x)a1a.当 a1 时，f(x)0，得(1a)(ex1)>1，即 ex>1，解得 x>ln ，由 f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增题型三 已知函数单调性求参数例 3 (2016·西安模拟)已知函数 f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围8 / 17解 (1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以 h(x)ax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当 x(0，)时，ax2有解设 G(x)，所以只要 a>G(x)min 即可而 G(x)(1)21，所以 G(x)min1.所以 a>1.(2)由 h(x)在1,4上单调递减得，当 x1,4时，h(x)ax20 恒成立，即 a恒成立所以 aG(x)max，而 G(x)(1)21，因为 x1,4，所以，1，所以 G(x)max(此时 x4)，所以 a，即 a 的取值范围是，)引申探究1本例(2)中，若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求 a的取值范围解 由 h(x)在1,4上单调递增得，当 x1,4时，h(x)0 恒成立，当 x1,4时，a恒成立，又当 x1,4时，()min1(此时 x1)，a1，即 a 的取值范围是(，12本例(2)中，若 h(x)在1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围解 h(x)在1,4上存在单调递减区间，9 / 17则 h(x)有解，又当 x1,4时，()min1，a>1，即 a 的取值范围是(1，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题已知函数 f(x)exln xaex(aR)(1)若 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 yx1 垂直，求 a 的值；(2)若 f(x)在(0，)上是单调函数，求实数 a 的取值范围解 (1)f(x)exln xex·aex(aln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e·1，得 a2.(2)由(1)知 f(x)(aln x)ex，若 f(x)为单调递减函数，则 f(x)0 在 x>0 时恒成立即aln x0 在 x>0 时恒成立所以 aln x 在 x>0 时恒成立令 g(x)ln x(x>0)，则 g(x)(x>0)，由 g(x)>0，得 x>1；由 g(x)0 时恒成立，即aln x0 在 x>0 时恒成立，所以 aln x 在 x>0 时恒成立，由上述推理可知此时 a1.故实数 a 的取值范围是(，15用分类讨论思想研究函数的单调性典例 (12 分)已知函数 f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数 g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴(1)确定 a 与 b 的关系；(2)若 a0，试讨论函数 g(x)的单调性思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程 f(x)0 是否有根；若 f(x)0 有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法规范解答解 (1)依题意得 g(x)ln xax2bx，则 g(x)2axb.2 分由函数 g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴得 g(1)12ab0，b2a1.4 分(2)由(1)得 g(x)2ax22a1x1 x.函数 g(x)的定义域为(0，)，11 / 17当 a0 时，g(x).由 g(x)>0，得 01，6 分当 a>0 时，令 g(x)0，得 x1 或 x，7 分若，由 g(x)>0，得 x>1 或 01，即 00，得 x>或 0时，函数 g(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增12 分1(2016·合肥模拟)函数 f(x)x·exex1 的单调递增区间是( )A(，e) B(1，e)C(e，) D(e1，)答案 D解析 由 f(x)x·exex1，得 f(x)(x1e)·ex，令 f(x)>0，解得 x>e1，所以函数 f(x)的单调递增区间是(e1，)12 / 172已知函数 f(x)x3ax4，则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 f(x)x2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件3已知 f(x)1xsin x，则 f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是( )Af(2)>f(3)>f()Bf(3)>f(2)>f()Cf(2)>f()>f(3)Df()>f(3)>f(2)答案 D解析 因为 f(x)1xsin x，所以 f(x)1cos x，当 x(0，时，f(x)>0，所以 f(x)在(0，上是增函数，所以 f()>f(3)>f(2)故选 D.4已知函数 f(x)x在(，1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )A1，) B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)答案 D解析 函数 f(x)x的导数为 f(x)1，13 / 17由于 f(x)在(，1)上单调递增，则 f(x)0 在(，1)上恒成立，即x2 在(，1)上恒成立，由于当 x1，则有1，解得 a1 或 af(c)>f(d)Bf(b)>f(a)>f(e)Cf(c)>f(b)>f(a)Df(c)>f(e)>f(d)答案 C解析 依题意得，当 x(，c)时，f(x)>0，所以函数 f(x)在(，c)上是增函数，因为 af(b)>f(a)，因此 C 正确6(2015·课标全国)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x>0 时，xf(x)f(x)0，则使得 f(x)>0 成立的 x的取值范围是( )A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案 A解析 因为 f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以 f(1)f(1)0.14 / 17当 x0 时，令 g(x)，则 g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当 x0 时，g(x)0，故 g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当 0x1 时，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当 x1 时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，知使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.7(2016·青岛模拟)若函数 f(x)x3bx2cxd 的单调减区间为(1,3)，则 bc_.答案 12解析 f(x)3x22bxc，由题意知11，即 x(，1)(1，)9若函数 f(x)x3x22ax 在，)上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_答案 (，)解析 对 f(x)求导，得 f(x)x2x2a(x)22a.当 x，)时，f(x)的最大值为 f()2a.令2a>0，解得 a>，所以 a 的取值范围是(，)10若函数 f(x)2x33mx26x 在区间(2，)上为增函数，则实数 m 的取值范围为_答案 (，解析 f(x)6x26mx6，当 x(2，)时，f(x)0 恒成立，即 x2mx10 恒成立，mx恒成立令 g(x)x，g(x)1，当 x>2 时，g(x)>0，即 g(x)在(2，)上单调递增，m2.11(2016·北京)设函数 f(x)xeaxbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间解 (1)f(x)的定义域为 R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.16 / 17依题设，即Error!解得 a2，be.(2)由(1)知 f(x)xe2xex，由 f(x)e2x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1.所以，当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当 x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故 f(x)的单调递增区间为(，)12已知函数 f(x)ln x，g(x)axb.(1)若 f(x)与 g(x)在 x1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)若 (x)f(x)在1，)上是减函数，求实数 m 的取值范围解 (1)由已知得 f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x 在1，)上是减函数(x)0 在1，)上恒成立即 x2(2m2)x10 在1，)上恒成立，则 2m2x，x1，)，17 / 17x2，)，2m22，m2.故实数 m 的取值范围是(，2*13.(2016·辽宁鞍山一中高三月考)已知函数 f(x)x3x2.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)上存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解 (1)f(x)x2axx(xa)，当 a0 时，f(x)x20 恒成立，f(x)在 R 上单调递增当 a>0 时，当 x(，0)时，f(x)>0；当 x(0，a)时，f(x)0，f(x)的增区间为(，0)，(a，)，减区间为(0，a)当 a0；当 x(a,0)时，f(x)0，f(x)的增区间为(，a)，(0，)，减区间为(a,0)(2)g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax2<0 成立，即当 x(2，1)时，a<(x)max2 即可所以满足要求的 a 的取值范围是(，2)