高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-2导数的应用第1课时导数与函数的单调性理.doc
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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-23-2 导数的应用第导数的应用第 1 1 课时导数与函数的单调性理课时导数与函数的单调性理1函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果 f(x)0,那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增;如果 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤:求 f(x);求方程 f(x)0 的根;考察 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极
2、小值3函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数 f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a,b上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)2 / 17为函数的最大值;若函数 f(x)在a,b上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求函数 yf(x)在(a,b)内的极值;将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值【知识拓展】1.在某区间内 f(x)0(f(x)0.( )(2)
3、如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0,则 f(x)在此区间内没有单调性( )(3)函数的极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数 f(x),f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件( )(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值( )3 / 17(6)三次函数在 R 上必有极大值和极小值( )1(教材改编)f(x)x36x2 的单调递减区间为( )A(0,4) B(0,2)C(4,) D(,0)答案 A解析 f(x)3x212x3x(x4),由 f(x)1,故选 A.4函数 f(x)x23x4 在0,2上的最小值是_答案 17 3解析 f(x)x22x3,
4、令 f(x)0,得 x1(x3 舍去),又 f(0)4,f(1),f(2),故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1).5设 aR,若函数 yexax 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是_答案 (,1)解析 yexax,yexa.函数 yexax 有大于零的极值点,则方程 yexa0 有大于零的解,x0 时,ex0)令 y0,则其在区间(,)上的解集为和,即 f(x)的单调递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域;(2)求 f(x);(3)解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式 f(x)0,即 8x0,解得 x,函
5、数 y4x2的单调增区间为.故选 B.(2)因为函数 f(x)xln x,定义域为(0,),所以 f(x)ln 6 / 17x1(x0),当 f(x)0 时,解得 x,即函数的单调递增区间为(,);当 f(x)0)(1)若函数 yf(x)的导函数是奇函数,求 a 的值;(2)求函数 yf(x)的单调区间解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.由已知得 f(x)a.函数 yf(x)的导函数是奇函数,f(x)f(x),即aa,解得 a.(2)由(1)知 f(x)a1a.当 a1 时,f(x)0,得(1a)(ex1)1,即 ex1,解得 xln ,由 f(x)0,故 f(x)在(0,)上单调递增;当
6、 a0 时,f(x)0,故 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,)上单调递增题型三 已知函数单调性求参数例 3 (2016西安模拟)已知函数 f(x)ln x,g(x)ax22x(a0)(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围;(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减,求 a 的取值范围8 / 17解 (1)h(x)ln xax22x,x(0,),所以 h(x)ax2,由于 h(x)在(0,)上存在单调递减区间,所以当 x(0,)时,ax2有解设 G(x),所以只要 aG(x)min 即可而 G(x)(1)21,所以 G(x)min1.所以
7、 a1.(2)由 h(x)在1,4上单调递减得,当 x1,4时,h(x)ax20 恒成立,即 a恒成立所以 aG(x)max,而 G(x)(1)21,因为 x1,4,所以,1,所以 G(x)max(此时 x4),所以 a,即 a 的取值范围是,)引申探究1本例(2)中,若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增,求 a的取值范围解 由 h(x)在1,4上单调递增得,当 x1,4时,h(x)0 恒成立,当 x1,4时,a恒成立,又当 x1,4时,()min1(此时 x1),a1,即 a 的取值范围是(,12本例(2)中,若 h(x)在1,4上存在单调递减区间,求 a 的取值范围解 h(x
8、)在1,4上存在单调递减区间,9 / 17则 h(x)有解,又当 x1,4时,()min1,a1,即 a 的取值范围是(1,)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a,b)都有 f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题已知函数 f(x)exln xaex(aR)(1)若 f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 yx1 垂直,求 a
9、 的值;(2)若 f(x)在(0,)上是单调函数,求实数 a 的取值范围解 (1)f(x)exln xexaex(aln x)ex,f(1)(1a)e,由(1a)e1,得 a2.(2)由(1)知 f(x)(aln x)ex,若 f(x)为单调递减函数,则 f(x)0 在 x0 时恒成立即aln x0 在 x0 时恒成立所以 aln x 在 x0 时恒成立令 g(x)ln x(x0),则 g(x)(x0),由 g(x)0,得 x1;由 g(x)0 时恒成立,即aln x0 在 x0 时恒成立,所以 aln x 在 x0 时恒成立,由上述推理可知此时 a1.故实数 a 的取值范围是(,15用分类讨
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- 高考 数学 一轮 复习 第三 导数 及其 应用 课时 函数 调性
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